Ngày 1
Bài 1: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 2y^{3}+7y+2x\sqrt{1-x}= 3\sqrt{1-x}+3(2y^{2}+1)
& \\ \sqrt{2y^{2}-4y+3} =5-y+\sqrt{x+4}
&
\end{matrix}\right.$
Bài 2: Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định bởi $x_{1}= 4; x_{n+1}= \frac{x_{n}^{4}+9}{x_{n}^{3}-x_{n}+6} \forall n \in \mathbb{N^{*}}$.
1. Chứng minh rằng $lim x_{n}= +\infty$.
2. Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $y_{n}= \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^{3}+3}$. Tìm $lim y_{n}$.
Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(J)$ qua $B, C$ cắt cạnh $AB$ và $AC$ tại $F$ và $E$ tương ứng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ 2 là $D$.
1. Gọi $P$ và $Q$ là giao điểm thứ 2 của $DE$ và $DF$ với $(O)$. Chứng minh các đường thẳng $PC, BQ$ và $AO$ đồng quy.
2. Giả sử $EF$ cắt $BC$ ở $K$. Gọi $O_{1}, O_{2}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AEF$ và tam giác $KFB$. Chứng minh trực tâm tam giác $O_{1}O_{2}O$ nằm trên $AB$.
Bài 4: Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R^{+}}\rightarrow \mathbb{R^{+}}$ thỏa mãn:
$f(y)f(x+f(y))= f(x)f(xy), \forall x,y \in \mathbb{R^{+}}$.
Bài 5:
1. Cho đa giác đều $A_{1}A_{2}...A_{2017}$. Có bao nhiêu tam giác nhọn có đỉnh là đỉnh của đa giác trên?
2. Cho $2n+3$ điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kì không thẳng hàng và 4 điểm bất kì không cùng nằm trên một đường tròn.
a. Chứng minh tồn tại đường tròn $(C)$ đi qua 3 trong số các điểm trên sao cho trong các điểm còn lại có $n$ điểm nằm trong và $n$ điểm nằm ngoài đường tròn.
b. Xét $2n$ điểm đã cho và không thuộc đường tròn $(C)$, nối tất cả các đoạn thẳng có đầu mút là 2 trong số các điểm này. Các đoạn thẳng này và đường tròn $(C)$ có thể có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung?

Ngày 2
Bài 1: Xét các số thực $a, b, c \in [0; 1]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P= \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)$
Bài 2: Cho dãy đa thức $(P_{n})_{n=0}^{+ \infty }$ được xác định $P_{0}(x)= x$ và
$P_{n+1}(x)= -2xP_{n}(x)+ P_{n}^{'}(x), \forall n \in \mathbb{N^{*}}$
1. Chứng minh $P_{n}^{'}(x)= -2(n+1)P_{n-1}(x)$ với mọi số nguyên dương $n$;
2. Tính $P_{2017}(0)$.
Bài 3: Cho hai điểm cố định $B, C$ trên đường tròn $(O)$. Một điểm $A$ thay đổi trên đường tròn $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ luôn là tam giác nhọn và không cân tại $A$. Đường phân giác trong góc $\widehat{BAC}$ cắt đường thẳng $BC$ tại $D$ và cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $E$. Điểm $F$ nằm trên $BC$ sao cho $FD= FE$.
1. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $EF$. Chứng minh rằng $A, O, H$ thẳng hàng, từ đó suy ra $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định.
2. Một đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với các tia $AB, AC$ và tiếp xúc với đường thằng $EF$ tương ứng tại $M, N, P$ ($I$ và $A$ nằm về cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $EF$). Gọi $Q$ là điểm trên đường thẳng $MN$ sao cho $PQ$ vuông góc với $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng $AQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di động trên đường tròn $(O)$.
Bài 4: Cho $a, b$ là hai số thực thỏa mãn $a^{p}- b^{p}$ là số nguyên dương với mỗi số nguyên tố $p$. Chứng minh rằng $a, b$ là các số nguyên.
Bài 5:
1. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho 101 điểm $A_{k}(k;100), k= 0,1,...,100$. Tìm số đoạn thẳng $OA_{k}$ không đi qua điểm nào có tọa độ nguyên (cả hoành độ và tung độ đều nguyên) trừ 2 đầu mút của nó.
2. Cho đa giác lồi có lẻ đỉnh. Mỗi cạnh được tô bởi 1 trong 3 màu: đỏ, xanh, vàng. Giả sử ban đầu các màu được tô cho các cạnh theo chiều kim đồng hồ là đỏ, xanh, đỏ,..., đỏ, xanh, vàng. Mỗi bước có thể đổi màu 1 cạnh sao cho không có 2 cạnh kề nhau (chung đỉnh) được tô cùng màu. Hỏi sau hữu hạn bước có thể nhận được trạng thái mà màu được tô cho các cạnh theo chiều kim đồng hồ là đỏ, xanh, đỏ, xanh,..., đỏ, vàng, xanh hay không?

Trong 1 cuộc thi toán học có một số thí sinh là bạn của nhau. Gọi 1 nhóm các thí sinh là đầy đủ nếu 2 thí sinh bất kì trong nhóm đều là bạn của nhau. Số các thí sinh trong 1 nhóm đầy đủ được gọi là kích thước của nhóm đó. Biết rằng kích thước lớn nhất của các nhóm đầy đủ là số chẵn. Chứng minh có thể sắp xếp các thí sinh vào 2 phòng sao cho kích thước lớn nhất của các nhóm đầy đủ ở phòng này bằng kích thước lớn nhất các nhóm đầy đủ ở phòng kia. 

Phân hoạch tập $\left \{ 1,2,...n \right \}$ thành $k$ tập con ( có thể =$\varnothing$) sao cho: trong mỗi tập con không tồn tại 3 số mà có 1 số bằng tổng 2 số còn lại. Chứng minh: $max (n)\leq [k!e]-1$.

Chỉ cần 2017 ngày thôi

Biểu diễn các người chơi bằng các đỉnh của đồ thị đầy đủ có 2017 đỉnh. Những người chơi trong 1 ngày ta biểu diễn bằng tập các cạnh không có điểm chung. Từ đó số ngày nhỏ nhất để kết thúc giải đấu chính là số màu nhỏ nhất để tô các cạnh của $K_{2017}$ thỏa mãn mỗi cặp cạnh có 1 đỉnh chung thì có màu khác nhau ( do có thể dùng các màu giống nhau để tô các cạnh tương ứng với các trận đấu được chơi trong cùng 1 ngày). Do đó theo định lí Vizing số ngày cần tìm là 2017.

Trong 1 giải đấu cờ vua có $2017$ người chơi tham gia. Mỗi người chơi phải đấu với $2016$ người chơi còn lại và không người nào chơi quá 1 trận trong cùng 1 ngày. Xác định số ngày nhỏ nhất cần để kết thúc giải đấu.

kết quả lên mạng chưa

Rồi đó bạn: https://drive.google...ew?usp=drivesdk

Hình như rồi đó bạn

Xem ở đâu vậy bạn?

có kết quả chưa nhỉ?

Bài 1: Ta gọi 1 bộ 5 số nguyên $a,b,c,d,e$ là "sắp xếp được" nếu chúng được sắp xếp theo thứ tự nào đó sao cho $a-b+c-d+e=29$. Xác định mọi bộ 2017 số nguyên $n_1, n_2, . . . , n_{2017}$ sao cho nếu sắp xếp chúng trên vòng tròn theo chiều kim đồng hồ thì bất kì bộ 5 số nguyên nào theo thứ tự đó trên vòng tròn đều "sắp xếp được".
Bài 2: Cho tam giác $ABC$ với $AB<AC$. $D$ là giao điểm của đường phân giác trong góc $BAC$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. $Z$ là giao điểm của trung trực $AC$ và đường phân giác ngoài góc $BAC$. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADZ$.
Bài 3: Kí hiệu $A(n)$ là số các dãy các số nguyên dương $a_1\ge a_2\ge\cdots{}\ge a_k$ với $a_1+\cdots{}+a_k = n$ và mỗi số $a_i +1$ là một lũy thừa của 2 $(i = 1,2,\cdots{},k)$. Kí hiệu $B(n)$ là dãy các số nguyên dương $b_1\ge b_2\ge \cdots{}\ge b_m$ mà $b_1+\cdots{}+b_m =n$ và $b_j\ge 2b_{j+1}$ $(j=1,2,\cdots{}, m-1)$. Chứng minh với mọi số nguyên dương $n$ thì $A(n)=B(n)$.
Bài 4: Gọi một số hữu tỉ $r$ là "mạnh" nếu $r$ có thể biểu diễn được dưới dạng $\dfrac{p^k}{q}$ với các số nguyên dương $p,q$ nguyên tố cùng nhau và số nguyên dương $k>1$ nào đó. Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ dương thỏa mãn $abc=1$. Giả sử tồn tại các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho $a^x + b^y + c^z$ là một số nguyên. Chứng minh $a,b,c$ đều "mạnh".
Bài 5: Cho số nguyên dương $n$. Một cặp gồm các bộ $n$ số nguyên $(a_1,\cdots{}, a_n)$ và $(b_1,\cdots{}, b_n)$ được gọi là "cặp tinh tế" nếu $$|a_1b_1+\cdots{}+a_nb_n|\le 1.$$ Xác định số lớn nhất các bộ $n$ số nguyên, khác nhau mà bất kì 2 bộ nào trong chúng cũng tạo thành một "cặp tinh tế".

Nguồn: https://artofproblem...51627_2017_apmo

Ngày 2

Ngày 1
P/s: nhờ mọi người gõ latex hộ

Cho tam giác $ABC$. Đường cao $AD,BE,CF$. $I$ là trung điểm $BC$, $T$ là giao điểm của $AI$ và $EF$, Chứng minh $DT$ đi qua điểm Lemoine của tam giác $ABC$.

Cho tam giác $ABC$ cố định nội tiếp đường tròn $(O)$. Một điểm $P$ bất kì di động trên cung $BC$ không chứa $A$.$I_{1},I_{2}$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $APB,APC$. Chứng minh khi $P$ di động thì đường tròn ngoại tiếp tam giác $I_{1}I_{2}P$ luôn đi qua 1 điểm cố định.

Ta chứng minh $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{2(a^{2}+c^{2})}{(a+c)^{2}}$

Thật vậy: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{2(a^{2}+c^{2})}{(a+c)^{2}} \Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+c)^{2}\geq 2(a^{2}+c^{2})(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+ac+c^{2})\geq (a^{2}+c^{2})(a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow (a^{2}+c^{2}-ab-bc)^{2}\geqslant 0$ (luôn đúng)

Tương tự như vậy ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

Cho $n$ số nguyên $a_{i}$ phân biệt. Chứng minh đa thức $P(x)= \prod_{i=1}^{n}(x-a_{i})^{2^{k}}+1$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$ với $k$ là số nguyên dương bất kì.

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 

$\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}\geq \frac{2(a^{2}+b^{2})}{(a+b)^{2}}+\frac{2(b^{2}+c^{2})}{(b+c)^{2}}+\frac{2(c^{2}+a^{2})}{(c+a)^{2}}$

Trong mặt phẳng cho tam giác ABC. Một điểm P nằm trong tam giác được gọi là điểm tốt nếu ta có thể tìm được đúng 27 tia chung gốc P cắt các cạnh của tam giác ABC và chia tam giác này thành 27 tam giác con có diện tích bằng nhau.Xác định số tất cả các điểm tốt của tam giác ABC.

 

Bài này dùng Bài toán chia kẹo Euler

Bài 5 câu b có thể dùng bổ đề: Đồ thị $G$ có $n$ đỉnh và $m$ cạnh thì có ít nhất $\frac{4m}{3n}(m-\frac{n^{2}}{4})$ tam giác. (Với $m> \frac{n^{2}}{4}$)

( Câu 5 ngày 2 tham khảo thêm ở đây:

https://ia800203.us....8176-8154-8.pdf , trang 123-124)

Bài 5 ngày 2 câu a dùng định lý Turan (định lí Turan xem ở đây: https://en.m.wikiped...Turán's_theorem)
câu b thì mình chưa nghĩ ra

câu b hình 

PQ là đường kính MA cắt (O) tại T

chứng minh $\widehat{AQJ}=90$ bằng cộng góc $\Rightarrow$ QJ song song AP

MI²=MB*MC=MT*MA $\Rightarrow$ IT vuông góc MA

chứng minh QAT đồng dạng PIT $\Rightarrow \frac{QA}{AT}= \frac{PI}{IT}= \frac{QJ}{IT}$ 

 $\Rightarrow $  AQJ đồng dạng ATI  $\Rightarrow \widehat{AJQ}= \widehat{AIT}= \widehat{AMI}$ hay $\widehat{JAI}= \widehat{IMA}$

 $\Rightarrow $ MA vuông góc AJ  từ đây A J P H M cùng thuộc một đường tròn

suy ra $\widehat{KHO}=\widehat{KDO}=\widehat{APJ}=\widehat{AHJ}$ hay A K H thẳng hàng (dpcm)

Cách này giống cách mình 

Ngày 1
Bài 1: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x^{3}-y^{3}+3y^{2}+x-4y+2=0 & \\ \sqrt{2x^{2}+x+9}+\sqrt{2y^{2}-5y+4}=2x-y+5. & \end{matrix}\right.$
Bài 2:Cho dãy số {$x_{n}$} được xác định như sau:$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1 & \\ x_{n+1}=1+\frac{n}{x_{n}} & \end{matrix}\right.$
1.Chứng minh rằng:$\sqrt{n}< x_{n}< \sqrt{n}+1 ,\forall n\geq 2.$
2.Với mỗi $n\in \mathbb{N^{*}}$, đặt $y_{n}=\frac{x_{n}}{\sqrt{n}}$.Chứng minh rằng dãy {$y_{n}$} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 3: Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB< AC$) ngoại tiếp đường tròn $\left ( I \right )$ và nội tiếp đường tròn $\left ( O \right )$. Gọi $P$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$ của đường tròn $\left ( O \right )$; $J$ là điểm đối xứng với $I$ qua $O$. Tiếp tuyến tại $I$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$ cắt $BC$ tại $M$; $H$ là hình chiếu của $M$ trên $OI$. Gọi $D$ là trung điểm cạnh $BC$ và $K$ là giao điểm thứ hai của $ID$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ODH$.
1.Chứng minh rằng tam giác $JPM$ vuông tại $P$.
2.Chứng minh rằng 3 điểm $H$, $A$, $K$ thẳng hàng.
Bài 4: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N^{*}}\rightarrow \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn điều kiện
$(n-1)^{2}< f(n).f(f(n))<n^{2}+n,\forall n \in \mathbb{N^{*}}$.
Bài 5: Cho tập $S$ ={1, 2, 3, 4 ,5} và số nguyên dương $n$.Có bao nhiêu số nguyên dương M thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
a. M có $n$ chữ số được lấy từ $S$;
b.2 chữ số cạnh nhau của M hơn kém nhau nhiều nhất 1?

Ngày 2

Bài 1:Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$.

  Chứng minh rằng: $\frac{(a+\sqrt{b})^{2}}{\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}}+ \frac{(b+\sqrt{c})^{2}}{\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}}+ \frac{(c+\sqrt{a})^{2}}{\sqrt{c^{2}-ca+a^{2}}}\leq 12$.

Bài 2:Cho 2 đa thức hệ số nguyên $P(x)=a_{n}x^{n}+ a_{n-1}x^{n-1}+ ...+ a_{1}x+ a_{0}$ và $Q(x)=b_{n}x^{n}+ b_{n-1}x^{n-1}+ ...+ b_{1}x+ b_{0}$ thỏa mãn $a_{n}-b_{n}$ là một số nguyên tố và $a_{n-1}=b_{n-1}$. Giả sử 2 đa thức $P(x),Q(x)$ có một nghiệm hữu tỉ chung là $m$ và $m\neq 0$. Chứng minh rằng $m$ là một số nguyên.

Bài 3: Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $\omega$ tâm $O$. Một đường tròn $\omega^{,}$ đi qua $B, C$ cắt các cạnh $AB, AC$ lần lượt ở $E, F$ ($E, F \neq A$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt lại đường tròn $\omega$ tại $K$ ($A \neq K$). $KE, KF$ lần lượt cắt lại đường tròn $\omega$ tại $Q, P$ ($P,Q \neq K$). Gọi $T$ là giao điểm của $BQ$ và $CP$; $M, N$ lần lượt là trung điểm $BF, CE$.

  1. Chứng minh rằng $A, O, T$ thẳng hàng.

  2. Chứng minh rằng $KA$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$.

Bài 4: Tìm tất cả các số nguyên dương $n>1$ có tính chất: nếu $a, b$ là các ước số của $n$ và $(a,b)=1$ thì $a+b-1$ cũng là ước số của $n$.

Bài 5: Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn 1 và $2n$ điểm trong không gian sao cho không có 4 điểm nào trong chúng đồng phẳng. Xét $n^{2}+1$ đoạn thẳng bất kì, mỗi đoạn có 2 đầu mút là 2 trong $2n$ điểm trên. Chứng minh:

  1. Có ít nhất 1 tam giác được tạo thành từ $n^{2}+1$ đoạn trên;

  2. Có ít nhất $n$ tam giác được tạo thành từ $n^{2}+1$ đoạn trên.

Tam giác $ABC$ ($AB,AC>BC$).$O,H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. ($AHC$) cắt $AB$ ở $M$ khác $A$, ($AHB$) cắt $AC$ ở $N$ khác $A$. C/m: Tâm ($MNH$) nằm trên $OH$.

đóng góp 1 bài nhé:
cho 2 số dương x,y thỏa mãn đk: x+y=4. Tìm giá trị min của

S= $(1+x+\frac{1}{x})^{3} +(1+y+\frac{1}{y})^{3}$

sử dụng BĐT $4(a^{3}+b^{3})$>=$(a+b)^{3}$ rồi dùng Cauchy-Schwart

Câu 4 ngày 2 là đề TST China 2012: http://artofproblems...h471696p2640838

Trên các cạnh $\triangle ABC$ lấy $M_{1},N_{1},P_{1}$ sao cho $MM_{1},NN_{1},PP_{1}$ chia chu vi $\triangle ABC$ thành 2 phần bằng nhau (M,N,P lần lượt là trung điểm BC,CA,AB).Chứng minh:

a) $MM_{1},NN_{1},PP_{1}$ đồng quy ở K.

b) Trong các tỉ số $\frac{KA}{BC},\frac{KB}{AC},\frac{KC}{AB}$ có ít nhất 1 tỉ số $\geq \frac{1}{\sqrt{3}}$