CMR: $\frac{1}{(\sqrt1 + \sqrt3)^3}+\frac{1}{(\sqrt3 +\sqrt5)^3}+...+\frac{1}{(\sqrt{2003}+\sqrt{2005})^3} < \frac{11}{90}$

Mong mọi người thứ lỗi vì mình không gõ được theo đúng dạng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): $y=x^{2}$ và đường thẳng (d): $y=mx+2$, với m là tham số. 

1. CMR: Với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt.

2. Gọi $A(x_{1};y_{1})$ và $B(x_{2};y_{2})$ là giao điểm (d) và (P). Tìm giá trị của m để $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ đạt GTNN.

Đề thi Toán Chuyên Ngữ 2009 đây mà

Câu III

 

a) Dễ thấy $F\in AB$ và $E\in AC$

 

Có $BF=BD\Rightarrow \frac{BF}{AB}=\frac{BD}{AB}$. Tương tự $\frac{CE}{AC}=\frac{CD}{AC}$

 

Mà $\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}\Rightarrow \frac{BF}{AB}=\frac{CE}{AC}\Rightarrow EF\parallel BC$

 

b) Trước tiên có $NJ\parallel DE,MJ\parallel FD$

 

Từ phần a) có $\angle BFD=\angle DFE$ và $\angle CED=\angle DEF$

 

Tứ giác $FNPA$ và $APME$ nội tiếp nên $\angle NPM=\angle NPA+\angle MPA$

                           

                                 $=\angle BFD+\angle DEC=\angle DFE+\angle DEF=\angle EJM+\angle FJN=180^0-\angle NJM$ 

 

Suy ra $NJMP$ nội tiếp

 

c) Từ phần b) do $NJMP$ nội tiếp nên

 

$\angle NPJ=\angle NMJ=\angle MJE=\angle DFE=\angle BFD=\angle NPA$ ( do $FNPA$ nội tiếp)

 

Do đó $\overline{P,J,A}$ ( đpcm)

Làm sao c/m được tứ giác FNPA nội tiếp ạ?

Cho $\bigtriangleup ABC$ không cân có tâm đường tròn nội tiếp là I. Đường thẳng AI cắt BC tại D. Gọi E,F lần lượt là các điểm đối xứng của D qua IC, IB.

1) CMR: EF song song BC

2) M,N,J lần lượt là trung điểm của DE, DF, EF. Đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup AEM$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup AFN$ tại P ($\not\equiv A$). CMR: M,P,N,J cùng thuộc 1 đường tròn

3) CMR: A,J,P thẳng hàng

1) Với x,y là những số thực thỏa mãn $x^{2}y^{2}+2y+1=0$.

Tìm max và min của: P=  $\frac{xy}{3y+1}$

2) a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca\leq4abc$

CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$

Gọi $M$ là điểm bất kỳ trong $\Delta ABC$. Qua $M$ kẻ các đường thẳng $DE, IJ, FG$ lần lượt song song với các cạnh $BC, CA, AB$.

CMR:

$S_{AIMF}+S_{BGMD}+S_{CEMJ}\leq \frac{2}{3}S_{ABC}$ 

Cho hai số nguyên dương x; y có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức:

                        $S=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{3}{4xy}$

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{3}{4xy}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho 2 số không âm, ta có:

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{(1+1)^{2}}{(x+y)^{2}}=\frac{4}{1}=4$ (1)

Ta có:

$x+y=1\Leftrightarrow x=1-y$

$\rightarrow xy=(1-y)y=y-y^{2}=-(y^{2}-y)=-(y-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}\leq \frac{1}{4}$

$\rightarrow 4xy\leq 1$

$\frac{1}{4xy}\geq1$ (2)

(1)(2)$\rightarrow$ $A\geq 4+1=5$

Dấu = xảy ra <-> x=y=0,5

mình xin giải câu 4

Đặt biểu thức cần cm là P

        $a=\frac{1}{x}$, $b=\frac{1}{y}$, $c=\frac{1}{z}$

ta có $3x+2y+z=\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{36}{3a+2b+c}$

tương tự $3y+2z+x\geq \frac{36}{3b+2c+a}$

 

$3z+2x+y\geq \frac{36}{3c+2a+b}$

$P\leq \frac{3a+2b+c}{36} +\frac{3b+2c+a}{36}+\frac{3c+2a+b}{36}=\frac{6(a+b+c)}{36}$

Do $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=12 \Rightarrow a+b+c=12$

$\Rightarrow P\leq \frac{6.12}{36}=2$

dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{4}$ 

Bạn ơi, nếu dùng BĐT Cauchy - Schwarz thì a,b,c phải >0 chứ?

Chỗ này nè:

$3x+2y+z=\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{36}{3a+2b+c}$

Ta có: $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$

Lại có: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

và $\sqrt{3(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Đặt $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=x$ thì $x+\sqrt{3x}\geq 6$

Từ đó => ĐPCM

Thưa bạn, bạn có thể giải thích cho mình tại sao mà:$$\sqrt{3(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$

1) Cho a,b,c>0

 $a+b+c=2$

Tìm min $\sqrt{2a+bc} + \sqrt{2b+ac} + \sqrt{2c+ab}$

2)

Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác

CMR: $\left | \frac{a-b}{a+b} + \frac{b-c}{b+c} + \frac{c-a}{c+a}\right |< \frac{1}{8}$

3)

Cho ad-bc=1

CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd\geq \sqrt{3}$

4)

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=12$

Tìm max $\frac{1}{3x+2y+z}+\frac{1}{3y+2z+x}+\frac{1}{3z+2x+y}$

5)

Tìm min, max $\sqrt{2x-3} + 2\sqrt{3-x}$

Cho a,b,c>0

a+b+c+ab+ac+bc=6abc

CMR:

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 3$