Đến nội dung

tritanngo99 nội dung

Có 28 mục bởi tritanngo99 (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#744085 Chứng minh rằng:$S_{m+n}+S_{m-n}=S_{m}.S_...

Đã gửi bởi tritanngo99 on 11-03-2024 - 08:39 trong Đại số

Mình xin trình bày lời giải bài này như sau:

Ta có: $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1\implies \sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$

Do đó: $S_{k}=(\sqrt{2}+1)^{k}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{k}}$

Từ đây, bắt đầu tính toán $S_{m+n}+S_{m-n}$ và $S_m.S_n$, thu được kết quả như sau:

+ $S_{m+n}.S_{m-n} =(\sqrt{2}+1)^{m+n}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{m+n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{m}}{(\sqrt{2}+1)^{n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{n}}{(\sqrt{2}+1)^{m}} (I)$

 

+ $S_m.S_n =(\sqrt{2}+1)^{m+n}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{m+n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{m}}{(\sqrt{2}+1)^{n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{n}}{(\sqrt{2}+1)^{m}} (II)$

 

Từ (I) và (II) ta thu được điều phải chứng minh




#732179 $M$ thỏa mãn: $\overrightarrow{AM}+x\overr...

Đã gửi bởi tritanngo99 on 23-12-2021 - 12:04 trong Hình học phẳng

Cho hình chữ nhật $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{AC}=0$.

Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABM$. Biết: $\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{AB}=\frac{-a^2}{9}$.

Giá trị của $x$ là bao nhiêu? 

Hình chữ nhật hay và hình vuông vậy bạn ? 




#731412 [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

Đã gửi bởi tritanngo99 on 01-11-2021 - 06:19 trong Các dạng toán khác

Bài 15: [IMO 1986] Cho $d$ là một số nguyên dương khác $2,5$ và $13$. Chứng minh rằng có thể tìm được hai số nguyên dương $a$ và $b$ từ tập hợp $\left\{,2,5,13,d\right\}$ sao cho $ab-1$ không phải là số chính phương.




#731377 [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

Đã gửi bởi tritanngo99 on 30-10-2021 - 06:04 trong Các dạng toán khác

Bài 14: [IMO 1985] Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn. Một đường tròn có tâm nằm trên cạnh $AB$ của tứ giác sao cho ba cạnh còn lại tiếp xúc với đường tròn đó. Chứng minh rằng: $AD+BC=AB$




#731366 [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

Đã gửi bởi tritanngo99 on 29-10-2021 - 06:04 trong Các dạng toán khác

Bài 13: [IMO 1987] Cho $n$ là một số nguyên dương. Với mỗi số nguyên không âm $k$, kí hiệu $p_n(k)$ là số các hoán vị của tập hợp $\left\{1,2,...,n\right\}$, mà có đúng $k$ điểm cố định. Chứng minh rằng: $\sum\limits_{k=0}^{n}k*p_n(k)=n!$

 

Chú ý. Một hoán vị $f$ của tập hợp $S$ là một song ánh đi từ $S$ vào $S$. Một phần tử $i\in S$ được gọi là điểm cố định của hoán vị $f$ nếu như $f(i)=i$




#731354 [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

Đã gửi bởi tritanngo99 on 28-10-2021 - 07:17 trong Các dạng toán khác

Bài  12: [IMO 2004] Trong tứ giác lồi $ABCD$ đường chéo $BD$ của nó không phải là phân giác của góc $\angle{ABC}$ và $\angle{CDA}$. Một điểm $P$ nằm trong tứ giác $ABCD$ và thoả mãn: $\angle{PBC}=\angle{DBA}$ và $\angle{PDC}$ và $\angle{BDA}$.

 

Chứng minh rằng $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi $AP=CP$.




#731340 [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

Đã gửi bởi tritanngo99 on 27-10-2021 - 07:30 trong Các dạng toán khác

Bài 11: [IMO 1990] Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{Q}^{+}\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$ thoả : $f(xf(y))=\frac{f(x)}{y},\forall x,y\in \mathbb{Q}^{+}$




#731320 [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

Đã gửi bởi tritanngo99 on 26-10-2021 - 06:57 trong Các dạng toán khác

Bài 10: [IMO 1966] Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác, còn $\alpha, \beta, \gamma$ tương ứng là ba góc đối diện với ba cạnh trên. Chứng minh rằng, nếu $a+b=tan(\frac{\gamma}{2})(a*tan(\alpha)+b*tan(\beta))$, thì tam giác đang xét là tam giác cân.




#731302 [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

Đã gửi bởi tritanngo99 on 25-10-2021 - 07:25 trong Các dạng toán khác

Bài 9: [IMO 1988] Cho $n$ là một số nguyên dương và $A_1,A_2,...,A_{2n+1}$ là các tập hợp con của tập hợp $B$. Giả sử rằng: 

 

(a) Mỗi $A_i$ có đúng $2n$ phần tử.

 

(b) Mỗi $A_i\cap A_i(1\le i<j\le 2n+1)$ chứa đúng một phần tử.

 

(c) Mọi phần tử của $B$ đều thuộc vào ít nhất hai tập con $A_i$.

 

Hỏi rằng với những giá trị nào của số $n$ thì chúng ta có thể đánh dấu mọi phần tử của $B$ bởi các số $0$ và $1$ sao cho mỗi $A_i$ có đúng $n$ phần tử được đánh số $0$




#731288 Tính IH

Đã gửi bởi tritanngo99 on 24-10-2021 - 11:11 trong Hình học

Bạn ơi, xem lại đề nhé ! "d là đường trung trực của d" là sao nhỉ ? 




#731285 [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

Đã gửi bởi tritanngo99 on 24-10-2021 - 07:07 trong Các dạng toán khác

Bài 8: [IMO 1987] Chứng minh rằng không tồn tại hàm $f$ nào từ tập hợp các số nguyên không âm vào chính nó thoả mãn $f(f(n))=n+1987$ với mọi $n$.




#731267 [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

Đã gửi bởi tritanngo99 on 22-10-2021 - 19:22 trong Các dạng toán khác

Bài 7: [IMO 1978] Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Một đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác đó và với các cạnh $AB,AC$ ở các điểm $P,Q$ tương ứng. Chứng minh rằng: Trung điểm của đoạn thẳng $PQ$ chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.




#731247 [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

Đã gửi bởi tritanngo99 on 21-10-2021 - 18:03 trong Các dạng toán khác

Bài 6: [IMO 1963] Chứng minh rằng: $cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}$




#731224 [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

Đã gửi bởi tritanngo99 on 20-10-2021 - 18:29 trong Các dạng toán khác

Bài 5: [IMO 1995] Hãy xác định giá trị lớn nhất của $x_0$ sao cho tồn tại một dãy các số thực dương $x_0,x_1,...,x_{1995}$ thoả mãn $x_0=x_{1995}$ và với mọi $i=1,2,3,...,1995$ thì: $x_{i-1}+\frac{2}{x_{i-1}}=2x_i+\frac{1}{x_i}$




#731213 [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

Đã gửi bởi tritanngo99 on 19-10-2021 - 17:58 trong Các dạng toán khác

Bài 4: [IMO 1994] Với bất kỳ một số nguyên dương $k$ nào ta ký hiệu $f(k)$ là số các phần tử của tập hợp $\left\{k+1,k+2,...,2k\right\}$ mà trong biểu diễn ở cơ số $2$ (hệ nhị phân)  thì có đúng ba số $1$

 

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $m$ tồn tại ít nhất một số nguyên $k$ sao cho $f(k)=m$

 

b) Xác định tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho có đúng một số nguyên dương $k$ thoả mãn $f(k)=m$




#731206 [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

Đã gửi bởi tritanngo99 on 18-10-2021 - 21:03 trong Các dạng toán khác

Bài 3: [IMO 1985] Cho một tập hợp $M$ gồm $1985$ số nguyên dương phân biệt, sao cho không có số nào có ước nguyên tố lớn hơn $26$. Chứng minh rằng $M$ chứa ít nhất một tập con bốn phần tử mà tích của chúng là một luỹ thừa bậc bốn của một số nguyên.




#731195 [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

Đã gửi bởi tritanngo99 on 17-10-2021 - 17:42 trong Các dạng toán khác

Bài 2: [IMO 2002] Hãy xác định tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho: $(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)$ với mọi $x,y,z,t\in \mathbb{R}$




#731184 [TOPIC] Mỗi ngày một bài toán IMO

Đã gửi bởi tritanngo99 on 16-10-2021 - 18:56 trong Các dạng toán khác

Mùa đông đến rồi, sợ diễn đàn lạnh lẽo, nên mình tạo topic này có tên : "Mỗi ngày một bài toán IMO", mục đích chính là để post lại các bài IMO đã qua để mọi người cùng thảo luận cho vui, học hỏi là chính, có thể đóng góp nhiều lời giải khác nhau để nâng cao kiến thức. 

 

Không có gì hơn, có mấy điều, mong các bạn chú ý :

 

+ Không được spam tránh gây loãng topic

 

+ Mỗi ngày, mình sẽ đăng một bài, nên nếu bạn nào có ý định đề nghị bài nào đó hay thì có thể gửi qua tin nhắn của mình trên diễn đàn cũng được nhé

 

Ngoài ra, mình khuyến khích các bạn có thể dẫn một số bài liên quan hoặc tương tự đến những bài IMO này để mọi người có thể mở rộng thêm những kiến thức về bài toán IMO được nhắc tới.

 

Một lần nữa không có gì hơn, mình mong các bạn tham gia nhiệt tình sôi nổi để diễn đàn không bị cô đơn giữa mùa đông sắp đến nhé ! 

 

Để mở đầu, mình bắt đầu một bài như sau:

 

Bài 1: [IMO 1990] Cho $n\ge 3$ là một số nguyên và xét tập hợp $E$ gồm có $2n-1$ điểm nằm trên một đường tròn. Giả sử rằng có đúng $k$ điểm được tô màu đen. Một cách tô màu như thế được gọi là "tốt' nếu như có ít nhất một cặp điểm màu đen sao cho phần trong của một trong hai cung nhận nó làm đầu mút chứa chính xác $n$ điểm của $E$. Hãy xác định giá trị bé nhất của $k$ sao cho với mọi cách tô màu $k$ điểm của $E$ đều là tốt. 




#731153 IMO short list (problems+solutions) và một vài tài liệu olympic

Đã gửi bởi tritanngo99 on 14-10-2021 - 22:19 trong Tài nguyên Olympic toán

updated :

+ APMO 2020 [solutions]: https://www.apmo-off...pmo2020_sol.pdf

+ APMO 2021 [solutions]: https://www.apmo-off...pmo2021_sol.pdf

+ APMO 2022 [solutions]: https://www.apmo-off...pmo2022_sol.pdf




#731152 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại $n...

Đã gửi bởi tritanngo99 on 14-10-2021 - 22:01 trong Tổ hợp và rời rạc

[IMO 1989] Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho không có số nào trong chúng là một luỹ thừa của một số nguyên tố.




#728848 Học gì ở Toán phổ thông

Đã gửi bởi tritanngo99 on 14-07-2021 - 10:16 trong Kinh nghiệm học toán

Em thấy bài này hay : https://www.quantama...fhASXuh_Dg4fFlU nên share ở đây ạ, hy vọng có ai dịch ra Tiếng Việt để mọi người cùng đọc ạ !




#728763 Xác suất A thắng là $\frac{a}{b}$. Tính...

Đã gửi bởi tritanngo99 on 10-07-2021 - 23:03 trong Tổ hợp và rời rạc

Ta giải tổng quát với $p_A, p_B$ lần lượt là xác suất $A,B$ tung ra mặt ngửa.

Gọi $X_n$ là biến cố "trò chơi dừng lại ở lượt tung xu thứ $n$". Ta sẽ tính $P(X_n)$.

TH1: Nếu $n$ lẻ (tức là A thắng). Đặt $n=2k+1$ thì để đạt trạng thái này, $A,B$ phải thay phiên nhau tung ra mặt sấp $k$ lần, và lần $2k+1$ A tung ra mặt ngửa. Vì thế

\[P(X_{2k+1}) = {p_A}{\left( {1 - {p_A}} \right)^k}{\left( {1 - {p_B}} \right)^k}\]

TH2: Nếu $n$ chẵn (tức là B thắng). Đặt $n=2k$. Trạng thái này chỉ xảy ra khi $A,B$ thay phiên nhau tung ra mặt sắp $k-1$ lần, rồi $A$ tung mặt sấp và cuối cùng $B$ tung mặt ngửa. Do đó:

\[P(X_{2k}) = {\left( {1 - {p_A}} \right)^k}{\left( {1 - {p_B}} \right)^{k - 1}}{p_B}\]

Do đó, kỳ vọng $A$ thắng (biến cố $Y_A$) là:

\[\mathbb{E} \left( {{Y_A}} \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {P\left( {{X_{2k + 1}}} \right)}  = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {{p_A}{{\left( {1 - {p_A}} \right)}^k}{{\left( {1 - {p_B}} \right)}^k}}  = {p_A}\frac{1}{{1 - \left( {1 - {p_A}} \right)\left( {1 - {p_B}} \right)}} = \frac{{{p_A}}}{{{p_A} + {p_B} - {p_A}{p_B}}}\]

 

Phần còn lại là thế số $p_A=\frac{1}{3}$ và $p_B=\frac{2}{5}$, ta có $\mathbb{E} \left( {{Y_A}} \right) = \frac{5}{9}$

Bài giải hay anh ! Anh cho em hỏi cái đoạn $\sum\limits_{k = 0}^\infty {{p_A}{{\left( {1 - {p_A}} \right)}^k}{{\left( {1 - {p_B}} \right)}^k}} = {p_A}\frac{1}{{1 - \left( {1 - {p_A}} \right)\left( {1 - {p_B}} \right)}}$ có phải anh dùng hàm sinh: $\sum\limits_{k=0}^{+\infty}x^{k}=1+x+x^2+...=\frac{1}{1-x}$ trong đó $x=(1-p_A)(1-p_B)$ đúng không ạ ? 




#728400 a/ tính $AI$,$AK$ theo b,c b/ chứng minh rằng: $...

Đã gửi bởi tritanngo99 on 25-06-2021 - 10:51 trong Hình học

Cho $\triangle{ABC}$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $I$ và $K$ thứ tự là hình chiếu của $H$ trên $AB$ và$AC$. Đặt $AB=c;AC=b$

a/ tính $AI$,$AK$ theo b,c

b/ chứng minh rằng: $\frac{BI}{CK}=\frac{c^3}{b^3}$

khaa.png

 

Lời giải:  

 

a) Áp dụng hệ thức lượng vào $\triangle{ABC}$ vuông tại $A$. Ta có: $\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{b^2+c^2}{b^2c^2}$

 

Nên từ đây ta suy ra được: $AH^2=\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}\implies AH=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}$

 

Tiếp tục, áp dụng hệ thức lượng vào $\triangle{AHB}$, ta có: $AH^2=AI.AB\implies AI=\frac{AH^2}{AB}=\frac{\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}}{c}=\frac{b^2c}{b^2+c^2}$

 

Tương tự, áp dụng hệ thức lượng vào $\triangle{AHC}$, ta có: $AH^2=AK.AC\implies AK=\frac{AH^2}{AC}=\frac{\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}}{b}=\frac{bc^2}{b^2+c^2}$

 

b)

Ta có: $BI = AB-AI = c -\frac{b^2c}{b^2+c^2} = \frac{c(b^2+c^2)-b^2c}{b^2+c^2}=\frac{c^3}{b^2+c^2} $

 

và : $CK = AC-AK = b -\frac{bc^2}{b^2+c^2} = \frac{b(b^2+c^2)-bc^2}{b^2+c^2}=\frac{b^3}{b^2+c^2} $

 

Nên từ đây ta suy ra được $\frac{BI}{CK}=\frac{\frac{c^3}{b^2+c^2}}{\frac{b^3}{b^2+c^2} } = \frac{c^3}{b^2+c^2} . \frac{b^2+c^2}{b^3}=\frac{c^3}{b^3}$

 

Vậy ta có điều phải chứng minh !




#727265 Học gì ở Toán phổ thông

Đã gửi bởi tritanngo99 on 18-05-2021 - 23:07 trong Kinh nghiệm học toán

Em mới search được link này khá hay về lịch sử của nhà toán học Alexander Grothendieck: https://arxiv.org/pdf/1605.08112.pdf

Hy vọng có ai dịch ra để mọi người cùng đọc với ạ!




#726115 Học gì ở Toán phổ thông

Đã gửi bởi tritanngo99 on 28-04-2021 - 19:33 trong Kinh nghiệm học toán

Em có thêm một ý kiến nữa: Những bài được đăng toán hiện đại, chúng ta nên lưu lại ở một nơi nào đó để lỡ diễn đàn mất dữ liệu thì vẫn có cái để khôi phục ạ!