Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Nhok Tung nội dung

Có 218 mục bởi Nhok Tung (Tìm giới hạn từ 30-10-2016)



Sắp theo                Sắp xếp  

#719329 ĐỀ THI HSG TOÁN 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Đã gửi bởi Nhok Tung on 11-01-2019 - 11:40 trong Tài liệu - Đề thi

Bài 2:

1. Giả sử a, b đều không chia hết cho 3, khi đó $a^{2},b^{2}\equiv 1(mod 3)\rightarrow ab\equiv 2(mod3)$

Do a, b bình đẳng nên có thể giả sử a = 3k + 2, b = 3p + 1 (k, p $\epsilon$ N).

Thay vào pt ban đầu ta được $[(3k+2)^{2}-(3k+2)(3p+1)+(3p+1)^{2}]\vdots 9 \Leftrightarrow (9k+3) \vdots 9$ (Vô lí)

Vậy ta có đpcm.

2. Do $9^{n}+11$ không chia hết cho 3, mà tích của k số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho k nên $k\leq 2$ => k = 2

Giả sử $(9^{n}+11)=m(m+1)\Leftrightarrow m^{2}+m-(9^{n}+11)=0$

$\Delta =1+4(9^{n}+11)=(2.3^{n})^{2}+45=t^{2}\rightarrow (t-2.3^{n})(t+2.3^{n})=45=1.45=3.15=5.9$

Đến đây tìm được n = 1 thỏa mãn đề bài.




#715304 giải phương trình$x^3-\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 08-09-2018 - 08:24 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

$x^3-\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}}=6$

Đặt $\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x^{3}+6}}=y, \sqrt[3]{x^{3}+6}=z$, ta có:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-6=y\\ y^{3}-6=z\\ z^{3}-6=x\end{matrix}\right.$

Xét $f(x)=x^{3}-6,f'(x)=3x^{2}\geq 0$

Giả sử $x\geq y\geq z\Rightarrow f(x)\geq f(y)\Leftrightarrow f(f(z))\geq f(f(x))\Leftrightarrow z\geq x!$

Suy ra $x=y=z\Rightarrow x^{3}-x-6=0\Leftrightarrow x=2.$

Thử lại, t/m




#715300 giải phương trình $2x^2+(14-2\sqrt{x^2+8x})x+8x-14\s...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 08-09-2018 - 01:08 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

$2x^2+(14-2\sqrt{x^2+8x})x+8x-14\sqrt{x^2+8x}+24=0$

$PT\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+8x}-3)(\sqrt{x^{2}+8x}-x-4)=0 \Leftrightarrow ...$




#699253 Tìm $lim U_{n}$.

Đã gửi bởi Nhok Tung on 31-12-2017 - 16:07 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy số (Un) xác định bởi $\left\{\begin{matrix} U_{0}=a, U_{1}=b, 0< a,b < 1& \\ U_{n+2}=\frac{1}{3}U_{n+1}+\frac{2}{3}\sqrt{U_{n}}, n=0,1,2,... & \end{matrix}\right.$

Tìm $lim U_{n}$.




#673392 $\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}$

Đã gửi bởi Nhok Tung on 03-03-2017 - 22:54 trong Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức

Bất đẳng thức trên theo mình thì là không chính xác. Vì $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \geq (a+b)^{2}$ chứ không phải là $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \leq (a+b)^{2}$. Nên bđt chứa 2 tích ngược chiều nhau. Nên ko thể giải bđt này bằng AM-GM 

Thế này nhé bạn

Áp dụng bđt $4xy\leq (x+y)^{2}$

$4(a^{2}+ab+b^{2})(ab+bc+ca)\leq (a^{2}+2ab+b^{2}+bc+ca)^{2}=(a+b)^{2}(a+b+c)^{2}$




#673264 Chứng minh n^3+2 không chia hết cho 2016

Đã gửi bởi Nhok Tung on 02-03-2017 - 20:48 trong Số học

Ta có $n^{3}+2\equiv 2(mod4)$ hoặc $n^{3}+2\equiv 3(mod4)$

Mà $2016\equiv 0(mod4)$ => đpcm




#673263 Tìm lim Sn

Đã gửi bởi Nhok Tung on 02-03-2017 - 20:45 trong Dãy số - Giới hạn

Cho $S_{n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\left ( 2+\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{3}}{3}+...+\frac{2^{n}}{n} \right )$

Tìm lim Sn




#672861 $\left\{\begin{matrix} \frac{x...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 26-02-2017 - 16:33 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn điều kiện $0<x\leq 2\pi$ ; $0<y\leq 2\pi$

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}+sinx=m & \\ \frac{y}{x}+siny=m & \end{matrix}\right.$




#672856 Tìm max A= $\sum \sqrt{ \frac{x^{2}...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 26-02-2017 - 16:23 trong Bất đẳng thức và cực trị

Sao chứng minh được chỗ chữ đỏ vậy?

BĐT Bunyakovsky đó ạ




#672034 Tính $lim(n.\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 18-02-2017 - 23:34 trong Dãy số - Giới hạn

Tính $lim(n.\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+n+1}.\sqrt[3]{n^{3}+n})$

$lim(n.\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+n+1}.\sqrt[3]{n^{3}+n})$ 

=$\lim n[\sqrt{n^{2}+n}-(n+\frac{1}{2})]}

-\sqrt[3]{n^{3}+n}[\sqrt{n^{2}+n+1}-(n+\frac{1}{2})]

-(n+\frac{1}{2})(\sqrt[3]{n^{3}+n}-n)$

= $\lim\left [ \frac{-0,25n}{\sqrt{n^{2}+n}+n+0,5}-\frac{0,75\sqrt[3]{n^{3}+n}}{\sqrt{n^{2}+n+1}+n+0,5}-\frac{n^{2}+0,5n}{\sqrt[3]{(n^{3}+n)^{2}}+n\sqrt[3]{n^{3}+n}+n^{2}} \right ]$

= $\frac{-0,25}{2}-\frac{0,75}{2}-\frac{1}{3}=\frac{-5}{6}$




#672032 CM $4(xy+yz+zx)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqr...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 18-02-2017 - 23:11 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $x,y,z>0$. CM

$4(xy+yz+zx)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$

Ta có BĐT quen thuộc $(xy+yz+xz)(x+y+z)\leq \frac{9}{8}(x+y)(y+z)(z+x)$

Do đó $4(xy+yz+xz)\leq \frac{9(x+y)(y+z)(z+x)}{2(x+y+z)}$

Ta chứng minh $\frac{9(x+y)(y+z)(z+x)}{2(x+y+z)}$ $\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}) \Leftrightarrow 9\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq (x+y+y+z+z+x)(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$ (Luôn đúng theo BĐT AM-GM)

Từ đó suy ra đpcm




#672030 Tìm max A= $\sum \sqrt{ \frac{x^{2}...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 18-02-2017 - 22:58 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x+y+z=3

Tìm max A= $\sum \sqrt{ \frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$

$\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}=\frac{x\sqrt{y+2}}{\sqrt{(x^{2}+y+z^{2})(1+y+1)}}\leq \frac{x\sqrt{y+2}}{x+y+z}$

Do đó $\sum \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}\leq \frac{\sum x\sqrt{y+2}}{x+y+z} =\frac{\sum x\sqrt{y+2}}{3}$

Ta chứng minh $\sum x\sqrt{y+2}\leq 3\sqrt{3}$ (*)

Ta có $x\sqrt{y+2}=\frac{1}{\sqrt{3}}x\sqrt{y+2}\sqrt{3}\leq \frac{xy+5x}{2\sqrt{3}}$ (Theo BĐT AM-GM)

Cộng vế theo vế, kết hợp với $\sum xy\leq \frac{\sum x}{3}=3$ suy ra (*) được chứng minh

Từ đó suy ra $\sum \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$ $\leq \sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1




#671873 $U_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 17-02-2017 - 14:29 trong Dãy số - Giới hạn

Chứng minh rằng dãy số $U_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$  $(n\geq 1)$ không có giới hạn




#671872 CMR: $limU_{n}=0\Leftrightarrow a+b+c=0$

Đã gửi bởi Nhok Tung on 17-02-2017 - 14:26 trong Dãy số - Giới hạn

Cho a,b,c là 3 hằng số, $\left ( U_{n} \right )$ xác định: $U_{n}= a.\sqrt{n+1} + b.\sqrt{n+2} + c.\sqrt{n+3} \forall n\geq 1$

CMR: $limU_{n}=0\Leftrightarrow a+b+c=0$

$\frac{U_{n}}{\sqrt{n+1}}=a+b\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}+c\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}}$

Do đó nếu $limUn=0\Rightarrow lim(a+b\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}+c\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}})=0\Rightarrow a+b+c=0$

Ngược lại, nếu a + b+ c = 0 => a = -b - c

$U_{n}=b(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})+c(\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}) =\frac{b}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}+\frac{2c}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}} \Rightarrow LimU_{n}=0$




#670109 cho a, b, c là độ dài 3 cạn của 1 tam giác

Đã gửi bởi Nhok Tung on 27-01-2017 - 10:08 trong Bất đẳng thức và cực trị

cho a, b, c là độ dài 3 cạn của 1 tam giác. CMR : $\frac{a}{b + c- a} + \frac{b}{c + a - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$

Áp dụng BĐT AM-GM:

VT $\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}$

Lại có $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$ => đpcm




#670107 cho x, y thỏa mãn $x^{2} + 4y^{2} = 25$

Đã gửi bởi Nhok Tung on 27-01-2017 - 10:04 trong Đại số

cho x, y thỏa mãn $x^{2} + 4y^{2} = 25$. tìm GTLN và GTNN của x + 2y

Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có :

$(x+2y)^{2}\leq 2.(x^{2}+4y^{2})=50 \rightarrow -5\sqrt{2}\leq x+2y\leq 5\sqrt{2}$

KL : ...




#670105 Tìm $Lim\sqrt[n]{x_{1}^{n}+x_{2}...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 27-01-2017 - 09:56 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy số {xk} xác định bởi : xk = $\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{k}{(k+1)!}$ $(k\geq 1)$

Tìm $Lim\sqrt[n]{x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+..+x_{2012}^{n}}$




#668707 $\begin{cases} x+y+z=\frac{3}{xyz} \\ \sqrt{x}...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 17-01-2017 - 20:33 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y+z=\frac{3}{xyz} & \\\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} = 3 & \end{matrix}\right.$

ĐK x,y,x >0

Từ (PT1) ta có :

$3=xyz(x+y+z)\Leftrightarrow 81=3\sqrt{xy}.3\sqrt{yz}.3\sqrt{xz}(x+y+z)\leq \left [ \frac{3\sqrt{xy}+3\sqrt{yz}+3\sqrt{xz}+x+y+z}{4} \right ]^{4} \Leftrightarrow 81\leq \left [ \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{4} \right ]^{4}\Leftrightarrow 81\leq \left ( \frac{9+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{4} \right )^{4} \Leftrightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\geq 3$ (1)

Từ (PT2) có :

$9=(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}\geq 3(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}) \Leftrightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\leq 3$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra x = y = z = 1 là nghiệm của hệ pt




#668545 $(p-1)^{n}+1$ chia hết cho $n^{p-1}$

Đã gửi bởi Nhok Tung on 16-01-2017 - 17:49 trong Số học

Tìm tất cả các số nguyên dương n và số nguyên tố p thỏa mãn đồng thời các điều kiện $n\leq 2p$ và $(p-1)^{n}+1$ chia hết cho $n^{p-1}$




#668543 $P(x).P(x^{2})=P(x^{3}+3x)$

Đã gửi bởi Nhok Tung on 16-01-2017 - 17:44 trong Hàm số - Đạo hàm

Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số nguyên thỏa mãn :

$P(x).P(x^{2})=P(x^{3}+3x)$




#663866 Giải phương trình $\left( {x - 1} \right)\sqrt...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 05-12-2016 - 18:18 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Nhờ anh chị hướng dẫn giúp e 2 bài pt căn lớp 10:

1/ $\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4}  + x\sqrt {{x^2} - 2x + 10}  = 0$

 

PT <=> $x\sqrt{x^{2}-2x+10}=(1-x)\sqrt{x^{2}+4} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 1 & \\ x^{2}[(x-1)^{2}+9]=(1-x)^{2}(x^{2}+4) & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 1 & \\ 9x^{2}=4(1-x)^{2} & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\frac{2}{5}$




#663865 Chứng minh $\sqrt{ab},\sqrt{bc},\sqrt...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 05-12-2016 - 18:06 trong Hình học

Cho tam giác ABC có AB=c, CA=b,BC =a và min(A,B,C)= 150. Chứng minh $\sqrt{ab},\sqrt{bc},\sqrt{ca}$ cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác.




#654203 $\sqrt{2x^{2}-2x+4}+\sqrt{5x^{2...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 14-09-2016 - 20:48 trong Các bài toán và vấn đề về PT - HPT - BPT

Giải phương trình :

$\sqrt{2x^{2}-2x+4}+\sqrt{5x^{2}+4}+x^{2}-7x+1=0$

Dễ thấy nếu x < 0 thì pt vô nghiệm, xét x > 0 :

PT $\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}-2x+4}-(x+1)+\sqrt{5x^{2}+4}-(2x+1)+x^{2}-4x+3=0$

<=> $(x^{2}-4x+3)(\frac{1}{\sqrt{2x^{2}-2x+4}+x+1}+\frac{1}{\sqrt{5x^{2}+4}+2x+1}+1)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc x = 3




#650869 Chứng minh luôn tồn tại 1 đường tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 1009

Đã gửi bởi Nhok Tung on 22-08-2016 - 22:04 trong Các bài toán và vấn đề về Tổ hợp và rời rạc

Cho 2017 điểm thỏa mãn trong 3 điểm bất kì luôn tồn tại 2 điểm sao cho đoạn thẳng tạo bởi chúng có độ dài bé hơn 1. Chứng minh luôn tồn tại 1 đường tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 1009 các điểm cho trên.




#649030 $\sqrt[3]{\frac{abc+abd+bcd+acd}{4}...

Đã gửi bởi Nhok Tung on 11-08-2016 - 17:15 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của 1 tứ giác, chứng minh rằng :

$\sqrt[3]{\frac{abc+abd+bcd+acd}{4}}\leq \sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}$