Cho tam giác vuông ABC tại A, D thuộc AC sao cho ^DBC = ^ABC/3 kẻ CX vuông góc với BD, Y thuộc tia BA sao cho BY = BX
1. CMR $1/BY^2+1/CX^2=4/XY^2$
2. ^XAC = ^DBC và XA =XY
3. Cos(ABC) = 4Cos^3(ABC/3)- 3cos(ABC/3)
Có 77 mục bởi nhimtom (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)
Đã gửi bởi nhimtom on 19-07-2019 - 17:18 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho tam giác vuông ABC tại A, D thuộc AC sao cho ^DBC = ^ABC/3 kẻ CX vuông góc với BD, Y thuộc tia BA sao cho BY = BX
1. CMR $1/BY^2+1/CX^2=4/XY^2$
2. ^XAC = ^DBC và XA =XY
3. Cos(ABC) = 4Cos^3(ABC/3)- 3cos(ABC/3)
Đã gửi bởi nhimtom on 03-07-2019 - 13:16 trong Đại số
Bài 1: Cho a, b, c là 3 số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng $\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}$ là 1 số hữu tỉ.
Giải :
Với ab + ac + bc = 1
Ta có :
$ a^2 + 1 = a^2 + ab + ac + bc = (a^2 + ab ) + ( ac + bc)$
$ = a( a + b ) + c( a + b ) = ( a + c )( a + b )$
Tương tự, ta có:
$b^2 + 1 = ( b + a )( b + c )$
$c^2 + 1 = ( c + a )( c + b )$
Do đó:
$\sqrt{( a^2 + 1 )( b^2 + 1 )( c^2 + 1 )} = \sqrt{( a + c )( a + b )( b + c )( b + a )( c + a )( c + b )}$
$= \sqrt{( a + b)^2 ( a + c)^2 ( b + c )^2} = |(a + b)( a + c )( b + c )|$
Do a, b, c là số hữu tỷ, do đó :
$|(a + b)( a + c )( b + c )|$ là số hữu tỷ. Ta có điều phải chứng minh!
Bài 2 : Cho a, b, c là 3 số hữu tỉ khác nhau đôi một. Chứng minh rằng $ \sqrt{\dfrac{1}{(a - b)^2} + \dfrac{1}{(b - c)^2} +\dfrac{1}{( c - a)^2}$ là 1 số hữu tỉ.
Giải :
Đặt $ X = a - b; Y = b - c; Z = c - a \Rightarrow X + Y + Z = 0$
Với X + Y + Z = 0, ta chứng minh được :
$ ( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2 = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}$
Thật vậy, ta có :
$ ( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2 = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2} + \dfrac{2}{XY} + \dfrac{2}{YZ} + \dfrac{2}{ZX}$
$ = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2} + 2.\dfrac{X + Y + Z}{XYZ}$
$ = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}$ ( do X + Y + Z = 0)
$ \Rightarrow \sqrt{\dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}} = \sqrt{( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2} = |\dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z}|$
Suy ra : $ \sqrt{\dfrac{1}{(a - b)^2} + \dfrac{1}{(b - c)^2} +\dfrac{1}{( c - a)^2}} = |\dfrac{1}{a - b} + \dfrac{1}{b - c} + \dfrac{1}{c - a}|$
Do a, b, c là số hữu tỷ nên $|\dfrac{1}{a - b} + \dfrac{1}{b - c} + \dfrac{1}{c - a}|$ cũng là số hữu tỷ. Ta có điều phải chứng minh.
lời giải hay quá
Đã gửi bởi nhimtom on 03-07-2019 - 10:13 trong Số học
Gợi ý giúp em với ah
Bài1. Tìm các số tự nhiên a, b, c để cả ba phương Trình sau đếu có nghiệm tự nhiên
$x^2-2ax+b=0$
$x^2-2bx+c=0$
$x^2-2cx+a=0$
Bài 2.
Cho ba số hữu tỷ a, b, c thỏa mãn $\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ac}=\frac{1}{a+b}$
Chứng minh rằng $\frac{c-3}{c+1}$ là bình phương của 1 số hữu tỉ
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b thỏa mãn $a+b^2$ chia hết cho $a^2b-1$
Đã gửi bởi nhimtom on 29-06-2019 - 10:49 trong Chuyên đề toán THCS
đã đăng ở topic khác
Đã gửi bởi nhimtom on 29-06-2019 - 09:40 trong Hình học
Bài 2 Cho tam giác ABC, AH vuông góc với BC (H nằm giữa B và C). M là trung điểm của BC biết ^BAH= ^CAM
[*]CMR HB/HC =AB^2/AC^2
[*]CMR AB = AC hoặc ^ BAC= 90 độ
[/list]Bài 3 Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABE, ACF vuông tại E và F và thỏa mãn EA = 2EB, FC = 2FA. H thuộc BC sao cho HC = 4 HB chứng minh rằng góc EHF bằng 90 độ
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc với BC. D thuộc HC. Kẻ DI vuông góc với AC, IL vuông góc với BC. K nằm trong tam giác ABC sao cho BK = BA, DK = DI.
Đã gửi bởi nhimtom on 25-06-2019 - 23:46 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Cho 3 số thực a, b, c phân biệt thỏa mãn 0<a,b,c<1 và abc=(1-a)(1-b)(1-c) chứng minh rằng trong 3 phương trình ẩn x:
$ax^2-x+1-b=0$
$bx^2-x+1-c=0$
$cx^2-x+1-a=0$
có ít nhất 1 nghiệm thực và có 1 phương trình vô nghiệm
Bài 2
Cho 3 số thực dương a, b, c chứng minh rằng trong 3 phương trình sau có 1 phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt:
$a^2x^2-2\sqrt{2}bcx+a^2=0$
$x^2-2\sqrt{2}acx+b^4=0$
$x^2-2\sqrt{2}bax+c4=0$
Đã gửi bởi nhimtom on 24-06-2019 - 20:30 trong Số học
bài 1. cho a,b,c dương thỏa mãn $a^3 +b^3 +c^3$ chia hết cho $14$.Chứng minh rằng $abc$ chia hết cho $14
Bài 2. cho 3 số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a+b+c = 2019 CMR abc(a-1)(b+4)(c+6) chia hết cho 6
Bài 3 Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n^2-n+1 là một lũy thừa của 3
Bài 4 Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho $\frac{7^p-4^p}{31}$ là số chính phương
Bài 5 CMR với mọi a, b nguyên thì $a^{5}b+3$ và $b^{5}a+3$ không thể cùng là lập phương của các số nguyên
Bai 6 tìm tất cả các số nguyên tố a, b, c thỏa mãn $3a^4-5b^4-4c^2=26$
Đã gửi bởi nhimtom on 19-06-2019 - 17:30 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 1 Cho a, b, c dương và a + b + c = 3, chứng minh rằng
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\geqslant \frac{10}{3}$
Bài 2 Cho a, b, c dương và a^2 + b^2 + c^2 = 3, chứng minh rằng
$\frac{a^3}{3a+2b^3}+\frac{b^3}{3b+2c^3}+\frac{c^3}{3c+2a^3}\geqslant \frac{3}{5}$
Bài 3 chứng minh rằng với mọi a,b,c dương ta đều có
$\frac{a}{\sqrt{b^2(c+a)^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2(b+a)^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2(c+b)^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{5}}$
Đã gửi bởi nhimtom on 17-06-2019 - 20:49 trong Kinh nghiệm học toán
Chúc mừng Sin99 đã vào được trường mơ ước của mình! Em ngưỡng mộ Sin99 lắm nha, năm nay em lên lớp 9 và cũng muốn thi chuyên toán tin mà trình của em còi quá Sin99 giúp em với nhé! với sự thông minh của Sin99, em nghĩ Sin99 nên vào đội tuyển quốc gia và cày TA để học xong lớp 12 thì đi du học ah
Đã gửi bởi nhimtom on 17-06-2019 - 20:29 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cảm ơn Sin99 nhiều , giúp em nốt bài 4 và bài 5 với ah
Đã gửi bởi nhimtom on 17-06-2019 - 17:46 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 1 cho a,b là 2 số thực dương thỏa mãn ab=1 chứng minh rằng
$\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{b^3}{1+a^2}\geqslant 1$
Bài 2 CMR với mọi a, b,c >0 thì
$1+\sqrt[3]{abc}\leqslant \sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}$
Bài 3 cho a, b,c >0 thỏa mãn $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}= 3$ tìm max P
$P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ac+a^2}}$
Bài 4. cho a,b,c dương và abc>=1 tìm max P
$P=\frac{1}{\sqrt{2a^2+b^2+3}}+\frac{1}{\sqrt{2b^2+c^2+3}}+\frac{1}{\sqrt{2c^2+a^2+3}}$
Baif5. cho a,b,c là 3 số thực dương và a,b,c <4 CMR
$\frac{1}{4-a}+\frac{1}{4-b}+\frac{1}{4-c}\geq \frac{3}{4}+\frac{a^2+b^2+c^2}{16}$
Đã gửi bởi nhimtom on 17-06-2019 - 10:48 trong Bất đẳng thức và cực trị
Giúp em bài 4 này nữa ah
Bài 4. Tìm min, max của a+b+c thỏa mãn $3a^{2}+4b^{2}+4bc+4c^{2}\leqslant 15$
Đã gửi bởi nhimtom on 16-06-2019 - 22:52 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 2: Có điều kiện a+b+c = 3 không bạn ?
Cảm ơn sin99, em gõ thiếu: cho a, b, c dương và a+b+c = 3
Đã gửi bởi nhimtom on 16-06-2019 - 21:31 trong Bất đẳng thức và cực trị
Anh giúp em mấy bài này nữa với ah, em mới học Cauchy, Schwar và Bunhia
Bài 1. cho a,b, c dương và a + b +c =3 CMR
$(a^2+\frac{5}{b})^2+(b^2+\frac{5}{c})^2+(c^2+\frac{5}{a})^2\geqslant 108$
Bài 2. $(b+c)\sqrt{3a+bc}+(c+a)\sqrt{3b+ca}+(a+b)\sqrt{3c+ab}\geq 4(ab+bc+ca)$
Bài 3. CMR với mọi a,b,c dương ta đều có
$(a^2+b)(b^2+c)(c^2+a)\geqslant abc(a+1)(b+1)(c+1)$
Bài 4. cho a,b, c dương và 3a^2+4b^2+4bc+4c^2 <= 15 Tìm min, max của a+b+c
Đã gửi bởi nhimtom on 14-06-2019 - 15:05 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đã gửi bởi nhimtom on 14-06-2019 - 09:04 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đã gửi bởi nhimtom on 14-06-2019 - 09:01 trong Bất đẳng thức và cực trị
BÀI 1.
a. Áp dụng BĐT Holder ta có: $P=(\frac{1}{a}+1)(\frac{1}{b}+1)(\frac{1}{c}+1)(\frac{1}{d}+1)\geq (\sqrt[4]{\frac{1}{abcd}}+1)^{4}$
Mặt khác theo BĐT AM-GM: $\sqrt[4]{abcd}\leq \frac{a+b+c+d}{4}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow P\geq(4+1)^{4}=625$
Vậy $minP=625$ khi $a=b=c=d= \frac{1}{4}$
b. Ta có $Q=\frac{a(b+c+d)}{\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+\frac{a^{2}}{3}+c^{2}+\frac{a^{2}}{3}+d^{2}}\leq\frac{a(b+c+d)}{\frac{2}{\sqrt{3}}(ab+ac+ad)}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Vậy $maxQ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ khi ..........
BÀI 2. Ý tưởng cũng giống bài 1b thôi e
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học