$P=2(\frac{x^5}{x}+\frac{x^5}{x})+2x^8-4(1+x^2)^2$\

$\rightarrow P=4x^4+2x^8-4(1+x^2)^2$

Từ đây tìm ra x,y để định hướng cho bài toán

$\sum x^2=\sum xy+2\Leftrightarrow \frac{3}{2}(\sum x^2)\geq \frac{1}{2}(x+y+z)^2+2\geq 2(x+y+z)$

$\Rightarrow 3x(\sum x^2)\geq 4x(x+y+z)\Leftrightarrow \frac{3x(\sum x^2)}{(x+y+z)^2}\geq \frac{4x}{x+y+z}$

lại có: $\frac{8(y^2+z^2)}{2(y^2+z^2)+x(y+z)}= 4-\frac{4x(y+z)}{2(y^2+z^2)+x(y+z)}\geq 4-\frac{4x(y+z)}{(y+z)^2+x(y+z)}=\frac{4(y+z)}{x+y+z}$

suy ra $P\geq \frac{4x}{x+y+z}+\frac{4(y+z)}{x+y+z}=4$

hình câu a vị tự

câu b vị tự quay

Còn câu 2b sử dụng brocard nhé!

phần nay chỉ cần chứng minh bình thường là đc mà

Câu 1 mình còn 1 cách nữa là dùng Trung bình Cesaro 

Câu 4 mình dùng truy hồi

bạn trình bày câu 1 đi

câu dãy vẫn ý tưởng cũ:

$\frac{1}{u_{k}^2+2014}=\frac{1}{u_{k+1}+2014}-\frac{1}{u_{k}+2014}$

đây là ví dụ cơ bản của biến đổi lg

Câu 5. $x=y \Rightarrow f(0)= \left( x-f(x) \right)^2$.

$x=y=0 \Rightarrow f(0)=f(0)^2 \Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(0)=1$.

 

Nếu $f(0)=0$ thì f(x)=x$.

Nếu $f(0)=1$ thì $f(x)=x+1$ hoặc $f(x)=x-1$.

Thử lại thì chỉ có $f(x)=x$ hoặc $f(x)=x+1$ thoả mãn.

thực ra ko hẳn sai, bạn chỉ chứng minh ngoài hai hàm đó ko còn hàm nào thỏa mãn là ok

- Quy nạp: $14x_{n+1}.x_n=x_{n+1}^2+x_n^2+1-2x_{n+1}-x_n$ (1)

- Giả sử bài toán đúng đến $x_{n+1}$, ta sẽ chứng minh bài toán đúng với $x_{n+2}$

Khi đó $\sqrt{x_{n+1}};\sqrt{x_{n}}$ đều là các số tự nhiên

- Sử dụng (1), biến đổi, ta đc: $x_{n+2}=(4\sqrt{x_{n+1}}-\sqrt{x_{n}})^2$

mình nghĩ đây là kĩ thuật, bạn chia sẻ đc ko

a)ta có:

$8x_{i}^3\geq 6x_{i}-2$ với $x_{i}^3\in[-1;1]$

$\Leftrightarrow 8\sum_{i=1}^{2015}x_{i}^3\geq \sum 6x_{i}-2.2015$

=> đpcm

câu 1

Ngày thi 3

 

Bài 1: Cho dãy ($a_{n}$) thỏa mãn  $a_0=1$ và $a_{n+1}=\frac{-3}{7}(\sqrt{(a_n^2+1)^3}+a_n^3)$

CMR: $(a_n)$ hội tụ và tìm $lim(a_n)$

 

 

dễ chứng minh $ a_{n}<0 $ với n>0

xét hàm:$f(x)=\frac{-3}{7}((x+1)^{\frac{3}{2}}+x^3)$

=> $f'(x)=-\frac{3}{7}(3x\sqrt{x^2+1}+3x^2)< 0$ với x<0

=> dãy  $ a_{n} $ đơn điệu 

mà  $a_{1}<a_{2}<....$

nên dãy $a_{n}$ tăng với n>0

mà $a_{n}< \frac{-3}{7}$

=> đpcm

b) giải phương trình giới hạn, nhưng mình làm chưa ổn

Bài 2:

a)

dễ dàng chứng minh :$x_{n}>0$

                                   $ x_{n+1}\geq x_{n}$ với mọi n

nên  dãy $x_{n}$ tăng không nghiêm ngặt 

giả sử dãy $x_{n}$ hội tụ thì chuyển qua pt giới hạn ta có:

$L=\frac{L^4+2014L+1}{L^3-L+2016}$

=>L=1(vô lí) do dãy xn tăng mà $x_{1}=2$

=> đpcm

b)ta có:

$\frac{1}{x_{k}^3+2015}=\frac{1}{x_{k}-1}-\frac{1}{x_{k+1}-1}$

=>$y_{n}=\frac{1}{x_{1}-1}-\frac{1}{x_{n+1}-1}$

=> limyn=1

ôi, trúng rồi. Thầy mình cũng giải thế

đó là bổ đề mà 

Họ và tên: Trần Tiến Anh

Nick trên diễn đàn :an1712

năm sinh:1999

Hòm thư: [email protected]

Dự thi : THPT

dùng lượng giác hóa

tồn tại :

$\sum tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}=1$

ngoài ra còn có cách sử dụng đẳng thức của thầy Nguyễn Vũ Lương

trong các số a-1, b-1, c-1 theo diriclet tồn tại 2 số cùng dấu

ko mất tính tổng quát : $(a-1)(b-1)\geq 0$

ta có: $(a+bc)^2+(b+ac)^2\geq \frac{(c+1)^2(a+b)^2}{2}$

           $\frac{(c+1)^2(a+b)^2}{2}+(c+ab)^2\geq \sqrt{2}(c+1)(a+b)(c+ab)$

            $ bđt\Leftrightarrow (c+1)(c+ab)\geq (b+c)(a+c)\Leftrightarrow (a-1)(b-1)\geq 0$

muốn trình bày câu bất nhưng nút latex hỏng ai biết sửa ko

đặt $u_n=a_n-na_{n-1}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=2,u_2=3\\u_n=6u_{n-1}-9u_{n-2} \end{matrix}\right.\Rightarrow a_n-na_{n-1}=3^n-n.3^{n-1}$

$\Rightarrow a_n-3^n=n(a_{n-1}-3^{n-1})=...=n!\Rightarrow a_n-1=3^n+n!-1$

dễ thấy với $n=2^k,k\ge 2015$ thì $2^{2015}\mid a_n-1$ mà có vô số số $n$ như trên nên ta có $Q.E.D$

mình thấy cách đặt sao ấy, bạn xem lại đc ko, phương trình đặc trưng ko cho nghiệm n

đề lạ quá, sao giống kiểu thi đại học quá vậy

dấu bằng thế nào a ns rõ đc ko

$2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2;(b^2+c^2)(a^2+c^2)=(c^2+ab)^2+c^2(a-b)^2$

Xong dùng BĐT $B-C-S$ là xong :v

$\sum \frac{bc+a+1}{a^2+1}-3=(ab+bc+ac)(\sum \frac{1}{a^2+1})$

rồi dùng tiếp tuyến

Đáp án bài 3

 

a) Gọi $AD$ giao $BC$ tại $M$ và $AB$ giao $CD$ tại $N$. Ta có kết quả quen thuộc $OE$ vuông góc $MN$ tại $F$ là điểm Miquel của tứ giác $ABCD$. Do đó tứ giác $FADN$ nội tiếp. Mặt khác theo tính chất trục đẳng phương dễ thấy $PQ$ đi qua $M$. Từ đó $MF.MN=MA.MD=MQ.MP$ suy ra tứ giác $NFQP$ nội tiếp suy ra $\angle NQP=\angle NFP=90^\circ$ suy ra $\angle MQN=90^\circ$ vậy $Q$ thuộc đường tròn đường kính $MN$ cố định.

b) Tương tự phần a) dễ thấy $MR$ vuông góc $NP$ tại $R$. Do đó trong tam giác $PMN$ các đường cao $NQ,MR$ và $PF$ đồng quy. Gọi $RQ$ giao $MN$ tại $L$. Theo hàng điều hòa cơ bản dễ thấy $(MN,FL)=-1$. Mà $M,N,F$ cố định suy ra $L$ cố định, vậy $QR$ đi qua $L$ cố định.

thầy ơi ego bây giờ ko hoạt động ạ

cho a,b,c dương:

tìm max $\sum \frac{ab}{a^2+b^2+3c^2}$

áp dụng pqr: có $r\leq $ $B$ $=\frac{(p-\sqrt{p^2-3q})^2(p+2\sqrt{p^2-3q})}{27}$

$A\geq p-B$

đưa khảo sát hàm

Chào bạn , bạn nói rõ hơn phương pháp này được không Tại sao lại đặt được như thế và nếu có tài liệu về phương pháp này thì càng tốt nhé

a ko tổng hợp tiếp ạ