Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{xyz+x^{2}+1}+\frac{y}{xyz+y^2+1}+\frac{z}{xyz+z^2+1}$
Có 607 mục bởi PlanBbyFESN (Tìm giới hạn từ 05-05-2020)
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 15-10-2017 - 23:14 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{xyz+x^{2}+1}+\frac{y}{xyz+y^2+1}+\frac{z}{xyz+z^2+1}$
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 03-10-2017 - 17:40 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.
Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b^{2}+c^{2}+2}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}+2}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 01-09-2017 - 23:29 trong Bất đẳng thức - Cực trị
$\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ 3bc+4ca+5ab\leq 6abc & \end{matrix}\right.$
Tìm MAX:
$\frac{3a+2b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 17-08-2017 - 21:12 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $\left\{\begin{matrix} a>b>c\geq 0 & \\ 3ab+5bc+7ca\leq 9 & \end{matrix}\right.$
CMR:
$\frac{32}{(a-b)^{4}}+\frac{1}{(b-c)^{4}}+\frac{1}{(c-a)^{4}}\geq \frac{22}{9}$
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 15-08-2017 - 14:17 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c>0$ và $a=max\left \{ a;b;c \right \}$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$P=\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 12-08-2017 - 22:51 trong Bất đẳng thức và cực trị
Lời giải của hanguyen445 sai vì bất đẳng thức $(*)$ không đúng. Bài này có thể chứng minh bằng Cauchy-Schwarz lúc trước có một bạn đã đăng lên diễn đàn và mình cũng có đăng một bài mạnh hơn của nó.
Còn link không anh ?
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 10-08-2017 - 22:52 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$
CMR: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{abc}{2}\leq 2$
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 08-08-2017 - 13:11 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ là các số thực .
Chứng minh :
$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}.\left [\frac{a+b}{c} +\frac{b+c}{a}+ \frac{c+a}{b}\right ]$
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 06-08-2017 - 14:48 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn: $a+b+c+1=2abc$
Tìm gái trị nhỏ nhất của :
$P=\frac{ab}{a+b+1}+\frac{bc}{b+c+1}+\frac{ca}{c+a+1}$
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 13-07-2017 - 07:52 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Giá trị lớn nhất là $\frac18,$ anh có lời giải nhưng không phải của anh nên không post. Nó là đề thi của Hàn Quốc 2012.
(Cười) Em chỉ nói là hi vọng thôi. Nếu anh có lời giải không BW quá thì post cho mọi người mở mang tầm mắt ạ.
Bất đẳng thức này không thể vận dụng bất cứ phương pháp cổ điển hay hiện đại nào để giải cả, vì nó sai. :v
Anh chỉ rõ hơn được không anh.
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 11-07-2017 - 18:18 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Bài 1: Cho $a,b,c$ dương. Chứng minh:
$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\geqslant \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$
Bài 2: Cho $a,b,c$ không âm. Chứng minh:
$3(a+b+c)\geqslant 2(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab})$
Bài 3: Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=2abc+1$. Chứng minh:
Tìm giá trị lớn nhất: $P=(a-2bc)(b-2ca)(c-2ab)$
Bài 4: Cho $a,b,c$ dương có tổng bằng 3. Chứng minh:
$(a^3+b)(b^3+c)(c^3+a)+10\leq 6(a^2+b^2+c^2)$
Hi vọng lời giải vận dụng những cái cổ điển xinh đẹp và chính chủ nhé!
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 08-06-2017 - 18:10 trong Bất đẳng thức và cực trị
$\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3$$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq \sqrt{\left [ 2\sum \left (a+b \right ) \right ]\left [ \sum \frac{2a}{(a+b)(c+a)} \right ]}=\sqrt{\frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\leq 3$ (C-S & AM-GM)
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 05-06-2017 - 18:24 trong Xử lí vi phạm - Tranh chấp - Khiếu nại
Ừm hihi
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 05-06-2017 - 17:45 trong Xử lí vi phạm - Tranh chấp - Khiếu nại
ĐHV PlayESPN
Mình là PlanBbyFESN bạn ơi
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 02-06-2017 - 14:54 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x+y+z= 1$.
Chứng minh:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+48(xy+yz+zx)\geq 25$
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 01-06-2017 - 19:48 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. CMR: $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geqslant$$x+y+z$
$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}=x+y+z$
$\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{yz}}=\frac{3x}{\sqrt[3]{xyz}}$
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 25-05-2017 - 11:03 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a, b ,c > 0. a+ b + c =3. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2$
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca) \geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)\geq 9$
Áp dụng Am-Gm:
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)=(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)\geq 3\sqrt[3]{(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})(ab+bc+ca)^{2}}=3\sqrt[3]{\frac{(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})(ab+bc+ca)^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ab+bc+ca)^{4}}{3a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{9a^{2}b^{2}c^{2}(a+b+c)^{2}}{3a^{2}b^{2}c^{2}}}=9$
(Áp dụng BĐT: $(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)$
.................................
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 24-05-2017 - 11:00 trong Bất đẳng thức và cực trị
1,Cho các số thực dương a,b,c. CMR:
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geqslant 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
2,Cho các số thực dương a,b,c.CMR:
$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geqslant \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$
Câu 1 đề là $a,b,c$ không âm
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 21-05-2017 - 21:11 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số dương a,b,c, thỏa mãn a+b+c=3 . Chứng minh rằng :
$\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}} + \frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}} \leq \frac{3}{2}$
( P/s : Có thể giải bài này bằng phương pháp tiếp tuyến không ạ ? m.n giúp em với ))
$a+b+c=3\Rightarrow 3\geq ab+bc+ca$
$\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}\leq \frac{ab}{\sqrt{c^{2}+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}.\left [ \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b} \right ]$
$\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}} + \frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}}\leq \frac{1}{2}.\sum [ \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}]=\frac{3}{2}\blacksquare$
P/S: Có
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 21-05-2017 - 20:57 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Cho $0\leq a,b,c,d\leq 1$. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{bcd+2}+\frac{b}{cda+2}+\frac{c}{abd+2}+\frac{d}{abc+2}\leq 1+\frac{1}{abcd+2}$
$\frac{a}{bcd+2}+\frac{b}{cda+2}+\frac{c}{abd+2}+\frac{d}{abc+2}\leq \frac{a+b+c+d}{abcd+2}\leq \frac{ab+1+cd+1}{abcd+2}\leq \frac{abcd+1+2}{abcd+2}=1+\frac{1}{abcd+2} \blacksquare$
$\begin{Bmatrix} 0\leq a,b,c,d\leq 1 & & \\ (a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b & & \\ (c-1)(d-1)\geq 0\Leftrightarrow cd+1\geq c+d & & \\ (ab-1)(cd-1)\geq 0\Leftrightarrow abcd+1\geq ab+cd \end{Bmatrix}$
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 08-05-2017 - 21:18 trong Góp ý cho diễn đàn
BQT làm thế là không đúng rồi nhé. tienduc chưa xứng đáng để làm ĐHV THCS, bạn ấy thường xuyên hỏi bài, chất lượng bài thấp, toàn bài dễ thôi. Có nhiều bạn cần được set hơn như: Mr Cooper, NHoang1608, Nguyenphuctang hay HoangKhanh2002.....
Đây là những thành viên thường xuyên giải các bài khó và đóng góp nhiều cho diễn đàn. Chưa xứng đáng, mong BQT xem xét lại
Điều hành viên không phải cứ như bạn nghĩ đâu bạn à. Ban Quản Trị là vì sự phát triển diễn đàn nên quyết định luôn là đúng đắn nhất. Bạn không có quyền phán xét ở đây, trong topic này!
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 28-03-2017 - 22:23 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Bài toán: Cho $ a,b,c$ là ba cạnh của tam giác.
CMR: $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}+\frac{3}{2}\geq \frac{(x+y+z)^3}{6xyz}$
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 27-03-2017 - 20:48 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Hic đề cho a, b, c $\in \mathbb{R}$ hả chị?
Đúng rồi bạn
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 27-03-2017 - 01:04 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Bài toán: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca+1$
Tìm MIN: $A=(ab+bc+ca)^{2}+6abc-a^{2}-b^{2}-c^{2}$
Đã gửi bởi PlanBbyFESN on 27-03-2017 - 01:00 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Bài toán: Với $a,b,c>0$
CMR: $\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học