$\boxed{\text{Bài 1}}$ Cho dãy $(x_{n})$ thỏa mãn:

$x_{1}=1,x_{2}=1,x_{3}=3$

$x_{n}x_{n-3}=x_{n-1}^{2}+x_{n-1}x_{n-2}+x_{n-2}^{2}.\forall n\geq 4$

Chứng minh: mọi số hạng của dãy nguyên.

Lâu lắm chưa vào diễn đàn, hôm nay thấy anh Mạnh đăng đề CSP nên vào chém tạm bài dãy vậy. Không biết đúng hay không nữa     

Ta sẽ tính được $x_{4}=7$

Theo đề bài ta có: $x_{n}x_{n-3}=x_{n-1}^{2}+x_{n-1}x_{n-2}+x_{n-2}^{2} (1)$

Do đúng với mọi $n\geq 4 $

$\Rightarrow x_{n+1}x_{n-2}=x_{n}^{2}+x_{n}x_{n-1}+x_{n-1}^{2} (2)$

Lấy $ (1)-(2)$ 

$\Rightarrow x_{n+1}x_{n-2}+x_{n-1}x_{n-2}+x_{n-2}^{2}=x_{n-1}x_{n}+x_{n-3}x_{n}+x_{n}^{2}$

$\Rightarrow \frac{x_{n}}{x_{n+1}+x_{n-1}+x_{n-2}}=\frac{x_{n-2}}{x_{n}+x_{n-1}+x_{n-3}}$ đúng với mọi $n\geq 4 $

$\Rightarrow \frac{x_{n}}{x_{n+1}+x_{n-1}+x_{n-2}}=\frac{x_{n-2}}{x_{n}+x_{n-1}+x_{n-3}}=...=\frac{x_{2}}{x_{4}+x_{3}+x_{1}}=\frac{1}{7+3+1}=\frac{1}{11}$

$\Rightarrow 11x_{n}=x_{n+1}+x_{n-1}+x_{n-2}$

Do $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ nguyên.

Theo quy nạp $\Rightarrow x_{n}\in Z$ $\forall n\geq 4$.

$\Rightarrow Q.E.D$ 

Cho $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$. Tìm $n$ sao cho $S(n)$ là ước lớn nhất của $n$ và khác $n$.

Cho $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$. Tìm $n$ sao cho $S(n)$ là ước lớn nhất của $n$ và khác $n$.

Giải:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+3}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}\leqslant \sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}=\frac{\sqrt{ab+3}}{\sqrt{c^2+3}}$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{4\sqrt{ab+3}}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{9c}{\sqrt{c^2+3}}$

Ta có $3=ab+c(a+b)\geqslant ab+2c\sqrt{ab}\Rightarrow \sqrt{ab}\leqslant -c+\sqrt{c^2+3}$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{4\sqrt{2(c^2+3)-2c\sqrt{c^2+3}}}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{9c}{\sqrt{c^2+3}}=4\sqrt{2-\frac{2c}{\sqrt{c^2+3}}}+\frac{9c}{\sqrt{c^2+3}}$

Đặt $t=\frac{c}{\sqrt{c^2+3}}(0<t<1)$

$\Rightarrow P\leqslant f(t)=4\sqrt{2-2t}+9t$

Đến đây khảo sát hàm $f(t)$ trên $(0;1)$

nhưng đây là 1 bài toán thi thử vào lớp 10 mà bạn, làm sao mà khảo sát hàm số được, bạn làm theo cách lớp 9 được ko vậy.

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn : $ab+bc+ca=3$. Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức : 

$P=4(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3}})+\frac{9c}{\sqrt{c^{2}+3}}$

Chém câu hình luôn nhé! Câu a,b thì chắc ai cũng làm được nên mình xin chém câu c. 

Dễ thấy $\Delta MHE$ vuông tại $H$ nên suy ra được $MH$_|_ $HE$. Mà $HE$ _|_ $AC$ nên $MH//AC$. Tương tự, ta cũng chứng minh được $NH//AB$. Từ đó suy ra các tứ giác $BDPH$ và $CEQH$ nội tiếp. Từ đó ta sẽ có 

$\widehat{DPB}=\widehat{DHB}=\widehat{BAH}=\widehat{SEH}$ và $\widehat{EQC}=\widehat{EHC}=\widehat{CAH}=\widehat{EDH}$ 

Từ đó, ta sẽ chứng minh được $BP$ và $CQ$ lần lượt là hai đường cao của tam giác $ABC$ nên $AH$,$BP$,$CQ$ đồng quytriangle.png

Tại sao lại dễ thấy $\Delta MHE$ vuông tại $H$ được luôn à bạn. 

Mình ngồi cả buổi chiều chỉ cần chứng minh được cái đấy là ra luôn mà.. Ngồi mãi mà chẳng ra..

chuyển 1 sang bên kia thành x^2-1 xong rồi phân tích là ra thôi

bài 4c mình làm sai rồi, hix

min cốp xki, lên mạng xem đi trường hợp này dùng 3 số

Bài này làm rồi mà

Không có đâu

Như thế nào

Do $0\leqslant a\leqslant 1$ nên $a^2\leqslant a$, do đó $a^2+b^2+c^2\leqslant a+b+c=2$

Bài của bạn dấu = không xảy ra

Có mà, dấu = xảy ra khi 2 số bằng 1 và 1 số bằng 0

Ta có:$(a-1)(b-1)(c-1)-abc\leq 0$

$\Leftrightarrow (ab-a-b+1)(c-1)-abc\leq 0$

$\Leftrightarrow abc-ab-bc-ac+a+b+c-1\leq 0$

$\Leftrightarrow a+b+c\leq ab+bc+ac+1$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)\leq 2(ab+bc+ac)+1$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2\leq (a+b+c)^2+1$

$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 1$$

Thế dấu bằng xảy ra khi nào hả bạn

Giải phương trình:
$\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[4]{x-5}=6$
 

Cách khác đây. Ta có $(x^2+y^2)^2\geq 4x^2y^2$ Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y$
Đặt $A=\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \Rightarrow A+2=\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{(x^2+y^2)^2}{x^2y^2} \Leftrightarrow A+2= \frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2}+\frac{3(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2}\geq 2+3=5 \Rightarrow A\geq3$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y$
Vậy $A\geq3 \Leftrightarrow x=y$
Nhớ LIKE nhá!!!!!!

Mà sao x ra lẻ vậy bạn, bạn xem đề có sai không???

ĐKXĐ: $x\geq0$
Bình phương hai vế lên ta có:

$x^4+16x^2+8x^3=(x^2+4x+4)(x^2-2x+4) \Leftrightarrow x^4+16x^2+8x^3=x^4-2x^3+4x^2+4x^3-8x^2+16x+4x^2-6x+16 \Leftrightarrow 3x^3+8x^2-4x-8=0$
Giải phương trình bậc 3 trên ta được $x=1.04589974$
Nhớ like nha!!!!!

Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta luôn có:

$a, a^{2} + 5b^{2} -4ab + 2a - 6b + 3 \geq 0$

$\Leftrightarrow (a-2b)^2+2(a-2b)+1+b^2-2b+1+1\geq0 \Leftrightarrow (a-2b+1)^2+(b-1)^2+1> 0$ luôn đúng với mọi a,b

Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta luôn có:

$b, a^{2}+2b^{2} - 2ab + 2a - 4b + 2 \geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+2(a-b)+1+b^2-2b+1\geq0 \Leftrightarrow (a-b+1)^2+(b-1)^2\geq0$ luôn đúng với mọi a,b
Nhớ like nhá!!!

Công Phá Bất Đẳng Thức.

Anh có thể giải kỹ cho em bài 2 được không ạ. Em chưa hiểu lắm.

$1.$ Với $n$ lẻ. Chứng minh rằng: $(x+y+z)^n-x^n-y^n-z^n \vdots (x+y)(y+z)(z+x)$.
$2.$ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để: $1+x^4+x^8+..+x^{4n} \vdots 1+x^2+x^4+..+x^{2n}$ là $n$ chẵn
$3.$ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để: $1+x^n+x^{2n}+..+x^{mn} \vdots 1 +x+x^2+..+x^m$ là $(m+1;n)=1$ hay $m+1$ và $n$ nguyên tố cùng nhau.

$2^0$ có được tính là lũy thừa của 2 không ạ???

 

 

Bài 30: Cho hai dãy số sắp thứ tự: $a\geq b\geq c;x\leq y\leq z$

 

Chứng minh bất đẳng thức $(a+b+c)(x+y+z)\geq 3(ax+by+cz)$

 

Ta có: $(a+b+c)(x+y+z)\geq 3(ax+by+cz) \Leftrightarrow a(x+y+z)-3ax +b(x+y+z)-3by+c(x+y+z)-3cz\geq 0 \Leftrightarrow a(y+z-2x)+ b(x+z-2y)+ c(x+y-2z)\geq 0 \Leftrightarrow a\left [ (y-x)+(z-x) \right ]+b\left [ (x-y)+(z-y) \right ]+ c\left [ (x-z)+ (y-z) \right ]\geq0 \Leftrightarrow a(y-x)+a(z-x)-b(y-x)+b(z-y)-c(z-x)-c(z-y)\geq 0 \Leftrightarrow (a-b)(y-x)+(a-c)(z-x)+(b-c)(z-y)\geq0$

CM BĐT:

    $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\geq 3(a^2+b^2+c^2) \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \geq0 \Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq 0$
 Bất đẳng thức trên  luôn đúng với mọi a,b,c.
 Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a+b+c=0$