Tính: $I=\int \frac{x^2dx}{x^4+1}$

Tính: $\int x.\frac{ln\left (\frac{1+x}{1-x}  \right )}{(x-1)^2}dx$

Giải phương trình:

1) $x^3+8x+13=2\sqrt{x+3}-\sqrt{x^2+3x+3}$

2) $\sqrt{x^2-2x+13}+8=3x+\sqrt{x^2-2x+6}$

Một nhóm học sinh gồm 12 học sinh trong đó có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 học sinh trên một trên chiếc ghế dài sao cho 5 học sinh nam phải ngồi gần nhau ? 

Coi 5 học sinh nam là 1 nhóm, 7 hs nữ còn lại mỗi người một nhóm. $\rightarrow$ Có 8 nhóm cần xếp ngồi ở ghế dài $\rightarrow$ Có 8! cách xép 8 nhóm. Sau đó xếp chỗ của 5 hs nam trong nhóm: có $5!$ cách xếp( Hoán vị 5 người vẫn ngồi cạnh nhau).

Như vậy có $8!.5!$ cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 6 bé trai và 5 bé gái ngồi quanh một bàn tròn,biết rằng không có hai bé gái nào ngồi cạnh nhau ? 

Xếp 6 bé trai ngồi vào bàn trước: Có $5!$ cách sắp xếp.

Để không có 2 bé gái nào ngồi cạnh nhau thì xếp mỗi bé gái vào 1 vị trí giữa 2 bé trai (có 6 chỗ trống như vậy), do đó sẽ có: $A_6^5$ cách chọn và sắp xếp chỗ cho bé gái.

Theo quy tắc Nhân, số cách sx cần tìm sẽ là: $5! A_6^5$ cách!!!

Giải phương trình sau: $2^x+5^x=\frac{6-x}{3}+44\log_2\left (2+\frac{131x}{3}-5^x \right )$

Giải phương trình : $4^{x-2}=1+3log_{2}\sqrt{3x-5}$

_HSG Đại học Vinh 2015-2016_

Với cái bài này, câu giải thích của thầy, mình thấy chưa rõ ràng lắm.

2017-07-16_095353.png

Làm sao để biết hàm số này ko có cực trị? Làm sao để biết đồ thi này đi qua gốc tọa độ? Làm sao hàm số này đồng biến trên R ạ??

Bạn đọc chương I toán giải tích 12 chưa nhỉ?

Mọi thắc mắc của bạn đều ở phần khảo sát hàm số. Chỉ tính được đạo hàm là ra cả mà: đạo hàm luôn >0 với mọi $x \in R$ thì hàm đồng biến trên R và khi đó thì cũng ko có cực trị. VÌ nếu có cực trị thì sẽ phải làm cho đạo hàm = ko tại điểm cực trị.

Còn có đi qua gốc tọa độ hay ko chỉ cần thử tọa độ của O(0;0) vào hàm số nếu thỏa mãn là đi qua, nếu ko thỏa mãn là ko đi qua, cái này tưởng học lớp 8 hay 9 rồi ấy chứ nhỉ?

Đặt $a= sinx\to -1<a\leq 1$ và $b=\ln(1+sinx)=\ln(1+t)\to 1+a=e^b\: \: (b\leq \ln2)$

 

Nên ta có hpt: $\left\{\begin{matrix}e^a=1+b\\e^b=1+a \end{matrix}\right.$

 

Qua vài bước nữa là ta được $a=b$ nên $e^a=1+a$

 

Đặt $f(a)=1+a-e^a$ với $a\: \epsilon \: \left (-1;1 \right ]$

 

Ta có $f'(a)=1-e^a=0\Leftrightarrow a=0$

 

Lập bảng biến thiên ta có $Maxf(a)=f(0)=0$

 

Nên $a=0$ là nghiệm duy nhất của pt

 

Vậy $x=k\pi, \:\: k\: \epsilon\: \mathbb{Z}$

Mình cần cái gọi là "vài bước nữa" ấy???

Cho $x,y \in [0;\frac{\pi}{2}]$ thỏa mãn điều kiện: $cos2x+cos2y+2sin(x+y)=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=\frac{sin^4x}{y}+\frac{cos^4 y}{x}$

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:

$\frac{1}{\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( a+c \right )^{2}}\geq \frac{1}{a^{2}+bc}$

Nếu bế tắc quá thì cứ biến đổi tương đương thôi nhỉ?

$\Leftrightarrow (2a^2+b^2+c^2+2ab+2ac)(a^2+bc)\geq(a^2+2ab+b^2)(a^2+2ac+c^2)\Leftrightarrow a^4-2a^2bc+b^3c+bc^3-b^2c^2\geq 0\Leftrightarrow (a^2-bc)^2+bc(b-c)^2\geq 0$(luôn đúng)

1. $\frac{(1+sinx+cos2x)sin(x+\frac{\Pi }{4})}{1+tanx}=\frac{1}{\sqrt{2}}cosx$

2. $\frac{(1-2sinx)cosx}{(1+2sinx)(1-sinx)}=\sqrt{3}$

1. ĐK: $x\neq {\frac{\Pi }{2}+k\Pi; -\frac{\Pi}{4}+k\Pi}$

PT $\Leftrightarrow (1+sin x +cos 2x).\frac{sin x+ cos x}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}cos x(1+\frac{sin}{cosx})\Leftrightarrow (sin x+cos x)(sin x+cos 2x)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} sin x=-cos x ( tan x=-1 ,L) & \\ sin x= cos 2x=1-2sin^2 x& \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} sin x=1 (cos x=0, L) & \\ sin x= \frac{-1}{2}& \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi & \\ x=-\frac{5\pi}{6}+k2\pi& \end{bmatrix}$

2. ĐK: $\left\{\begin{matrix} sin x\neq\frac{-1}{2} & \\ sin x \neq 1& \end{matrix}\right. $

PT$\Leftrightarrow cos x-sin 2x= \sqrt{3}(1+sin x-2sin^2x)\Leftrightarrow cos x-sin 2x=\sqrt{3}(sin x+cos2x)\Leftrightarrow \frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}cosx+\frac{1}{2}sin x\Leftrightarrow cos(x-\pi /3)=cos(2x-\pi/6)\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x-\pi /3=2x-\pi/6+k2\pi& \\ x-\pi /3=-2x+\pi/6+k2\pi& \end{bmatrix}$

Tìm $m$ để bất phương trình sau đúng với mọi $x \in [-1;1]$:

$m\sqrt{1-x}+12\sqrt{1-x^2} \geq 16x +3m \sqrt{1+x}+3m+15$

Giải phương trình lượng giác sau: $sin 2x +sin x+1=0$

Giải phương trình lượng giác sau: $cos 2x - cos x - 3sin x-2=0$

Không sử dụng máy tính, chứng minh rằng: $1,01^{100}<3$

( Áp dụng nhị thức Newton nhé!)

Tìm m để phương trình $sin ^4 x+(1-sin x)^4=m$ có nghiệm

Giải các phương trình sau: $1) (\sqrt{2x^2-2x+1}+x-1)(1+\sqrt{1+x})=x\sqrt{x}$

$2) 3\sqrt[3]{2x^2-x^3}+\sqrt{9x^2-4x+4}=2x+2\sqrt{4x^2-x+1}$

Ta có : $\sum \frac{a}{b^{2}c^{2}+1}=\sum a-\sum \frac{ab^{2}c^{2}}{b^{2}c^{2}+1}\geq \sum a-\frac{3}{2}abc$

$\Rightarrow P\geq 2-\frac{3}{2}abc-3\sqrt{1-abc}=\frac{3}{2}\left ( t-1 \right )^{2}-1\geq -1$

 với $0\leq t=\sqrt{1-abc}\leq 1$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow (a,b,c)=(0,1,1)\vee (a,b,c)=(0,0,2)$ và các hoán vị 

Bạn xem lại nhé. min P=1 khi a=0; b+c=2 (b,c bất kì) và các hoán vị  nhé!

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a(a-c)+b(b-c)=0$. Tìm min: $P=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+4}{a+b}$

Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn: $a+b+c=2$. Tìm min: $P=\frac{a}{b^2c^2+1}+\frac{b}{c^2a^2+1}+\frac{c}{a^2b^2+1}-3\sqrt{1-abc}$

Gọi $C_1,C_2$ tâm $(C_1),(C_2).$ Cách xác định điểm $C_2:$

B1: Tìm tọa độ $C_1.$

B2: Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và vuông góc với $MC_1.$

B3: Tìm tọa độ $P,Q$ là giao điểm của $d,(C_1).$

B4: $C_2$ sẽ là điểm cách $P,Q$ cùng 1 đoạn bằng $2 \sqrt{10}.$ Có hai điểm $C_2$ như vậy.

Mình cũng biết vậy rồi nhưng vấn đề là chứng minh cho M nằm trên đường nối tâm thì cung có độ dài ngắn nhất. Bạn ạ?

Cho đường tròn $(C_1):x^2+y^2=25$, điểm $M(1;-2)$. Đường tròn $(C2)$ có bán kính bằng $2\sqrt{10}$. Tìm tọa độ tâm của $(C_2)$ sao cho $(C_2)$ cắt $(C_1)$ theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất. 

Giải bất phương trình sau: $\frac{\sqrt{x}+2-\sqrt{x-4}}{x-\sqrt{5x-4}} \geq 1$

Cho $x,y>0$ và $x+y=2xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất:  $P=\frac{x+1}{y^2+1}+\frac{y+1}{x^2+1}+(x+2y)(y+2x)$