Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn a+b+c=4, ab+bc+ca=5. Tìm min, max của :\[P= a^{3}+b^{3}+c^{3}\]

Tìm điều kiện của m để pt có 2 nghiệm phân biệt : \[\sqrt[4]{2x}+\sqrt{2x}+2\sqrt[4]{6-x}+2\sqrt{6-x}=m\]

Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
a) \[2\sqrt{-x^{2}-2x+3}-\left ( m-1 \right )\left ( \sqrt{x+3}+\sqrt{1-x} \right )+m+1=0\]

Giai phương trình ; \[\left ( sinx-2 \right )\left ( sin^{2}x-sinx+1 \right )=3\sqrt[3]{3sinx-1}+1\]

Giai phương trình :$\sin ^{2n+1}x+\sin ^{n}2x+\left ( \sin ^{n}x-\cos ^{n}x \right )^{2}-2=0$ 

Giai phương trình : $3x^{4}-4x^{3}=1-\sqrt{\left ( 1+x^{2} \right )^{3}}$ 

Ta có

\[a^{2016}-a^{2014}+3-(a^2+2) = (a^{2014}-1)(a^2-1) \geqslant 0,\]

cho nên

\[a^{2016}-a^{2014}+3 \geqslant a^2+2.\]

Dẫn đến

\[\prod (a^{2016}-a^{2014}+3) \geqslant \prod (a^2+2) \geqslant 9(ab+bc+ca).\]

Bài toán được chứng minh.

..............................

Chỗ màu đỏ CM sao v ạ?

Ý em là \[\displaystyle \prod \left ( a^{2016}-a^{2014}+3 \right ) \geqslant 9 (ab+bc+ca).\]

À vâng ạ

Giai phương trình \[\sqrt[3]{3x+4}=x^{3}+3x^{2}+x-2\]

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: \[\[\prod \left ( a^{2016}-a^{2014}+3 \right )\geq 9\left ( ab+bc+ca \right )\]\]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. CMR: \[\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}-a^{2}+3ab+6}}\leq 1\]

Gpt: \[3x^{2}+11x-1=13\sqrt{2x^{3}+2x^{2}+x-1}\]

Cho a,b,c là các số thực dương . CMR ; \[\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}\]

Cho dãy số (\[a_{n}\] ) được xác định \[a_{1}=\frac{1}{2}, a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}^{2}-a_{n}+1}, n\geq 1\]

Giair phương trình:  \[-2x^{3}+10x^{2}-17x+8=2x^{2}\sqrt[3]{5x-x^{3}}\]

Trước tiên, đổi biến để có vai trò bình đẳng. Ta đặt a = 2x; b = y thì được (1+x)(1+y) = 9/4. Dùng cauchy ta được:

$\frac{9}{4}\leq \left ( \frac{x+y+2}{2} \right )^2$

$\Rightarrow x+y\geq 1 \Rightarrow x^2 + y^2 \geq \frac{1}{2}$

Tiếp theo ta sẽ dùng BĐT vecto, bằng cách chọn 2 vecto 

$\vec{u}(1;x^2) ; \vec{v}(1;y^2). Do |\vec{u}|+|\vec{v}|\geq |\vec{u}+\vec{v}| \\ \Rightarrow Q\geq 4\sqrt{(1+1)^2 + (x^2+y^2)^2}\geq 2\sqrt{17}$

chỗ đây là sao v bạn?

Cho các số thực a,b thỏa mãn : \[\left ( 2+a \right )\left ( 1+b \right )= \frac{9}{2}\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \[P= \sqrt{16+a^{4}}+4\sqrt{1+b^{4}}\]

Cho 3 số thực dương a,b,c. CMR: \[\sum \frac{a^{3}+abc}{b+c}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\]

Cho các số thực dương a,b. Tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức : \[\frac{k}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\geq \frac{16+4k}{\left ( a+b \right )^{3}}\]

Cho tam giác ABC nhọn. CMR: \[\sum \frac{\cos A}{\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}}\geq 2\]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ . CMR: 

Tìm x,y nguyên dương biết  : \[1+2+3...+x= \overline{yyy}\]