Trên 2 cạnh Ox ; Oy của $\widehat{xOy}$ lần lượt lấy 2 điểm M;N chuyển động sao cho MN = a không đổi
a) Tìm M,N để $S_{MON}$ đạt giá trị lớn nhất
b) Tâm I của đường tròn ngoại tiếp $\triangle MON$ chạy trên đường nào 

Bạn tự vẽ hình nha :3
a)
Dễ dàng chứng minh M,A,N,O cùng nằm trên 1 đường tròn đường tròn đường kính OA
b) 
$\widehat{BMA}=\widehat{MCA}$ ( cùng chắn cung MB)
Lại cùng chung $\widehat{MAB}$
nên $\triangle ABM \sim \triangle AMC$ ( góc - góc)
$\Rightarrow$ $\frac{AB}{MA} = \frac{MB}{CM}$
Suy ra điều phải chứng minh
c)
Dễ dàng chứng minh $\widehat{BMN}=\widehat{BNM}$                                                                ( 1 )
$\widehat{BMA}=\widehat{MNB}$                                                                                                    ( 2 )
( 1 ),( 2 ) $\Rightarrow \widehat{IMB}=\widehat{BMA}$
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác IMA với MB là tia phân giác $\widehat{IMA}$ 
Suy ra $\frac{BA}{BI} = \frac{MA}{MI}$
d) 
Ta có $\frac{IB}{BA}=\frac{MI}{MA}$ $\Rightarrow \frac{IB}{MI}=\frac{BA}{MA}$
 $\frac{AB}{AC}=\frac{AB^{2}}{MA^{2}}$ hay $AB.AC=MA^{2}$ ( hệ thức lượng trong đường tròn)
Dó đó ta có điều phải chứng minh

 Làm tóm tắt thôi nha bạn

- Chứng minh E nằm trong đường tròn thì với tam giác ECD cân có góc đáy bằng $15^{\circ}$ thì tam giác ECD cân ở E
- Gọi E' là điểm nằm trong hình vuông sao cho $\Delta ABE$ đều
- Do đó có thể tính đc các góc của tam giác cân ADE và tam giác cân BEC từ đó cũng rất dễ để chứng minh tam giác E'DC là tam giác cân có góc đáy là $15^{\circ}$
Vậy  $E\equiv E'$
Suy ra điều phải chứng minh

Bài này có trong rất nhiều tài liệu và hầu hết dạng này đều đưa về bất đẳng thức thuần nhất. Trong bài trên thì áp dụng hệ số đưa bđt thành thuần nhất bậc 4 mà hầy hết nếu đưa về thuần nhất thì rất có thể biến đổi tương đương cũng dễ hiểu thui. Nói chung bạn có thể tham khảo nhiều tài liệu khác về bất đẳng thức đối xứng hoặc thuần nhất đều sẽ có những dạng bài này và chắc chắn sẽ gặp đúng bài này luôn

Tam giác ABC có độ dài 3 cạnh khác nhau. Giả sử AC là cạnh có độ dài nhỏ nhất
Trên AB, AC lần lượt lấy D, E sao cho AD  = AC = CE.
Chứng minh: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

$a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b)\leq 6$
$\Leftrightarrow a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b)\leq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
$\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})+4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\geq 3ab(a^{2}+b^{2})+3bc(b^{2}+c^{2})+3ac(a^{2}+c^{2})$
$\Leftrightarrow \sum (a^{4}+b^{4}+4a^{2}b^{2})\geq 3ab(a^{2}+b^{2})$
$\Leftrightarrow \sum ((a-b)^{4}+ab(a-b)^{2})\geq 0$  ( đúng với mọi a,b,c thực )
Đẳng thức xảy ra chỉ khi a = b =c
 

Bạn tự vẽ hình được ko

Vẽ đường tròn tâm O bán kính OH tiếp xúc với AB, AC, BC ở E, F, Q
Vẽ đường tròn tâm G bàng tiếp góc $\widehat{BAC}$ tiếp xúc với đoạn BC ở S và tiếp xúc với 2 tia AB, AC lần lượt ở K, T
       Đặt AE = AF = x
             EB = BQ = y
             FC = QC = z 
$P_{ABC}$ = 2 (x + y + z)
Mà $P_{ABC}$ = AK + AT = 2 AK = 2 ( AB +BS) = 2 ( x + y + BS )
$\Rightarrow BS=z=6$
tam giác BOQ đồng dạng tam giác GBS
dễ dàng cm GS = 2 BS = 12
Mà GS = GK nên GK = 12
Với BK = BS = 6
dễ dàng cm KE = 10
EO = 2
Ta có $\frac{x}{AK}$ = $\frac{EO}{KG}= \frac{2}{12}= \frac{1}{6}$
$\Rightarrow \frac{x}{10+x}=\frac{1}{6}$
dễ dàng tìm được x = 2
Từ đó tự tìm đc diện tích

 

Cho điểm P nằm trong hình tròn (O;R). Kẻ 2  dây cung AB, CD đi qua vuông góc với nhau tại P. Lấy điểm K đối xứng với P qua trung điểm AC. Tìm quỹ tích điểm K biết P cố dịnh và 2 dây AB,CD chuyển động

thực ra cũng có 1 bài ko biết có giống hay ko

cho 1 hình vuông cạnh bằng 1 cho 51 điểm, chứng minh luôn có 1 hình tròn bán kính bằng $\frac{1}{7}$ chứa 3 điểm.
Bài lm:

Ta chia hình vuông thành 25 hình vuông nhỏ bằng nhau. 
Từ tâm của 1 hình vuông nhỏ t có thể vẽ đc 1 hình tròn đường kính là đường chéo hình vuông

Dễ dàng chứng minh bán kính các hình tròn đó có độ dài là $^{\sqrt{\frac{1}{50}}}$ mà $\frac{1}{\sqrt{50}}< \frac{1}{\sqrt{49}} = \frac{1}{7}$
theo diricle luôn có 3 điểm trong 1 hv nhỏ mà mỗi hv nhỏ lại nằm trong 1 hình tròn bán kính $\frac{1}{7}$ 
Ta có điều phải chứng minh
P/s: mà bạn cần phải chỉ ra hình 35x36 có độ dài là bao nh

Cả 2 bài đều sai đề mà,nghiệm giải trên tập số phức

1) Cho góc $\widehat{xOy}$ trên tia Ox lấy 2 điểm A,B và trên tia Oy lấy 2 điểm C,D sao cho $OA.OB=OC.OD$ . Chứng minh rằng:
chứng minh A,B,C,D nằm trên 1 đường tròn
2)Cho hình tròn (O,R) và dây AB bất kỳ đi qua điểm M trong hình tròn. Chứng minh MA.MB không đổi

Ai lm bài 2 giúp cái :3 , bài 2 có vẻ sẽ đặt ẩn phụ nhưng ko biết lm sao

Giải Phương trình

1) $\sqrt{5x^{2}+11x+9}=5\sqrt{x+1}+\sqrt{x^{2}-x-20}$

2) $\frac{1}{x}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}=x+\sqrt{2x-\frac{5}{x}}$

Tham khảo ở đây.
Không biết bạn có tài khoản pitago.vn không?

Cho đường tròn tâm O và điểm  A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN. GỌi I là trung điểm MN. Chứng minh BCOI cùng thuộc1 đường tròn

Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi 2 màu xanh, đỏ hoặc vàng. CM rằng có 2 điểm tô cùng 1 màu cách nhau 1 đơn vi

1. Tập hợp các số nguyên tố có dạng 6k+1 là vô hạn 
2. Tập hợp các số nguyên tố có dạng 6k-1 là vô hạn

Cho tam giác ABC sao cho chiều cao AH lớn nhất, trung tuyến BD, phân giác CE bằng nhau. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều

Ta thấy VT=VP là số chẵn do đó a+b+c là số chẵn

Do đó một trong ba số là chẵn và =2.

TH1: a=2 thế thì b+c=18(tự giải).

TH2: b=2 thì 9a-c=2(tự giải)

TH3: tương tự TH2

Đoạn này e ko biết làm

Cho $3$ số $a,b,c$ là các số nguyên tố khác nhau thoả mãn $a +b+c=10a$. Tìm $a,b,c$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Chứng minh rằng: $\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}\leq \sqrt{3}$

Cho tam giác ABC.

Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.
P,N,M lần lượt là trung điểm AB,BC,CA

K,I,L lần lượt là trung điểm của các đoạn BH,AH,CK
Chứng minh 9 điểm : D,E,F,P,N,M,K,I,L nằm trên cùng 1 đường tròn

Bài này mình mới nghĩ ra,chẳng biết sót chỗ nào không 

Biến đổi VT ta có $\frac{(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{n}+1)}{a_{1}a_{2}...a_{n}}=\frac{\prod (a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+a_{1})}{\prod a_{1}}$ (chú ý giả thiết $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1$)

Áp dụng BDT AM-GM cho $n+1$ số ở mỗi nhân tử trong tích ta có 

$VT\geq \frac{\prod (n+1)\sqrt[n+1]{a_{1}^{2}a_{2}...a_{n}}}{\prod a_{1}}=\frac{(n+1)^{n}\prod a_{1}}{\prod a_{1}}=(n+1)^{n}(đpcm)$

Cm hoàn tất

Spoiler

Làm được bài hôm qua của t đố chưa Đạt   

Nên biểu diễn cho dễ hiểu 1 chút chứ cấp 2 hình như chưa học mấy cái ký hiệu này đâu

Spoiler

Đọc lại cái đề