Tìm $(x,y)$ là các cặp số nguyên sao cho $\frac{x^2+1}{y^2}+4$ là số chính phương

Cho $a$ và $b$ là các số nguyên sao cho tồn tại hai số nguyên liên tiếp $c$ và $d$ để $a-b=a^2c-b^2d$ $(*)$

Chứng minh rằng $|a-b|$  là số chính phương 

Không mất tính tổng quát giả sử  $ c>d$ Thay $c=d+1$ vào $(*)$ ta có $(a-b)(1-d(a+b))=a^2$

Ta chứng minh  $gcd(a-b; 1-d(a+b))=1$

Giả sử $p|a-b$ ; $p|1-d(a+b)$ $ $(1)$ với $p$ là số nguyên tố

Suy ra $p|a^2$ suy ra $p|a$ 

mà $p|a-b$ nên $p|b$

Khi đó $p|a+b$, kết hợp với $(1)$ suy ra điều giả sử là sai, loại

Suy ra $gcd(a-b; 1-d(a+b))=1$ suy ra $|a-b|$ là số chính phương

Cho các phương trình: 

$x^2+bx+c=0 (1)$

$y^2+mx+n=0 (2)$

Trong đó các hệ số $b,c,m,n$ đều khác $0$. Biết $b,c$ là nghiệm của phương trình $(2)$; $m;n$ là các nghiệm của phương trình $(1)$ 

Chứng mình $a^2+b^2+m^2+n^2=10$

bài này xuất hiện trong đề thi thử Ams năm ngoái nhé bạn

http://vndoc.com/de-...terdam/download

Chính xác :') mình định tìm kiếm cách hay hơn :') 

Ừ thì cũng tùy cậu thôi vì nếu theo cách cậu còn phải biện luận nếu $a=b$ thì sao nữa mà 
$x^2+xy+y^2 \ge 3\sqrt[3]{x^2xyy^2}=3xy$ mà

mình đính chính lại đề rồi mà? Nếu làm như cậu ở đoạn cuối thì đâu chứng minh được đề bài yêu cầu?!

cậu tô nhiều quá nên mình chả biết từ đâu với lại tại sao $a \ge x^2+xy+y^2$ ?

mình xin lỗi 

$d$ chứ không phải $a$ nhé

khai thác từ đoạn đầu của cậu mà ? 

ý cậu là sao ?

ý mình là như mình đã viết

Bài này là của Nga 2001 . Lâu lâu chả đăng bài nào nên tiện đăng luôn  
Đặt $d=gcd(a,b)$ suy ra $a=dx,b=dy$ trong đó $x,y \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(x,y)=1$ 
Ta có $\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}=\frac{d^3xy(x+y)}{d^2(x^2+xy+y^2)}=\frac{dxy(x+y)}{x^2+xy+y^2}$ 
Bởi vì $gcd(x,y)=1$ đo đó $gcd(x,x^2+xy+y^2)=gcd(y,x^2+xy+y^2)=gcd(x+y,x^2+xy+y^2)=1$ 
Suy ra $x^2+xy+y^2|d$ suy ra $d \ge x^2+xy+y^2 \Leftrightarrow (|a-b)|)^3=d^3.|x-y|^3 \ge d^3 \ge d^2(x^2+xy+y^2)>d^2xy=ab$ 
Suy ra $|a-b|>\sqrt[3]{ab}$ 
P/s : Hình như bạn đánh đề nhầm $\sqrt[3]{ab}$ đúng không ? 

Mình nghĩ là từ đây thì áp dụng $AM-GM$ $a\geq x^2+xy+y^2\geq 3\sqrt[3]{(xy)^2}> 3xy$

Cho $a$ và $b$ là các số nguyên dương khác nhau thỏa mãn $(a^2+ab+b^2)|ab(a+b)$ 

Chứng minh rằng $ |a-b|>$  $\sqrt[3]{3ab}$

Bài này là của Nga 2001 . Lâu lâu chả đăng bài nào nên tiện đăng luôn  
Đặt $d=gcd(a,b)$ suy ra $a=dx,b=dy$ trong đó $x,y \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(x,y)=1$ 
Ta có $\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}=\frac{d^3xy(x+y)}{d^2(x^2+xy+y^2)}=\frac{dxy(x+y)}{x^2+xy+y^2}$ 
Bởi vì $gcd(x,y)=1$ đo đó $gcd(x,x^2+xy+y^2)=gcd(y,x^2+xy+y^2)=gcd(x+y,x^2+xy+y^2)=1$ 
Suy ra $x^2+xy+y^2|d$ suy ra $d \ge x^2+xy+y^2 \Leftrightarrow (|a-b)|)^3=d^3.|x-y|^3 \ge d^3 \ge d^2(x^2+xy+y^2)>d^2xy=ab$ 
Suy ra $|a-b|>\sqrt[3]{ab}$ 
P/s : Hình như bạn đánh đề nhầm $\sqrt[3]{ab}$ đúng không ? 

Mình xin lỗi. Đã sửa. Nhưng để không phải như cậu nói. 

Cho $a$ và $b$ là các số nguyên dương khác nhau thỏa mãn $(a^2+ab+b^2)|ab(a+b)$ 

Chứng minh rằng $ |a-b|>\sqrt[3]{3ab}$

Bài hình thi vào CSP ngày 2:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường cao AD, BE, CF đồng qui tại H. Các tiếp tuyến tại B và C của $(O)$ cắt nhau tại S. AO và BS cắt EF tại Y và X. Chứng minh: $\frac{EF}{BC}=\frac{FY}{DC}$

Bài toán gốc: Cho tam giác nhọn $ABC(AB<AC)$,$M$ là trung điểm của cạnh $BC$,$O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.Các đường cao $AD$,$BE$,$CF$ của tam giác $ABC$ đồng quy tại $H$.Các tiếp tuyến với $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $S$.Gọi $X$,$Y$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $EF$ với các đường thẳng $BS$,$AO$.Chứng minh rằng:

1.$MX \perp BF$

2.Hai tam giác $SMX$ và $DHF$ đồng dạng

3.$\frac{EF}{FY}=\frac{BC}{CD}$ 

Chứng minh  các ý nhỏ thì dễ rồi 

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $P$ nguyên:

$P=\frac{\left ( 17+12\sqrt{2} \right )^n-\left ( 17-12\sqrt{2} \right )^n}{4\sqrt{2}}$

Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2-4=y^3$

 

Đây là Pell loại 1 thì trình bày tiếp thế nào bạn ? Mình không biết đến bài toán Pell !

 

 

Ta xét trong trường hợp phương trình Pell loại I nhận các nghiệm nguyên dương (tức là $x, y\in\mathbb{Z^+}$). Gọi $(a, b)$ là hai cặp nghiệm bé nhất của phương trình Pell loại I. Khi đó công thức nghiệm của phương trình này được xác định bởi công thức tổng quát của dãy $(x_n), (y_n)$: $$\begin{cases}x_n=\dfrac{(a+b\sqrt{d})^n+(a-b\sqrt{d})^n}{2}\\y_n=\dfrac{(a+b\sqrt{d})^n-(a-b\sqrt{d})^n}{2\sqrt{d}}\end{cases}$$

 

khi đó chỉ nhận được công thức truy hồi, vậy giải quyết bước tiếp theo như thế nào?

một bài toán thcs cơ mà....? 

Cho $a,b,c$ là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$A=\frac{4a}{a+b+2c}+\frac{b+3c}{2a+b+c}-\frac{8c}{a+b+3c} $

 Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa:  $x+y+z=1$

Tìm min $ \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+ \frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+ \frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$

Ra hệ mới sao ko dùng vi-ét đảo cho tiện nhỉ

Ủa THCS được xài Viet đảo  cho phương trình bậc cao luôn ạ? 

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x+y+z= 2 \\ x^2+y^2+z^2=6 \\ x^3+y^3+z^3=8 \end{matrix}\right.$

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ cố định và đường kính $CD$ chuyển động sao cho các đường thẳng $AC,AD$ cắt tiếp tuyến qua $B$ lần lượt tại $C_1$, $D_1$ 

1/ Gọi H là trực tâm tam giác $CC_1D_1$. CMR $H$ thuộc một đường tròn cố định.

2/ CMR tứ giác $CDD_1C_1$ nội tiếp. Xác định vị trí đường kính $CD$ để đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó có bán kính nhỏ nhất. 

Có kĩ thuật mà em, sử dụng máy tính cầm tay dò nghiệm, xem nghiệm đó của PT bậc 2 nào rồi chia đa thức. Chắc em sẽ được học thôi!

Đi thi sao lưu hsg không được sử dụng máy tính đâu ạ =)) 

Có duy nhất 1 căn thì cứ lũy thừa thôi, cách khác nghĩ sau ha!

ĐK: $x\geq -6$

PT $\Leftrightarrow x^2+4x=\sqrt{x+6} \Rightarrow x^4+8x^3+16x^2=x+6 \Leftrightarrow (x^2+5x+3)(x^2+3x-2)=0 \Leftrightarrow ...$

Đoạn nhân tử có sự giúp đỡ của wolframalpha không chị?

Nếu chị thì chị đã làm thế nào để mò được ạ? ;-; 

Giải phương trình

$x^{2}-\sqrt{x+6}=-4x$

Bạn bình phương ra phương trình bậc 4 rồi thử dùng cái này xem sao $\iff$ đây.

Dùng cái Xin lỗi phẩy chúng tôi không tìm thấy chấm than này ý ạ? LOL

Đặt $t=\sqrt{2x+3}$ 
PT $\leftrightarrow (2t^2-6)^2+5(t^2-3)+1-t = 0$ 
https://vi.wikipedia...ơng_trình_bậc_n =)))

vậy kết quả?!