Các câu a, b đúng; c, d, e sai.

Chứng minh:

a) Vì T tuyến tính liên tục nên kerT đóng trong topo mạnh. Mà kerT là không gian con của E nên là tập lồi. Vậy kerT cũng đóng trong topo yếu.

b) Xuất phát từ tính chất sau : X phản xạ khi và chỉ khi X' phản xạ.
Vì E'' phản xạ nên E' phản xạ, từ đó E phản xạ.

c) $l^1$ là không gian vô hạn chiều với cơ sở $(f_i)_{i\in\mathbb{N}}$ với $f_i(j)=\delta_{ij}$ (ký hiệu Kronecker). Do đó một tập mở chứa 0 trong topo yếu phải chứa một đường thẳng đi qua 0. Như vậy quả cầu mở trong $l^1$ không mở trong topo yếu.

d) Lấy E là không gian Hilbert khả ly. Khi đó E' = E. Gọi $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ là một cơ sở trực chuẩn đầy đủ của E. Dãy $(e_n)$ hội tụ yếu về 0 nhưng không hội tụ mạnh.

e) Lấy E là không gian như ở câu d. Ta có $e_n\rightharpoonup 0$ nhưng $||e_n||=1$.

Chiều đảo của bài toán không đúng. Chiều thuận có thể tổng quát như thế này:
Cho $\mu$ là một độ đo $\sigma$-hữu hạn trên $\Omega$, và $p\in[1,\infty]$. $A$ là tập con tiền compact của $L^p(\Omega)$. Khi đó với mỗi $\epsilon>0$, tồn tại tập đo được $K_\epsilon $ với độ đo hữu hạn sao cho
$\int_{\Omega\backslash K}|f|^pd\mu<\epsilon ~~\forall f\in A$.
Bài toán của cuonglan là trường hợp đặc biệt với $\Omega=\mathbb{N}$ và $\mu$ là độ đo đếm.

Chứng minh:

Ở đây ta chỉ chứng minh với $p=1$. Trường hợp $p$ bất kỳ là gần như y hệt.
Giả sử ngược lại, rằng tồn tại $\epsilon>0$ sao cho với mọi tập đo được $K$ với độ đo hữu hạn trong $\Omega$, tồn tại $f_K\in A$ sao cho
$\int_{\Omega\backslash K}|f_{K}|d\mu\ge\epsilon $
Vì $\mu$ là độ đo $\sigma$-hữu hạn nên có một dãy tăng các tập đo được $(K_n)$ trong $\Omega$ sao cho $\mu(K_n)<\infty$ và
$\bigcup_{n=1}^{\infty}K_n=\Omega$
Với mỗi $n\in\mathbb{N}$, tồn tại $f_n\in A$ sao cho
$\int_{\Omega\backslash K_n}|f_{n}|d\mu\ge\epsilon $
Vì $A$ tiền compact nên $(f_n)$ có một dãy con hội tụ trong $L^p(\Omega)$. Không mất tính tổng quát ta ký hiệu dãy con này là chính dãy $(f_n)$
$f_n\to f\in L^1(\Omega)$
Ta có
$||f_n-f||=\int_{\Omega}|f_n-f|d\mu\ge\int_{\Omega\backslash K_n}|f_n-f|d\mu\ge\int_{\Omega\backslash K_n}|f_n|d\mu-\int_{\Omega\backslash K_n}|f|d\mu\ge\epsilon -\int_{\Omega\backslash K_n}|f|d\mu$ (*)
Hơn nữa, theo định lý hội tụ bị chặn thì
$\int_{K_n}|f|d\mu\to\int_{\Omega}|f|d\mu$, tức là $\int_{\Omega\backslash K_n}|f|d\mu\to 0$.

Do đó (*) vô lý vì $||f_n-f||\to 0$.

Nếu chuẩn trên H được cảm sinh từ tích vô hướng $<.,.>$ thì
$||x+y||^2=<x+y,x+y>=||x||^2+||y||^2+2Re<x,y>$
$||x-y||^2=<x-y,x-y>=||x||^2+||y||^2-2Re<x,y>$
Do đó
$Re<x,y>=\dfrac{1}{4}\left (||x+y||^2-||x-y||^2\right)$ (1)
và
$Im<x,y>=Re<x,iy>=\dfrac{1}{4}\left (||x+iy||^2-||x-iy||^2\right)$ (2)
Ta sẽ chứng minh rằng ánh xạ $<.,.>:H\times H\to \mathbb{C}$ với $<x,y>=Re<x,y>+iIm<x,y>$, trong đó hàm $Re$ và $Im$ được cho bởi (1) và (2), thực sự là một tích vô hướng trên H.

* Xác định dương:
$Im<x,x>=0$, $Re<x,x>=||x||^2$. Do đó $<x,x>=||x||^2\ge 0$. Đẳng thức chỉ xảy ra khi $x=0$.

* Đối xứng liên hợp:
$Re<x,y>=Re<y,x>$
Dùng tính chất $||tu||=|t|.||u||$ với mọi $t\in \mathbb{C},u\in H$, ta có $Im<y,x>=-Im<x,y>$. Do đó
$<y,x>=\overline{<x,y>}$

* Cộng tính theo biến thứ nhất:
Với $x_1,x_2,y\in H$, ta đặt
$A(x_1,x_2,y)=4[Re<x_1+x_2,y>-Re<x_1,y>-Re<x_2,y>] = A_1(x_1,x_2,y)-A_1(x_1,x_2,-y)$ với
$A_1(x_1,x_2,y)=||x_1+x_2+y||^2+||x_1-y||^2+||x_2-y||^2$.
Nếu $A(x_1,x_2,y)=0$ với mọi $x_1,x_2,y\in H$ thì $Re<x_1+x_2,y>=Re<x_1,y>+Re<x_2,y>$. Thay $y$ bởi $iy$ ta thu được đẳng thức tương tự cho $Im$. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh $A(x_1,x_2,y)=0$. Từ đẳng thức hình bình hành ta có
$||u||^2+||v||^2+||w||^2=||\dfrac{u+v+w}{2}||^2+||\dfrac{u+v-w}{2}||^2+||\dfrac{u-v+w}{2}||^2+||\dfrac{u-v-w}{2}||^2$ (3)
Áp dụng (3) cho $u=x_1+x_2+y$, $v=x_1-y$, $w=x_2-y$ ta được
$A_1(x_1,x_2,y)=A_1(x_1,x_2,\dfrac{y}{2})+||3y/2||^2$ (4)
Thay y bởi -y ở (4), ta được
$A_1(x_1,x_2,-y)=A_1(x_1,x_2,-\dfrac{y}{2})+||-3y/2||^2$ (5)
Từ (4) và (5), ta có
$A(x_1,x_2,y)=A_1(x_1,x_2,y)-A_1(x_1,x_2,-y)=A_1(x_1,x_2,-\dfrac{y}{2})-A_1(x_1,x_2,\dfrac{y}{2})=-A(x_1,x_2,\dfrac{y}{2})$.
Bằng phép quy nạp đơn giản, ta có
$A(x_1,x_2,y)=(-1)^nA(x_1,x_2,\dfrac{y}{2^n})$ với mọi $n\in\mathbb{N}$.
Do $A$ liên tục theo biến $y$ nên
$\lim_{n\to\infty}A(x_1,x_2,\dfrac{y}{2^n})=A(x_1,x_2,0)=0$
Vì vậy $A(x_1,x_2,y)=0$.

* Nhân tính đối với biến thứ nhất:
Từ (1) và (2), ta có
$Re<ix,y>=-Im<x,y>$ và $Im<ix,y>=Re<x,y>$. Do đó, $<ix,y>=i<x,y>$.
Vì $<.,>$ cộng tính theo biến thứ nhất nên ta chỉ cần chứng minh $<cx,y>=c<x,y>$ với mọi $x,y\in H, c\in \mathbb{R}$.
Với mỗi $c\in \mathbb{R}$, ta đặt $ f ( c )=<cx,y>$. Khi đó $f$ là hàm cộng tính và liên tục. Do đó f©=cf(1). Điều này có thể chứng minh bằng cách đầu tiên xét $c\in\mathbb{N}$, sau đó $c\in\mathbb{Z}$, rồi $c\in\mathbb{Q}$, cuối cùng đẩy qua giới hạn để có $c\in\mathbb{R}$.

Ta có thể dùng phần mềm Maple 9.0 để giải quyết bài toán này:

with(numtheory):
> MaxNumberOfDivisors:=proc(n::posint)
> local i,x::posint;
> x:=1;
> for i from 1 to n
> do
> x:=`if`(tau(x)>tau(i),x,i);
> end do;
> print(x);
> end proc;
>MaxNumberOfDivisors(777);

720

Vậy số cần tìm là 720