Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Uchiha sisui nội dung

Có 175 mục bởi Uchiha sisui (Tìm giới hạn từ 20-01-2017)



Sắp theo                Sắp xếp  

#715639 Đề thi chọn HSG tỉnh Ninh Bình 2018-2019

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 16-09-2018 - 22:00 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

41620952_2184024598587989_72736328149211

 

Vô tình thấy bài BĐT trong sách 

Bài này là kĩ thuật bổ đề chặn tích của ông Cẩn!




#713996 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 07-08-2018 - 18:25 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Bài 20. Tứ giác $ABCD$ điều hòa, tiếp tuyến tại $A, C$ cắt nhau tại $P$. Điểm $T$ thuộc $AC$. Gọi $O'$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $TBD$. Tiếp tuyến với $(O')$ tại $T$ cắt $AP, CP$ tại $Q, R$. Chứng minh rằng tứ giác $BDQR$ nội tiếp.   




#713995 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 07-08-2018 - 18:21 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Em không nghĩ có tỉnh nào ra thi tâm tam giác đâu bác ơi. Đổi bài đi bác.

 

 

Bài 19:  Chứng minh rằng $IG$ đi qua điểm $Schiffler$ của tam giác $ABC$ với $I$ là tâm nội, $G$ là trọng tâm tam giác 

Cái này cao quá bác!




#713917 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 06-08-2018 - 12:16 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

:like  Có lẽ phải đưa cái topic này về đúng với quỹ đạo của nó rồi! Nhiệt lên nào members! Bài mới đây!

 

Bài 18Cho đường tròn $(O)$ cố định và hai điểm $B, C$ cố định thuộc đường tròn $(O)$, điểm $A$ di động trên đường tròn $O$ . Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $L$ là điểm Lemoine  của tam giác $DEF$ . $X$ là điểm đối xứng của $L$ qua $EF$. $AX$ cắt $(O)$ tại $Y$. Chứng minh rằng $YD$ luôn đi qua một điểm cố định.

 




#713785 Đề thi chọn đội tuyển HSG QG Hà Nội năm học 2014-2015

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 03-08-2018 - 20:26 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Cho em hỏi bài số học giải thế nào ạ ( bài 1)




#711896 PHƯƠNG PHÁP HÀM LẶP TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 03-07-2018 - 11:24 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Dãy số - Giới hạn

2. Lớp hàm $g(x)=x^2+ax+b$

Ta có: $g(x) - c = x^2 + ax + b - c$

Do đó ta cần chọn a,b,c sao cho:

$x^2+ax+b-c=( x - c)^2 \Rightarrow x^2+ax+b-c =x^2-2xc+ c^2 $

$ax + b – c =-2cx + c^2$

$ \left\{\begin{matrix} a= - 2c \\ b-c =c^2 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}  a = - 2c \\ b = c + c^2 \end{matrix}\right.$

Chọn c=7 ta được: a=-14, b=56. Khi đó, ta có bài toán:

 Bài toán 1: Cho dãy số $ (x_n)$ được xác định bởi :

$\left\{\begin{matrix} x_1 = \alpha \in \mathbb{R} \\ x_{n+1} = x_n^2 -14x_n +56,\forall n \in \mathbb{N^*} \end{matrix}\right.$

Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(x_n)$.

Giải:

Ta có: $x_n – 7= x_{n - 1}^2 -14.x_{n-1}+49 =(x_{n-1} - 7)^2 $ $=(x_{n-2}-7)^{2^2}=(x_{n-3}-7)^{2^3}=…= (x_1- 7)^{2^{n-1}}=(\alpha -7)^{2^{n-1}}$

Vậy số hạng tổng quát của dãy đã cho là:

$x_n= 7+(\alpha -7)^{2^{n-1}},\forall  n\in \mathbb{N^*}$

Bài toán 2: Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi hệ thức truy hồi sau:  

$\left\{\begin{matrix} u_1 = \alpha \in \mathbb{R},  \\ u_{n+1}=3u_n^2+4u_n+  \frac{2}{3},\forall n \in \mathbb{N^*}\end{matrix}\right. $

Tìm số hạng tổng quát của dãy đã cho.

Giải:

Đặt $ u_n=\frac{x_n}{3} $.Khi đó dãy số $(x_n)$ được xác định bởi hệ thức truy hồi:

$\left\{\begin{matrix} x_1=3 \alpha \\ x_{n+1}=x_n^2+4x_n + 2, \forall  n \in \mathbb{N^*}\end{matrix}\right.$

Mặt khác:

$x_n+2= x_{n-1}^2+4x_{n-1}+4= (x_{n-1}+2)^2= (x_{n-2}+2)^{2^2}=…=(x_1+2)^{2^{n-1}}$

Do đó: $x_n= 3 \alpha  +2$.Vậy số hạng tổng quát của dãy đã cho là:

$ u_n=\frac{ 3 \alpha  ^{2^{n-1}}-2}{3},\forall n\in \mathbb{N^*}$

Lưu ý: Phép đặt $u_n= \frac{x_n}{3}$ được tìm ra như sau:

Ta đặt $u_n=k.x_n$ (với k= const được xác định sau).Khi đó:

$kx_{n+1}=3k^2x_n^2+4kx_n+\frac{2}{3}\Rightarrow x_{n+1}=3kx_n^2+4x_n+\frac{2}{3} $. Ta tìm k sao cho: 3k=1 $\Rightarrow k= \frac{1}{3}\Rightarrow u_n= \frac {x_n}{3}$

Bài toán 3: (Đề thi đề nghị Olympic 30/4/2012) Cho  dãy số$(x_n) $ được xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix} x_1= 4 \\ x_{n + 1}= x_n^2 -2, \forall \in \mathbb{N^*} \end{matrix}\right. $

Tính

             $  \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{x_{n+1}}{x_1x_2x_3...x_n}$

Giải:

Bằng quy nạp ta chứng minh được $x_n \geq 4,  \forall n \in \mathbb{N^*}, $

M ặt khác:

$x_{n+1}^2-4= (x_n-2)^2 – 4= x_n^2(x_n^2-4)=…=(x_1x_2…x_n)^2(x_1^2-4)=12(x_1x_2…x_n)$

Suy ra: $\left ( \frac{x_{n+1}}{x_1x_2..x_{n}} \right )^2 =12+ \frac{4}{(x_1x_2…x_n)^2}$

Lại có:

$x_{n+1}-x_{n}=x_n^2-x_n-2 = (x_n+1)(x_n-2)> 0, \forall n \in \mathbb{N^*} $

Do đó: $(x_n )$ là dãy tăng $\Rightarrow x_n\geq 4,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Khi đó: $0\leq \frac{4}{x_1x_2..x_n}\leq \frac{1}{4^{2n-1}}$

Mà $\lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{1}{4^{2n-1}}=0$ nên theo định lí kẹp, ta có:

 

$ \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{4}{x_1x_2..x_n}=0$

 

Vậy nên:

$\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{x_{n+1}}{x_1x_2..x_n}=\lim_{n\rightarrow +\infty }\sqrt{12+\frac{4}{(x_1.x_2...x_n)^2}}=2\sqrt{3}$

Ghi chú: Ý tưởng bài toán trên hoàn toàn giống với một bài toán dãy số trong kì thi Olympic toán sinh viên toàn quốc năm 2005, chỉ có điều sự khác biệt ở đây là giá trị $x_1=5$.Ý tưởng của bài toán ấy còn được xuất hiện một lần nữa trong kì thi Olympic toán sinh viên quốc tế năm 2010,với nội dung như sau:

Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi hệ thức truy hồi :

$\left\{\begin{matrix} x_1=\sqrt{5}\\ x_{n+1}=x_{n}^{2}-2,\forall n\in N^* \end{matrix}\right.$

Tìm $\lim_{n\rightarrow +\infty  }\frac{x_1x_2...x_n}{x_{n+1}}$.

 

Bài tập về dạng này :

 

BT1:  Cho dãy số $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_0=a\\ x_{n+1}=2x^2_n-1, \forall n\geq 0 \end{matrix}\right.$. Tìm các giá trị của $a$ để $x_n<0, \forall n\geq 0$

Bài tập 1 có thể giải bằng phương pháp lượng giác!




#711890 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 03-07-2018 - 09:41 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Bại 16: Cho $\triangle{ABC}$ nội tiếp $(O)$ với tâm nội $(I)$ . $AI$ cắt $(O)$ tại $D$. $P$ bất kì thuộc $BIC$. $K,L$ là hình chiếu $P$ lên $DY,DZ$. Gọi $Q,R$ là tâm ngoại các tam giác $KAD,LAD$. $E,F$ là hình chiếu của $Q,R$ lên $CA,AB$. CMR: $EF$ chia đôi $PA$ (Sưu tầm )

Y, Z là điểm gì thế bác?




#711889 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 03-07-2018 - 09:37 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Lời giải có vẻ thiếu sót ! bác xem lại thử.

Thiếu sót ở đâu bác nhỉ? Nếu đoạn cuối thì xoay góc tí là ra thôi!




#711847 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 02-07-2018 - 08:57 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Bài 13 có thể giải được bằng hàng điểm. Còn đây là lời giải bài 14!

 

Bài 14. 

 

Gọi $S$ là giao điểm của $MN$ là $BC$.  Dễ thấy rằng các tứ giác $BNMC$ và $BFEC$ nội tiếp và bốn điểm $D, I, E, F$ cùng nằm trên đường tròn Euler của tam giác $ABC$.

 

Ta có rằng: $SD.SI=SE.SF=SB.SC=SM.SN$ nên bốn điểm $D, I, M, N$ cùng nằm trên một đường tròn!

 

Gọi $L$ là giao điểm của $AK$ và $BC$. Theo kết quả quen thuộc $OA$ vuông góc với $EF$ nên suy ra $A$ là điểm chính giữa cung $MN$.

 

Suy ra $AN^{2}=AE.EC=AH.AD\Rightarrow \bigtriangleup ANH$ ~ $\bigtriangleup ADN$.

 

Suy ra $\widehat{ANH}=\widehat{ADN}\Rightarrow AK$ vuông góc với $MN$.

 

 

 

 

Hình gửi kèm

  • Untitled.png



#711807 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 30-06-2018 - 16:58 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Lời giải bài 14 https://diendantoanh...ông-góc-với-hn/

Đây là lời giải của 1 đứa bạn sử dụng tam giác đồng dạng và tứ giác nội tiếp đơn thuần, hồi lớp 9 cũng nghĩ lâu phết nhưng không ra bây giờ thử cách khác xem sao. :D  :D

Bài 14 không cần trâu bò thế đâu bác, chỉ đơn giản sử dụng kết quả quen thuộc và đường tròn Euler thôi! Tối em up giải giờ có việc rồi  :D  :D  :D  :like   

 

@@: Bác Hoàng up vài bài nữa đi cho nó sôi nổi nào :D




#711806 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 30-06-2018 - 16:56 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

có vẻ đề câu 13 sai bác ạ

E gõ nhầm đã fix ạ :) 




#711798 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 30-06-2018 - 11:26 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

đánh liên minh bác ạ mà bài 8 không có cách khác ngoài cách của nhện chúa ạ,

Bài 8 xem trong file mà bác Hoàng đưa thôi! Em không dám giải + :D  :D  :like




#711797 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 30-06-2018 - 11:25 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Bài 13. (Bzasil MO 2017) Cho tam giác $ABC$, trên $AB$ lấy điểm $M$, $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $BM=MN=NC$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ cắt $MN$ tại $P$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AMN$. Chứng minh rằng $PA=PI$.

 

Bài 14. (Sưu tầm) Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp $(O)$, kẻ ba đường cao $AD, BE, CF$. đồng quy tại $H$. Đường thẳng $EF$ cắt $(O)$ lần lượt tại $M, N$ ($M$ thuộc cung nhỏ AB, $N$ thuộc cung nhỏ $AC$). Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, $MI$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$. Chứng minh rằng $AK$ vuông góc với $HN$.  




#711794 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 30-06-2018 - 11:11 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Không biết cách vẽ hình nên bác thông cảm

P/s: Bài 5 các bác thử áp dung phép nghịch đảo đx qua điểm $A$ sẽ thu đc bài quen thuộc

P/s: Chiều đánh không hoàng ( @Nhoang1608)

Mấy bác đánh cờ tướng ạ  :D  :D . Bài 11 em có ghi xác định P, Q mà bác !




#711791 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 30-06-2018 - 09:57 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Lời giải bài 8 trong tài liệu của thầy Hùng :http://khoia0.com/Th...-tron-Euler.pdf

xin đề xuất bài tiếp
Bài 9(sưu tầm): Cho $\triangle ABC$ $E,F$ lần lượt thuộc $AB,AC$ sao cho $EF||BC$.$BF\cap CE\equiv D$. Đường tròn $(DBE)\cap (DCF)\equiv G$. Chứng minh $AG$ là đường đối trung.

Bài 9 là đề thi Balkan MO 2009 nhé bạn!




#711789 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 30-06-2018 - 09:44 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Lời giải bài 9  Đây là được coi là $1$ bổ đề cơ bản của đường đối trung. Chứng minh:

Kẻ $GM,GN$ vuông góc với$AB,AC$ thì ta cần chứng minh $\frac{AB}{AC}=\frac{d(G,AB)}{d(G,AC)}=\frac{GM}{GN}$. Mặt khác ta có tam giác $EBG$ đồng dạng tam giác $CFG$ (g.g) nên $2$ đường cao tương ứng có tỉ lệ bằng $\frac{BE}{CF}=\frac{AB}{AC}$. Ta có điều phải chứng minh.

 

Liên quan đến đường đối trung thì mình sẽ đề suất tiếp $1$ bài cũng về đối trung.

Bài 10. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn $(O)$ và $(I)$.$(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. $(ABD)$ cắt $AC$ tại $E$ và $(ACD)$ cắt $AB$ tại $F$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $DE,DF$. Chứng minh rằng $OI \perp AD$ khi và chỉ khi $AD,BN,CM$ đồng quy. 

Bài 10. 

Ta có bổ đề quen thuộc sau: $OI$ vuông góc với $AD$ khi và chỉ khi $AD$ là đường đối trung

 

Ta xét trường hợp thuận: $OI$ vuông góc với $AD$ ta sẽ chứng minh $AD, BN, CM$ đồng quy. Trường hợp còn lại chứng minh tương tự!

 

Từ bổ đề trên suy ra $AD$ là đường đối trung của tam giác $ABC$ ứng với đỉnh $A$ suy ra $\frac{DB}{DC}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}$

 

Dễ thấy tam giác $BFD$ ~ tam giác $ECD$ . Suy ra $\frac{BF}{CE}=\frac{DF}{CD}=\frac{DB}{ED}$.

 

Đến đây dùng định lý Ceva sin là xong 

Hình gửi kèm

  • 2.png



#711786 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 30-06-2018 - 08:22 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Bài 8: Cho $\triangle{ABC}$ tâm nội $I$ . CMR 4 đường thẳng Euler của $BIC,AIB,AIC,ABC$ đồng quy $(Schiffler)$

Bác show lời giải bài 5 được không ạ :), tiện thể khi nào giải bác up hình đi kèm với lời giải ạ  :(  như vậy bạn đọc sẽ tiện theo dõi hơn!

 

Bài mới:

 

Bài 11. (USA TST 2011) Cho tam giác $ABC$ nhọn có trực tâm $H$ và tâm đường tròn ngoại tiếp là $O$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$. Các đường thẳng $MH, NH$ cắt $(O)$ tại $P$ và $Q$. Giả sử $MN$ cắt $PQ$ tại $T$. Chứng minh rằng $TA$ là tiếp tuyến của $(O)$.

 

Bài 12. (Đề chọn HSG Duyên Hải Lớp 11 Chuyên Thái Bình 2013-2014) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Hình chữ nhật $MNPQ$ thay đổi sao cho $M$ thuộc $AB$, N thuộc $AC$, $P, Q$ thuộc $BC$. ${K}=BN\cap MQ, {L}=CM\cap NP, {X}=MP\cap NQ, {Y}=KP\cap LQ$. Chứng minh rằng:

  • a) $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$
  • b) $XY$ đi qua một điểm cố định.   



#711767 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 29-06-2018 - 20:15 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Bài 5 hơi khó nên mình xin đề xuất một số bài toán mới!

 

Bài 6. (China TST 2008) Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC)$ , đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$ . Trên $AD$  lấy điểm $K$ sao cho $CD=CK$ . Giả sử  $AD$ cắt $(I)$  tại điểm thứ hai là $G$ . Gọi $L$ là giao điểm của $GB$  và $CK$ . Chứng minh rằng $K$  là trung điểm của $CL$.

 

Bài 7. (Trần Minh Ngọc) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ . Gọi $P$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $B$ và $C$  của đường tròn. Trên $AP$ lấy $E, F$ sao cho $BE// AC, CF//AB$. $BE$ cắt $CF$ tại $D$. $CD$, $BD$ tương ứng cắt $(ADE)$, $(ADF)$ tại điểm thứ hai là $M, N$. Chứng minh rằng: $AP$ vuông góc với $MN$.

 

   




#711758 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 29-06-2018 - 16:15 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Bài 3. Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau, bổ đề này rất quen thuộc trong những bài toán về đường đối trung.

 

Bổ đề. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$, $E$ và $F$ lần lượt là các điểm nằm trên $CA, AB$ sao cho $EF//BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABE$ và tam giác $ACF$ cắt nhau tại $G$ khác $A$. Khi đó $G$ nằm trên đường đối trung xuất phát từ đỉnh $A$.

 

Chứng minh

 

Dễ thấy $\bigtriangleup GFB$ đồng dạng với $\bigtriangleup GEC\Leftrightarrow \frac{[GFB]}{[GEC]}=\frac{BF^{2}}{CE^{2}}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}$.

 

Và ta có: $\frac{[GAB]}{[GAC]}=\frac{[GAB]}{[GFB]}.\frac{[GFB]}{[GEC]}.\frac{[GEC]}{[GAC]}=\frac{BA}{BF}.\frac{CE}{CA}.\frac{AB^{2}}{AC^{2}}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}$.

 

Suy ra $G$ thuộc đường đối trung ứng với đỉnh $A$.

 

Quay trở lại bài toán

 

Gọi $T$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $E, F$ với đường tròn $(D)$. Theo bổ đề trên kết hợp tính chất quen của tứ giác điều hòa suy ra $A, G, T$ thẳng hàng. Và cũng dễ thấy $T, L, D$ thẳng hàng vì cùng nằm trên trung trực của $EF$.

 

Gọi $X$ là giao điểm của $TE$ và $BC$ thì ta có: $\widehat{NEC}=\widehat{AFE}=\widehat{ABN}$ suy ra tứ giác $AENB$ nội tiếp.

 

Mà tứ giác $DENL$ cũng nội tiếp suy ra $TL.TD=TN.TE=TG.TA$ suy ra tứ giác $ADLG$ nội tiếp.

 

Vậy ta có điều phải chứng minh.

 

 

Hình gửi kèm

  • 2.png



#711741 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 29-06-2018 - 11:25 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

3 bài toán đầu khá đơn giản và đã có ghi nguồn nên ta sẽ xét mở rộng của nó

Nhưng trc hết mik sẽ giải bài sưu tầm trc ( k vẽ hình ):

Bổ đề : Cho $\triangle{ABC}$. Đcao $BE,CF$, trung tuyến $AM$ trc tâm $H$ . $CMR$  $EF,BC$ và đường thẳng qua $H$ vuông góc $AM$ đồng quy

Trở lại bài toán: $MO,NO$ cắt $AC,AB$ tại $Q,P$ suy ra $O$ trc tâm $\triangle APQ$ suy ra $PQ,BC$ đối song trong góc $\angle{BAC}$.

Gọi $AT$ đối trung tg $BAC$ thì $AT$ là trung tuyến $APQ$. Từ đây áp dung bđề cho $\triangle{APQ}$ ta có đpcm

Khi sử dụng bổ đề để chứng minh bài toán bạn có thể chứng minh lại bổ đề đó cho mọi người, vì đấy là điểm mấu chốt của bài toán! ???  :D  :D 

Hy vọng bạn sẽ tham gia Topic nhiều hơn!




#711740 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 29-06-2018 - 11:23 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Bài 4. 

 

Có thể giải bài toán như sau:

 

Ta tạo dựng mô hình của hàng điểm bằng cách gọi $H$ và $G$ lần lượt là giao điểm của $MN$ với $AO$ và $EF$. Gọi $K$ là tiếp điểm của tiếp

 

tuyến thứ hai từ $D$ đến $(O)$. Ta có tứ giác  $ABKClà tứ giác điều hòa suy ra $A(DKBC)=-1$ . Mà $OM$ vuông góc với $AB$, $ON$ vuông góc

 

với $AC$, $OH$ vuông góc với $AD$ , $OG$ vuông góc với $AK$ nên theo định lý quen thuộc của hàng điểm suy ra $O(MNHG)=-1$ suy ra

 

$(MNHG)=-1$  suy ra $A(MNHG)$=-1 suy ra $A(EFOG)=-1$ suy ra $AO, EN,MF$ đồng quy .

 

Vậy ta có điều phải chứng minh

 

Hình gửi kèm

  • Untitled.png



#711684 Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 27-06-2018 - 19:09 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Lời nói đầu. Hàng năm mỗi Tỉnh, Thành Phố đều có một đề thi chọn ra những học sinh xuất sắc nhất để ôn tập phục vụ cho kì thi VMO. Với mục đích giúp các bạn có thêm tư liệu cũng như để học hỏi kinh nghiệm của bản thân, mình xin lập ra topic này! 

 

Yêu cầu:

 

-Nội dung các bài toán trong topic không giới hạn, miễn là ghi số thứ tự bài toán!

 

- Lời giải của bài toán phải đi kèm với hình vẽ, và yêu cầu gõ latex!

 

- Nhớ ghi nguồn cho bài toán, nếu không rõ nguồn có thể ghi '' Sưu tầm'' và nếu lời giải lấy của một ai đó thì nên tôn trọng người nghĩ ra lời giải đó và ghi tên người giải (tất nhiên có thể có những lời giải, ý tưởng trùng nhau)!

 

-Kiến thức giải toán là không giới hạn, các bạn có thể dùng nhiều phương pháp nhưng mình vẫn mong muốn có một phương pháp thuần túy nhất!

 

Hy vọng mọi người sẽ phục vụ cho topic này phát triển!

 

Còn bây giờ mình xin đề xuất một số bài toán sau!

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ với các đường đối trung $BE, CF$. Gọi $M, N$ là trung điểm của $BE, CF$. Chứng minh rằng $BN, CM$ và trung trực của $BC$ đồng quy. 

(IMO Shortlish 2006)

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $(AB<AC)$, trên cạnh $BC$ lấy điểm $N$ sao cho $BA=BN$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, đường tròn đường kính $AB$ cắt $(ANC)$ tại $P$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $MP$ cắt $PA$ tại $E$ . Đường thẳng qua $P$ song song với $MP$ cắt $PN$ tại $F$. Chứng minh rằng $PC$ đi qua trung điểm của $EF$.

(Trích đề thi HSG TP Hà Nội Vòng 2 năm 2016-2017)

 

Bài 3. Cho tam giác $ABC$. Gọi $E, F$ lần lượt thuộc $CA, AB$ sao cho $EF$ song song với $BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABE, ACF$ cắt nhau tại $G$ khác $A$. Gọi $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Đường tròn qua $E, F$ tiếp xúc với $BC$ tại $L$. Chứng minh rằng bốn điểm $A, L , G, D$ đồng viên.

(Trần Quang Hùng)

Bài 4. Cho đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$, tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn cắt $BC$ tại $D$. Đường thẳng $DO$ cắt $AB, AC$ tại $E, F$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$. Chứng minh rằng $EN, FM, AO$ đồng quy.

(Sưu tầm)   

 

 

 

  




#710698 Đề thi hsg thành phố Hà Nội 2016

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 12-06-2018 - 16:02 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

2 bài đầu chân tay thôi k làm

 

Bài III:

1) $u_{n}=n^{2}$

2) Quy nạp

 

Bài IV:

1) BH cắt AC tại K thì DHKC nội tiếp. Áp dụng Simson đảo cho D trên (CHK) suy ra PD vuông góc AC

2) $R^{2}-IP^{2}=PA.PC = PD^{2}$, suy ra $R^{2}=10$. Đường thẳng qua P vuông góc DP cắt đường tròn tâm I bán kính $\sqrt{10}$ tại 2 điểm A,C từ đó suy ra B

 

Bài VI: 

Từ giả thiết suy ra tồn tại các số x,y,z thực dương sao cho: $a=\frac{x}{y+z},b=\frac{y}{z+x},c=\frac{z}{x+y}$

Ta có: $\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\geq 4(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})$

Kết hợp với Nesbitt suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất là 3 khi 3 biến $x,y,z$ bằng nhau, tức là $a,b,c$ bằng 0.5

Bài IV  câu a) đâu cần simson chỉ cộng góc là đủ




#709353 Cho tam giác ABC. Một đường tròn bất kì qua B,C cắt AC,AB tại E,F...

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 27-05-2018 - 11:25 trong Các bài toán và vấn đề về Hình học

Bài này là một bổ đề rất quen thuộc với tứ giác nội tiếp rồi. Có thể dùng tỷ số kép hoặc cách dựng thêm hình bình hành 

Mình sẽ trình bày cách sử dụng tỷ số kép:

 

Bỏ qua trường hợp đơn giản tam giác $ABC$ cân tại $A$

Gọi $P$ là trung điểm của $AD$. Gọi $K,H$ lần lượt là giao điểm của $AD$ với $EF,BC$

Gọi $G$ là giao điểm của $EF$ và $BC$

Theo đường thẳng $Gauss$ thì $M,N,P$ thẳng hàng

Do đó ta cần chứng minh: $PA^2=PD^2=PN.PM$

Ta có: $(AD,KH)=-1$ nên theo hệ thức $Newton$ thì $PA^2=PK.PH$ do đó chỉ cần chứng minh $PM.PN=PH.PK$ hay $KNMH$ nội tiếp

Lại có: $(GH,BC)=-1$ và $(GK,FE)=-1$ nên theo hệ thức $Maclaurin$ thì

$GH.GM=GB.GC=GF.GE=GK.GN \Rightarrow HKNM$ nội tiếp  

Kết hợp các điều trên ta có điều phải chứng minh.

Bài này là IMO Shortlish 2009




#706909 Cho tam giác ABC có điểm G(1;2) là trọng tâm , đường cao của tam giác đi qua...

Đã gửi bởi Uchiha sisui on 25-04-2018 - 11:52 trong Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài này quen mà bạn! Có thể giải như sau:

 

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$, ta dễ dàng tìm được tọa độ trực tâm của tam giác $ABC$ từ phương trình hai đường cao. Có tọa độ trực tâm, trọng tâm nên ta tìm được tọa độ tâm ngoại tiếp $O$ (đường thẳng Euler). Đến đây ta tham số hóa điểm $A$ theo 1 ẩn ( $t$ chẳng hạn) thì ta sẽ tìm được tọa độ điểm $M$ (theo ẩn $t$) mà có $OM//=\frac{1}{2}AH$ nên ta tìm được tọa độ điểm $A$. Đến đây thì dễ rồi............... :D  :D  :D