Tìm $a,b,n$ nguyên dương thỏa mãn: $\left ( a^{3}+b^{3} \right )^{n}=4\left ( ab \right )^{2013}$

Họ tên: Nguyễn Thị Thu Giang

Nick trong diễn đàn: tonarinototoro

Năm sinh: 2000

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp: THCS & THPT

Giải các phương trình sau:

d)  $2x^2-11x+33=6\sqrt{x+6}$

f)  $\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2$

d,ĐKXĐ: $x\geq6$

$2x^2-11x+33=6\sqrt{x+6}\leq 9+(x+6)$ (bđt Cauchy)$\Rightarrow 2(x-3)^2\leq 0\Rightarrow x=3$

thử lại => nghiệm đúng

f, $PT\Leftrightarrow \sqrt{3(x+1)^2+4}+\sqrt{5(x+1)^2+9}=5-(x+1)^2$

đặt $(x+1)^2=t\geq0$ $=> PT \sqrt{3t+4}+\sqrt{5t+9}=5-t$

$\Leftrightarrow (\sqrt{3t+4}-2)+(\sqrt{5t+9}-3)+t=0\Leftrightarrow t(\frac{1}{\sqrt{3t+4}+2}+\frac{1}{\sqrt{5t+9}+3}+1)=0$ 

biểu thức trong ngoặc thứ hai >0 => $t=0 => x=-1$

1. Giải hệ phương trình

b, $\left\{\begin{matrix} (4x^{2}-4xy +4y^{2}-51)(x-y)^{2} +3 =0 & \\ (2x-7)(x-y)+1=0& \end{matrix}\right.$

nhận thấy $x=y$ không phải là nghiệm của hệ. chia pt(1) cho $(x-y)^2$, pt(2) cho $(x-y)$

ta có hệ $\left\{\begin{matrix} 3(x-y)^2+(x+y)^2-51+\frac{3}{(x-y)^2}=0 & & \\ (x-y)+(x+y)-7+\frac{1}{x-y}=0& & \end{matrix}\right.$

đến đây đặt $x-y+\frac{1}{x-y}=a, x+y=b$ ta sẽ thu được 1 hệ đơn giản dễ giải được

Điều kiện: $x+1\geq 2y$

$PT(1)\Leftrightarrow y^2+2y+1+y\sqrt{y^2+1}=x+\frac{3}{2}\Leftrightarrow y^2+2y\sqrt{y^2+1}+y^2+1=2x-4y+2$

$\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{2x-4y+2}$ (chú ý: $y+\sqrt{y^2+1}>0$  $\forall y$)

$\Leftrightarrow 2y+\sqrt{(2y)^2+4}=2\sqrt{2x-4y+2}$

$\Rightarrow 2y+\sqrt{(2y)^2+4}=(x-1)+\sqrt{(x-1)^2+4}$

$\Rightarrow 2y=x-1$

thay vào pt (2) dễ dàng giải ra được x

Gpt

$x^2+\sqrt[3]{x^4-x^2}=2x+1$

đặt $\sqrt[3]{x}=a,\sqrt[3]{x^{2}-1}=b$

PT đã cho viết lại thành $\Rightarrow b^3-2a^3+a^2b=0$ -> pt đẳng cấp bậc 3

Có $1$ cách giải ở đây

giải bằng cách cấp 2 nhé. bài này mà dùng hàm số thì ngon

Giải phương trình:

$5\left[x\sqrt{x^2+6}+(x+1) \sqrt{x^2+2x+7}\right]=13(2x+1)$

$PT <=> \sqrt{x^{2}+1}-x +3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}-x}}+3x^{2}-4=0$ (1)

Đặt $t= \sqrt{x^{2}+1}-x$ => $t \epsilon [\sqrt{2}-1;3]$

$PT <=> t+\sqrt[3]{\frac{1}{t}}+3x^{2}-4=0$

Xét $f(t)=t+\sqrt[3]{\frac{1}{t}}-4 ( t\epsilon [\sqrt{2}-1;3])$

Đạo hàm -> BBT -> $f(t)_{Min}=0$ khi t=1.

Từ đó suy ra $t+\sqrt[3]{\frac{1}{t}}+3x^{2}-4\geq =0$

Suy ra x=0 là nghiệm của PT

đây là toán THCS mà sao dùng đạo hàm

biến đổi như PT(1) ở trên rồi đặt $\sqrt[3]{\sqrt{x^2+1}-x}=t (t>0)$ => $VT(1)= t^{3}+\frac{3}{t}-4=\frac{(t-1)^2(t^2+2t+3)}{t}\geq 0$ với $t>0$

sử dụng bđt C-S

$VT=\sum \frac{a\sqrt{1+b+c}}{\sqrt{(a^2+b+c)(1+b+c)}}\leq\sum \frac{a\sqrt{1+b+c}}{\sqrt{(a+b+c)^2}}=\frac{\sum \sqrt{a}\sqrt{a(1+b+c)}}{a+b+c}\leq \frac{\sqrt{\sum a.(\sum a+2\sum ab)}}{\sum a}=\sqrt{1+\frac{2\sum ab}{\sum a}}\leq \sqrt{3}$

(do $\frac{\sum ab}{\sum a}\leq \frac{\sum a}{3}\leq \frac{\sqrt{3\sum a^{2}}}{3}=1$)

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=2 & & \\ \frac{72xy}{x-y+29\sqrt[3]{x^2-y^2}=4} & & \end{matrix}\right.$

bạn xem lại đề thử xem có sai không. nếu mình không nhầm thì đề đúng là $\begin{cases} \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=2 \\ \frac{72xy}{x-y}+29\sqrt[3]{x^{2}-y^{2}}=4 \end{cases}$

đề thi khối 10

câu 1, nhân liên hợp với x=1

câu 3,

$\sum \frac{x}{x^{4}+1+2xy}\leq \sum \frac{x}{2x^{2}+2xy}\leq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{x+y}\leq \frac{3}{2}$

$3=\sum \frac{1}{x}=\frac{1}{2}\left ( \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )+\left ( \frac{1}{y} +\frac{1}{z}\right ) +\left ( \frac{1}{z}+\frac{1}{x} \right )\right )\geq \frac{1}{2}.\sum \frac{4}{x+y}\Rightarrow \sum \frac{1}{x+y}\leq \frac{3}{2}$

từ 2 điều trên ta có đpcm

hình như đề bài nhầm thì phải , vận tốc của người đi bộ là 4km/h, nếu là 3 ra số lẻ. mình sẽ giải với đề là 4km/h

(đây là 1 câu trong đề khảo sát đội tuyển lí trường mình)

gọi thế này cho dễ =)) : người thứ nhất=ng1, người thứ hai=ng2, người thứ ba=ng3

gs ng1 để ng2 ở D và quay lại đón ng3 ở C (ko vẽ được hình, thông cảm :3 )

quãng đường ng1 đi là AD+DC+CB=AB+2CD (km)

ng1 đi qđ đó trong thời gian 9-8=1h với vận tốc 16km/h => AB+2CD=16 km => CD=4km

qđ đi bộ của ng3 là AC. đặt AC=x (km) thì ta có pt $\frac{x}{4}+\frac{8-x}{16}=1$. giải ra được $x=\frac{8}{3}$

qđ đi bộ của ng2 là DB=AB-AC-CD=$\frac{8}{3}$ km

Không liên quan

Cậu ghi đề sao để sai lỗi chính tả kìa

Đề còn giả thiết nào nữa không bạn, người thứ nhất đạp xe vẫn giữ nguyên vận tốc 16km/h khi về chở người thứ 3 hay là có thay đổi như thế nào ??

 klq nhưng bạn thắc mắc giống hệt bạn mình (xong nó bị cô mắng 1 trận te tua )

mấy hôm rồi mới vào diễn đàn

chú ý $x+\frac{x}{x-1}=x.\frac{x}{x-1}$ là được

$a^2+a+1=0\Rightarrow a^3+a^2+a=0\Rightarrow $$a^3=1\Rightarrow a^{1981}=1$

chỗ này là sao vậy thầy 

Cho $a^2+a+1=0$. Tính tổng $a^{1981}+\frac{1}{a^{1981}}$

$a^{2}+a+1=0\Rightarrow a\neq 1\Rightarrow (a-1)(a^{2}+a+1)=0\Rightarrow a^{3}=1$

$a^{1981}+\frac{1}{a^{1981}}=a.(a^{3})^{660}+\frac{1}{(a^{3})^{660}}=a+\frac{1}{a}=\frac{a^{2}+1}{a}=\frac{-a}{a}=-1$

$\left\{\begin{matrix}2x + y+ xy = 14 & & \\ x ^ 3 + 3x^2 + 3x - y - 1 = 0 & & \end{matrix} \right.$

biến đổi tương đương ta được hệ sau $\left\{\begin{matrix} (x+1)(y+2)=16 & & \\ (x+1) ^{3}=y+2& & \end{matrix}\right.$

nhân vế với vế ta có $(x+1)^{4}(y+2)=16(y+2)$ suy ra $y+2=0$ hoặc  $(x+1)^{4}=16$

gs pt đã cho có nghiệm hữu tỉ

$\Delta =b^{2}-4ac\in \mathbb{Z}\Rightarrow  b^{2}-4ac=k^{2} (k\in \mathbb{N})$

1 cách trình bày khác (ý tưởng thì vẫn giống bài của bạn Hùng)

BĐT cần cm tương đương với $\frac{a^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{b^{2}}{(c-a)^{2}}+\frac{c^{2}}{(a-b)^{2}}\geq 2$

đặt $(\frac{a}{b-c};\frac{b}{c-a};\frac{c}{a-b})=(x;y;z)$

$\Rightarrow (x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1) (=\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)})$

$\Rightarrow 2\sum xy=-2 $

mà $\sum x^{2}\geq- 2\sum xy\Rightarrow \sum x^{2}\geq 2 $ => ta có đpcm

dấu "=" xảy ra <=> $x+y+z=0 <=> \frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$

 1 bài toán tương tự : cho a,b,c là các số thực đôi một phân biệt. CMR $\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{\left ( b+c \right )^{2}}{\left ( b-c \right )^{2}}+\frac{\left ( c+a \right )^{2}}{\left ( c-a \right )^{2}}\geq 2$

cm hoàn toàn tương tự như trên

xét các TH sau:

+)$ a=0$ => mọi $b$ là STN đều tm đề bài

+)$b=0$ => mọi $a$ là STN đều tm đề bài

+) $a\geq1,b\geq1$

$a+b^{2}\vdots a^{2}b-1\Rightarrow a+b^{2}=k\left ( a^{2}b-1 \right )$ vì $a\geq1,b\geq1$ nên $k\in \mathbb{N}*$

$\Rightarrow a+k=b(ka^{2}-b)\Rightarrow a+k=mb$ với $m=ka^{2} -b (m\in N*)$

Đề bài: Giải phương trình: $x^{4}=8x+7$

PT đã cho $\Leftrightarrow x^{4}+2x^{2}+1=2\left ( x^{2}+4x+4 \right )\Leftrightarrow \left ( x^{2}+1 \right )^{2}=2\left ( x+2 \right )^{2}$

đến đây dễ giải rồi 

Bài này chỉ cần chú ý: $\sqrt{15}>\frac{a}{b}=> a^2<15b^2\Rightarrow a^2\leqslant 15b^2-1$

Xét xem SCP có thể chia 15 dư bao nhiêu, rùi lùi xuống...

trình bày lại cho rõ ràng

cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn $\sqrt{15}-\frac{a}{b}> 0$. chứng minh rằng $\sqrt{15}-\frac{a}{b}> \frac{1}{ab}$

$\sqrt{15}-\frac{a}{b}> 0\Rightarrow 15b^{2}> a^{2}\Rightarrow 15b^{2}\geq a^{2}+1$

do $a^{2}+1$ không chia hết cho 3 và $a^{2}+2$ không chia hết cho 5 nên $15b^{2}$ không thể bằng  $a^{2}+1$ hoặc $a^{2}+2$

$=> 15b^{2}\geq a^{2}+3\Rightarrow 15b^{2}\geq a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}=\left ( a+\frac{1}{a} \right )^{2}\Leftrightarrow  \sqrt{15}b\geq a+\frac{1}{a}\Leftrightarrow \sqrt{15}-\frac{a}{b}\geq \frac{1}{ab}$

dấu "=" không xảy ra nên ta có đpcm

cái dấu không chia hết với không chia hết cho viết thế nào nhỉ

Đề bài sai với a=b=0,0001

chú ý a,b nguyên dương nhé bạn

Bạn giải sai rồi, ở chỗ này là $a^2-\sqrt{13}ab+1<0$ nhé

Đề sai với $a=18$ và $b=5$ nhé

thông cảm tí gõ nhầm  . là $\sqrt{15}$ chứ không phải $\sqrt{13}$ :3

chắc tại thích số 13 quá

cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn $\sqrt{15}-\frac{a}{b}> 0$. chứng minh rằng $\sqrt{15}-\frac{a}{b}> \frac{1}{ab}$