Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Minhnguyenthe333 nội dung

Có 788 mục bởi Minhnguyenthe333 (Tìm giới hạn từ 06-06-2016)



Sắp theo                Sắp xếp  

#665904 $AD\perp MN$

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 26-12-2016 - 17:52 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, đường tròn $(K)$ tiếp xúc $(O)$ tại $D$ và tiếp xúc $AC,AB$ lần lượt tại $E,F$. $AL$ là đường kính của $(O)$. $KE,KF$ lần lượt cắt $LB,LC$ tại $M,N$.Chứng minh rằng $AD\perp MN$




#665708 Đường tròn ngoại tiếp tam giác IJD đi qua một điểm cố định

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 24-12-2016 - 10:22 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Cho tam giác ABC nhọn. Một điểm D thay đổi trên BC. Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD.

a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IJD luôn đi qua một điểm cố định

b) Gọi P,M là tiếp tuyến của (I) với AB,BC; gọi N,Q là tiếp tuyến của (J) với AC,BC. Gọi X là giao điểm của PM và NQ. Chứng minh XD vuông góc với IJ




#664837 Mấy bạn giải giúp mình tích phân này với

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 16-12-2016 - 20:51 trong Giải tích

Tính

Cận dưới phải khác $0$ và tích phân trên cách làm giống như $\int \frac{dx}{x^3\ln x}$

Chú ý rằng $d\left ( \frac{1}{\ln x} \right )=\frac{-dx}{x\ln^2x}$ và $x^2=e^{2\ln x}$. Khi đó đặt $t=\frac{1}{\ln x}$ thì

 

$\int_{k}^{+\infty} \frac{dx}{x^3\ln x}=-\int_{k}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2}d\left ( \frac{1}{\ln x} \right )=-\int_{k}^{+\infty} \frac{dt}{te^{\frac{2}{t}}}=\int_{k}^{+\infty} \frac{e^{-u}}{u}du=-E_1(2\ln x)$   (trong đó $u=\frac{2}{t}$)

 

P/s: Ở trên là hàm tích phân mũ cấp 1...




#663986 $\int _{-1}^{\sqrt{2}} x^2...

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 06-12-2016 - 18:22 trong Tích phân - Nguyên hàm

Tính tích phân: $\int _{-1}^{\sqrt{2}} x^2 \sqrt{4-x^2} dx$

Đặt $x=2\sin t$ thì $dx=2\cos tdt$ và sử dụng $\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}$

$\int_{-1}^{\sqrt{2}} x^2\sqrt{4-x^2}dx=4\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^22tdt=2t-\frac{\sin(4t)}{2}=\frac{5\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}$




#663985 $\int _{-1}^{\sqrt{2}} x^2...

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 06-12-2016 - 18:21 trong Tích phân - Nguyên hàm

Tính tích phân: $\int _{-1}^{\sqrt{2}} x^2 \sqrt{4-x^2} dx$




#663851 $p\mid 2m-n$

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 05-12-2016 - 11:49 trong Các bài toán và vấn đề về Số học

Cho $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ và 2 số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $\gcd(m,n)=1$ và

                $\frac{1}{0^2+1}+\frac{1}{1^2+1}+\frac{1}{2^2+1}+....+\frac{1}{(p-1)^2+1}=\frac{m}{n}$

Chứng minh rằng:  $p\mid 2m-n$




#663210 $\sum \frac{ab}{3+bc}\leq\frac...

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 27-11-2016 - 18:22 trong Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức

Cho $a,b,c\geq 0$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\sum \frac{ab}{3+bc}\leq\frac{3}{4}$

$VT=\frac{abc(a^2b+b^2c+c^2a)+9(ab+bc+ca)+3abc+3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{a^2b^2c^2+9abc+9(ab+bc+ca)+27}$

+Áp dụng bđt Cauchy: $\sum_{cyclic} (a^3+a^2b+ab^2)\geqslant 3(a^2b+b^2+c^2a)\iff a^2+b^2+c^2\geqslant a^2b+b^2c+c^2a$

 

+Đổi biến $p,q,r$ thì ta được: $VT\leqslant \frac{3q^2-2qr+9q}{r^2+9r+9q+27}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{3q^2-2qr+9q}{r^2+9r+9q+27}\leqslant \frac{3}{4}\iff 3r^2+r(8q+27)-(12q^2+9q-81)\geqslant 0$ $(*)$

Ta xét 2 trường hợp:
$q\leqslant \frac{9}{4}:$ Theo Schur bậc 1 thì $r\geqslant \max\{0,\frac{p(4q-p^2)}{9}\}=\max\{0,\frac{4q-9}{3}\}=0$

Thế thì $(*)\geqslant (q+3)(\frac{9}{4}-q)\geqslant 0$

$\frac{9}{4}\leqslant q\leqslant 3:$ Theo Schur bậc 2 thì $r\geqslant \frac{(4q-p^2)(p^2-q)}{6p}=\frac{(4q-9)(9-q)}{18}$

Do đó $(*)\geqslant (q-3)(q-\frac{9}{4})(4q^2-117q+81)\geqslant 0$

 

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)\sim (1,1,1);(0,\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ và các hoán vị




#661189 $\frac{n}{1+\sqrt[n]{\prod_{i=1...

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 08-11-2016 - 20:38 trong Các bài toán và vấn đề về Bất đẳng thức

Cho $0<a_1\leqslant a_2\leqslant ...\leqslant a_n$ thỏa mãn $a_na_{\left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor}\leqslant 1$

 

Chứng minh rằng:  $\frac{n}{1+\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}}\geqslant \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+a_i}$     (Trích đề thi đề nghị 30/4/2015)




#659208 GPT: $11+10^x+6^x=(\sqrt{3})^{y!}$ với...

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 24-10-2016 - 20:22 trong Số học

Giải phương trình sau trên tập số nguyên:

$11+10^x+6^x=(\sqrt{3})^{y!}$

Từ giả thiết suy ra $x,y>0\iff 10+10^x+6^x=3^{\frac{y!}{2}}-1$

Ta có: $v_2(3^{\frac{y!}{2}}-1)=1+v_2(\frac{y!}{2})=1+v_2(y!)-v_2(2)=v_2(y!)$

Dễ thấy $v_2(10+10^x+6^x)=v_2(2)+v_2(5+2^{x-1}5^x+2^{x-1}3^x)=1$

Suy ra $2||y!$ kéo theo $y=2$ hoặc $y=3$

Từ đây ta tìm được $(x,y)=(1,3)$




#659206 $a_n=(p+1)^n+Q(n)$

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 24-10-2016 - 20:05 trong Các bài toán và vấn đề về Số học

Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng $\forall m\in \mathbb{Z}$ luôn tồn tại đa thức $Q(x)$ với hệ số nguyên sao cho $p^m$ là ước lớn nhất của các số $a_n=(p+1)^n+Q(n)$ với $n=1,2,..$




#658804 Đề thi lập đội tuyển dự thi Học sinh giỏi Quốc gia lớp 12 THPT, tỉnh Thái Ngu...

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 22-10-2016 - 19:23 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài 2: 

$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y)$ $(1)$

Thay $x=y=0$ ta được $f(0)=0$ hoặc $f(0)=2$

+)Nếu $f(0)=0$:

Thay $x=-y=1$ suy ra $3f(-1)=f(1)f(-1)$

Nếu $f(-1)=0$ thì thay $y=-1$ suy ra $f(x-1)=f(-x)$ $\forall x \in \mathbb{R}$ $(2)$

Thay $y$ bởi $-y$ và áp dụng $(2)\implies f(x-y)+f(x)f(y-1)=f(xy-1)+(1-y)f(x)+(x+1)f(y-1)$

Khi đó thay $y=2$ và $x=1$ ta được $f(1)=0$ hoặc $f(1)=2$

Nếu $f(1)=0$ thì ta suy ra $f(x)=0$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(1)=2$ thì thay $y=1$ vào $(1)$ suy ra $f(x+1)=f(x)+2(x+1)$

Quy nạp ta được $f(x)=x^2+x$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(-1)\neq 0$ thì $f(1)=3$. Khi đó thay $y=1$ vào $(1)$ suy ra $f(x)=3x$ 

+)Nếu $f(0)=2$ thì thay $y=0$ ta được $f(x)=x+2$

Thử lại thấy hàm $f(x)=3x$, $f(x)=0$ và $f(x)=x^2+x$ thỏa mãn $\blacksquare$




#658625 $\prod_{i=1}^n (a_i!-1)-9$

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 20-10-2016 - 21:52 trong Các bài toán và vấn đề về Số học

Tìm tất cả bộ số nguyên dương $(a_1,a_2,...,a_n)$ sao cho $\prod_{i=1}^n (a_i!-1)-9$ là số chính phương




#658358 Tìm $ord_{3^{n}}\left ( 2 \right )$

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 18-10-2016 - 21:11 trong Các bài toán và vấn đề về Số học

Tìm $ord_{3^{n}}\left ( 2 \right )$

Tìm $ord_{2^{n}}\left ( 3 \right )$

Bổ đề: $2^{2.3^{n-1}}\equiv 1+3^n \pmod{3^{n+1}}$

Giả sử đúng tới $n$ thì ta chứng minh với $n+1$ thì mệnh đề trên vẫn đúng

Ta cần chứng minh $2^{2.3^n}\equiv 1+3^{n+1} \pmod{3^{n+2}}$

$\iff 2^{2.3^n}+2\equiv 3.2^{2.3^n} \pmod {3^{n+1}}\iff 4^{3^n}\equiv 1 \pmod{3^{n+1}}$

Hiển nhiên đúng vì $v_3(4^{3^n}-1)=v_3(3)+v_3(3^n)=n+1$ $\blacksquare$

 

Trở lại bài toán: 

Ta sẽ chứng minh $\text{ord}_{3^n} (2)=\varphi (3^n)=2.3^{n-1}$ theo quy nạp

Giả sử đúng tới $n$ thì ta chứng minh $n+1$ thì điều khẳng định đúng

Theo định lý Euler thì $2^{\varphi(3^{n+1})}\equiv 2^{2.3^{n}}\equiv 1 \pmod{3^{n+1}}$

$\implies  2^{2.3^{n}}\equiv 1 \pmod{3^{n}}$

Đặt $d=\text{ord}_{3^{n+1}}$ thì $d\mid 2.3^{n}$ và $\varphi(3^n)=2.3^{n-1}\mid d$

$\implies d=2.3^n$ hoặc $d=2.3^{n-1}$

Nếu $d=2.3^{n-1}$ thì theo bổ đề$\implies 2^{2.3^{n-1}}\equiv 1+3^n \pmod{3^{n+1}}$ (vô lí)

Vậy $ d=\text{ord}_{3^{n+1}}=2.3^n$ nên theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm $\blacksquare$




#658341 $(q+1)\mid prod_{i=1}^k (p_i+1)$

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 18-10-2016 - 20:36 trong Các bài toán và vấn đề về Số học

Kí hiệu $\mathbb{P^*}$ là tập tất cả các số nguyên tố bé hơn $10000$, giả sử $p\in \mathbb{P^*}$.Với mỗi tập con $S=\{p_1,p_2,..,p_k\}$ của $\mathbb{P^*}$ không chứa $p$ và với $k\geqslant 2$, tồn tại 1 phần tử $q\in \mathbb{P^*}\setminus S$ sao cho $(q+1)\mid \prod_{i=1}^k (p_i+1)$. Tìm tất cả các số $p$ thỏa mãn tính chất trên

 




#658330 $f(x^2+y+f(y))=2y+f^2(x)$

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 18-10-2016 - 20:15 trong Các bài toán và vấn đề về Phương trình hàm

Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:

                                     $f(x^2+y+f(y))=2y+f^2(x)$ $\forall x,y\in \mathbb{R}$




#657689 Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia tỉnh Bắc Ninh 2016-2017

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 12-10-2016 - 21:52 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

...




#657125 $x^2+y^2=n(x+1)(y+1)$

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 08-10-2016 - 18:07 trong Các bài toán và vấn đề về Số học

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên dương 

$x^2+y^2=n(x+1)(y+1)$

Ta chứng minh không tồn tại $n$ thỏa mãn

$\iff x^2-xn(y+1)+y^2-n(y+1)=0$

Cố định tập nghiệm, giả sử $x\geqslant y$ và $x+y$ đạt min

Theo Viete ngoài nghiệm $x$ còn nghiệm $t$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} t+x=n(y+1)\\ tx=y^2-n(y+1)\end{matrix}\right.$

Nếu $t=0\implies y^2=n(y+1)\iff y\mid n$ hay $y+1 \mid y$ (vô lí)

Nếu $t<0\implies t^2-tn(y+1)+y^2-n(y+1)=0$

mà $ t^2-tn(y+1)+y^2-n(y+1)=t^2+y^2+n(y+1)(-t-1)>0$ (mâu thuẫn)

Vậy $t>0\implies t\geqslant x\geqslant y$ vì tính nhỏ nhất của $x+y$

Khi đó $xn(y+1)=x(t+x)\leqslant 2tx=2[y^2-n(y+1)]$

Lại có $x\geqslant y\implies 2[y^2-n(y+1)]\geqslant ny(y+1)\iff y^2(2-n)\geqslant n(3y+2)>0$

Kéo theo $n=1\implies x^2+y^2=x+y+xy+1\iff (x+y)(x+y-1)=2xy+1$ ( vô lí vì VT chẵn mà VP lẻ)

 

Kết luận: Không tồn tại $n$ nguyên dương thỏa mãn $\blacksquare$




#657119 Số các cặp số nguyên tố sinh đôi

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 08-10-2016 - 17:14 trong Các bài toán và vấn đề về Số học

Cặp số $(n,n+2)$ được gọi là 1 cặp số nguyên tố sinh đôi nếu $n$ và $n+2$ đều là số nguyên tố. Kí hiệu $\pi (x)$ là số các cặp số nguyên tố sinh đôi $(n,n+2)$ với $n\leqslant x$. Chứng minh rằng

         $\pi (x)=2+\sum_{7\leqslant n\leqslant x} \sin \left \{ (n+2)\left \lfloor \frac{n!}{n+2}\right \rfloor \right \}\frac{\pi}{2} \sin \left \{ n\left \lfloor \frac{n-2)!}{n} \right \rfloor \right \}\frac{\pi}{2}$




#656541 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 2 năm 2016

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 03-10-2016 - 06:12 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

bạn giải thích đoạn này cái


$ab=a^2-2b^2\iff (a-2b)(a+b)=0$ với $a=f(2x)$ và $b=f(x)$



#656525 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 2 năm 2016

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 02-10-2016 - 22:47 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Ngày 2.

 

Bài 1. Tìm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn :

\[2f(x)\cdot f(x+y)-f(x^2)=\frac{1}{2}x(f(2x)+4f(f(y)))\]

 

Câu 1:

Kí hiệu $P(x,y)$ là phép thế giá trị $x,y$

$2f(x)\cdot f(x+y)-f(x^2)=\frac{1}{2}x[f(2x)+4f(f(y))]$ $(1)$
$P(0,y)\implies f(0)=0$
$P(x,0)\implies 4f^2(x)-2f(x^2)=xf(2x)$ $(2) 

Thay vào $(1)\implies f(x)f(x+y)=f^2(x)+xf(f(y))$ $(3)$

$P(x,-x)\implies f^2(x)=-xf(f(-x))$ $(4)$

$P(2x,-x)$ và áp dụng $(4)\implies f(2x)f(x)=f^2(2x)-2f^2(x)$

$\iff \left [ f(2x)-2f(x) \right ]\left [ f(2x)+f(x)  \right ]=0\iff f(2x)=2f(x)$ hoặc $f(2x)=-f(x)$
 

TH1: $ f(2x)=2f(x)$

$P(x,x)\implies4f^2(x)-f(x^2)=xf(x)+2xf(f(x))$

Áp dụng $(2)$ và $(4)$ $\implies f^2(x)=xf(f(x))=f^2(-x)$

Nếu $f(x)=f(-x)$ thì $f(x)$ là hàm chẵn, khi đó thay $y=-2x$ vào $(3)$

$\implies f(x)f(-x)=f^2(x)+xf(f(-2x))\iff f(f(-2x))=0 \forall x\in \mathbb{R}\implies f(f(x))=0$

Khi đó $f(x)=f(x+y)\forall y\in \mathbb{R}$ suy ra $f(x)=0$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(x)=-f(-x)$ thì $f(x)$ là hàm lẻ, khi đó:

$P(x,-y)\implies f(x)f(x-y)=f^2(x)+f(f(-y))=f^2(x)+f(-f(y))=f^2(x)-f(f(y))$

Cộng vế theo vế$\implies f(x-y)+f(x+y)=2f(x)=f(2x)=f(x+y+x-y)$

$P(\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})\implies f(x)+f(y)=f(x+y)$   $\forall x,y\in \mathbb{R}$

Thay vào $(3)\implies f(x)f(y)=xf(f(y))$

Thay $y=1\implies f(x)f(1)=xf(f(1))$

Dễ thấy nếu thay $x=-y=1$ ta được $f(1)=1\implies f(x)=x$

 

TH2: $f(2x)=-f(x)$

$P(1,0)\implies f(1)=0$ hoặc $f(1)=\frac{1}{4}$

Nếu $f(1)=0$ thì $P(1,y)\implies f(f(y))=0$

Tương tự suy ra $f(x)=0$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(1)=\frac{1}{4}$ thì thay $x=y=1$ suy ra $f(\frac{1}{4})=-\frac{1}{8}$

$\implies f(\frac{1}{8})=-f(\frac{1}{4})=\frac{1}{8}$

Khi đó thay $x=y=\frac{1}{8}$ vào $(1)$ suy ra vô lí

 

Thử lại thấy có 2 hàm $f(x)=x$ và $f(x)=0$ thỏa mãn $\blacksquare$




#655821 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 2 năm 2016

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 28-09-2016 - 10:45 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

:v..




#655785 Đề thi chọn đội tuyển HSG quốc gia tỉnh Đồng Nai năm học 2016-2017

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 27-09-2016 - 21:30 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu V:

$f(x^2-2yf(x))+f(y^2)=f^2(x-y)$ $(1)$

Đặt $G(x)=x-f(x)\implies f(x)=x-G(x)$ suy ra $(1)\iff 2yG(x)-G(y^2)=G^2(x-y)-2(x-y)G(x-y)$ $(2)$

Thay $x=y=0\implies G(0)=0$

Thay $y=0\implies G^2(x)-2xG(x)=0\iff G(x)=0$ hoặc $G(x)=2x$

$G(x)=0\implies f(x)=x$ (thỏa)

$G(x)=2x\implies f(x)=-x$ (không thỏa)

Vậy $f(x)=x$ 




#654683 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 1 năm 2016

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 18-09-2016 - 20:33 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

KHTN chứ có phải viện toán cao cấp đâu mà Mordell @@

Mình sửa lại rồi 




#654609 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 1 năm 2016

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 18-09-2016 - 09:31 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu 1:

Ta xét 2 trường hợp:

TH1: $5^n \mid a^2$

Khi đó đặt $a^2=k.5^n\implies k(k.5^n+1)=5^{n+1}-p^3\iff  p^3+k=5^n(5-k^2)$

Dễ thấy $VP>0\implies$ $k=1$ hoặc $k=2$

$k=1\implies p^3+1=4.5^n\iff \left ( \frac{p+1}{4} \right )(p^2-p+1)=5^n$

Chú ý rằng $\gcd (\frac{p+1}{4},p^2-p+1)=1$ nên $PT$ vô nghiệm

$k=2\implies p^3=5^n-2$ (vô nghiệm theo modulo $5$)

 

TH2: $5^n\mid a^2+1$

Tương tự$\implies p^3-k=5^n(5-k^2)$

Dễ thấy $p^3>k$ nên $k=1$ hoặc $k=2$
$k=1\implies p^3=4.5^n+1$ (vô nghiệm)

$k=2\implies p^3=5^n+2$

$n$ chẵn ta có $3\mid p\implies (p,n)=(3,2)$

$n$ lẻ ta có $p^3-1=5^{n}+1\implies v_2(p^3-1)=v_2(5^n+1)\iff v_2(p-1)=v_2(n)>0$

$\implies 2\mid n$ (vô lí)

 

Kết luận: $(a,p,n)=(7,3,2)$

 

P/s: Đã sửa lại




#653797 Trường hè Toán học Miền Nam.

Đã gửi bởi Minhnguyenthe333 on 11-09-2016 - 20:40 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

5/

Từ điều kiện đề bài, ta thấy số cách chọn tối đa tuân theo quy luật dãy số Fibonacci:$\left\{\begin{matrix}F_1=1;F_2=2\\F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \end{matrix}\right.$

$\implies$ Với $10$ người thì có tối đa $89$ cách sắp xếp theo chuẩn thứ tự