Xin đề xuất một hướng khai thác giả thiết khác như sau: Xét vế trái ta thấy các tử số đều ở dạng bậc 2, nên ta nhân cho bậc 4 để đưa về bậc 6 là bình phương của bậc 2, làm như vậy khi dùng cauchy - swarch sẽ rút gọn được biểu thức, và bên cạnh không làm "yếu nhiều" bất đẳng thức đầu bài

VT>=$\geq \frac{\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )^{2}}{a^{4}(b+c)+b^{4}(c+a)+c^{4}(a+b)}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng:

$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 3\sum ab(a^{3}+b^{3})$ (1)

Bất đẳng thức (1) có thể chứng minh đơn giản chỉ bằng phép biến đổi tương đương, hoặc AM-GM

Nếu dùng S.O.S như bạn Nghia_metal như ở trên lời giải này sẽ rất đẹp chỉ là chú ý các Sa, Sb, Sc trong trường hợp này đều không âm ( theo bdt hoán vị ) (NDT)

Bđt (1) chứng minh sao vậy bạn

Cho $x,y,z>0$ : $x+y+z=3$.Chứng minh: 

$$\frac{4x+5}{x^{3}+xy^{2}+3xyz}+\frac{4y+5}{y^{3}+yz^{2}+3xyz}+\frac{4z+5}{z^{3}+zx^{2}+3xyz}\geq\frac{162}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+27}$$

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh: 

$$\frac{4x+5}{x^{3}+xy^{2}+3xyz}+\frac{4y+5}{y^{3}+yz^{2}+3xyz}+\frac{4z+5}{z^{3}+zx^{2}+3xyz}\geq\frac{162}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+27}$$