Đến nội dung

redline nội dung

Có 6 mục bởi redline (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)


Sắp theo                Sắp xếp  

#439612 Nếu A là ma trận vuông cấp n có các phần là 1 hoặc -1 thì $...

Đã gửi bởi redline on 01-08-2013 - 08:15 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Quy nạp theo $n$ rằng khẳng định đó đúng. Nếu $n=1$, hiển nhiên.

 

Nếu $n > 1$. Cộng hàng thứ $2$ vào hàng thứ nhất. Khi đó các phần tử của hàng thứ nhất đều chia hết cho $2$ (vì chúng là $0$ hoặc $2$). Khai triển định thức theo hàng thứ nhất và áp dụng giả thiết quy nạp, ta suy ra  điều phải chứng minh.

 




#306112 Cho A là ma trận vuông cấp n. Cmr $r(A^n) = r(A^{n+1})$

Đã gửi bởi redline on 24-03-2012 - 00:56 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

bài 2 chỉ chứng minh được khi n là số lẻ còn số chẳn k CM được ! :P


Trường hợp $n=2m$ là một số chẵn dương bất kỳ, ta xây dựng ma trận $A$ cấp $n$ sao cho $A^2=O$ và ma trận $A+A^t$ khả nghịch như sau: Gọi $E_m$ là ma trận đơn vị cấp $m$; $O_m$ là ma trận không cấp $m$. Khi đó $A$ xác định từ ma trận khối như sau:
$A= \begin{bmatrix} O_m & O_m \\ E_m & O_m \end{bmatrix}$
thỏa mã yêu cầu trên.



#306107 Cho A là ma trận vuông cấp n. Cmr $r(A^n) = r(A^{n+1})$

Đã gửi bởi redline on 24-03-2012 - 00:00 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

bài 2 chỉ chứng minh được khi n là số lẻ còn số chẳn k CM được ! :P


Nói chung bài 2 sai khi $n$ là số chẵn. Ví dụ khi $n=2$ ta xét hai ma trận thực là

$A= \begin{bmatrix} -1 & 1\\ -1& 1 \end{bmatrix}$ và $B=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 2 & 1\end{bmatrix}$.



#302423 Có tồn tại ma trân thực A vuông cấp hai sao cho $A^{2010}=\begin{bm...

Đã gửi bởi redline on 05-03-2012 - 22:03 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Câu 1: Tồn tại hay không tồn tại một ma trận vuông thực cấp 2 thỏa mãn $A^{2010}=\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& -1-e \end{bmatrix}$
trong đó e là một hằng số dương.

Câu 2: Tồn tại hay không một ma trân thực A vuông cấp hai sao cho $A^{2010}=\begin{bmatrix} -2008 &2010 \\ 0& -2009 \end{bmatrix}$


Câu 1. Gọi đa thức đặc trưng của $A$ là $p(x)$, thì $p(x)$ là đa thức bậc hai. Khi chia $x^{2010}$ cho $p(x)$ được thương $q(x)$ và dư là một đa thức bậc nhiều nhất là 1, ký hiệu đó là $ux+v$ trong đó $u$ và $v$ là các số thực.
$$x^{2010} = p(x)q(x) + (ux+v).$$
Theo Định lý Cayley-Hamilton, ta có $p(A) =0$. Nên $A^{2010} = uA+vE$, trong đó $E$ là ma trận đơn vị cấp $2$. Giả sử
$A = \begin{bmatrix} a &b \\ c& d \end{bmatrix}$.
Từ $uA + vE = \begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& -1-e \end{bmatrix}$
Suy ra: $ua+v = -1, ud+v = -1-e, ub = 0, uc = 0$. Từ hai phương trình đầu suy ra $u \ne 0$, nên từ hai phương trình cuối suy ra $b = c = 0$. Do đó
$A = \begin{bmatrix} a &0 \\ 0& d \end{bmatrix}$.
Nên $A^{2010} = \begin{bmatrix} a^{2010} &0 \\ 0& d^{2010} \end{bmatrix}$.
Suy ra $a^{2010} = -1$ và $b^{2010} = -1-e$, vô lý. Nên ma trận $A$ không tồn tại.

Câu 2. Chứng minh tương tự. Chỉ cần chứng minh rằng: $A = \begin{bmatrix} a &b \\ c& d \end{bmatrix}$, thì $c = 0$. Và do đó suy ra $a^{2010} = -2008$, vô lý, QED.



#302404 $A, B\in M_{n}(\mathbb{R}):Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})...

Đã gửi bởi redline on 05-03-2012 - 21:05 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Cho $A, B\in M_{n}(\mathbb{R}):Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ Chứng minh: $A=B^{T}$


Giả sử $A = (a_{ij})$ và $B=(b_{ij})$. Ta có

$$Tr(AA^T) = \sum_{i=1}^n (AA^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2$$
$$Tr(BB^T) = \sum_{i=1}^n (BB^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}^2$$
$$Tr(AB) = \sum_{i=1}^n (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}$$
$$Tr(A^TB^T) = \sum_{i=1}^n (A^TB^T)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (A^T)_{ij}(B^T)_{ji} =
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}b_{ij} = Tr(BA) = Tr(AB)$$
Nên từ $Tr(AA^{T}+BB^{T})=Tr(AB+A^{T}B^{T})$ suy ra

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij}^2 = 2\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}b_{ij}$$
hay $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ij}-b_{ji})^2 = 0$$
Nên $a_{ij} = b_{ji}$ với mọi i, j. Tức là $A = B^T$, QED.



#302396 Cho $A,B\in M_{n}(\mathbb{R}):AB+A+B=0$ Chứng minh $...

Đã gửi bởi redline on 05-03-2012 - 20:45 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích

Cho $A,B\in M_{n}(\mathbb{R}):AB+A+B=0$ Chứng minh $rankA=rankB$


Vì $AB+A+B=0$, nên $(-A-E)(B+E) = E$ trong đó $E$ là ma trận đơn vị cấp $n$. Suy ra $det(-A-E)det(B+E) = det(E) =1$. Do đó $det(-A-E) \ne 0$, tức là ma trận $-A-E$ khả nghịch. Nên từ $A = (-A-E)B$, suy ra $rank A = rank B$, QED.