Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l} \frac{{6x}}{y} - 2 = 2\sqrt {3x - y}  + 3y\\ 2\sqrt {3x + \sqrt {3x - y} }  = 6x + 3y - 4 \end{array} \right.$

Cho $a$, $b$, $c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

Chứng minh rằng : $27a^2b^2c^2\geq (a+b+c)^3(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$.

4. Chứng minh rằng nếu a không chia hết cho 5 thì $(a^{8}+3a^{4}-4)\vdots 100$

Ta cần chứng minh $a^8+3a^4-4$ chia hết cho $4$ và $25$.

Chứng minh $a^8+3a^4-4 \vdots 4$ :

Nếu $a$ chẵn thì $a^8+3a^4-4$ hiển nhiên chia hết cho $4$.

Nếu $a$ lẻ thì $a^2\equiv 1$ (mod $4$) $\Rightarrow a^8\equiv 1$ (mod $4$) và $3a^4\equiv 3$ (mod $4$)

Do đó $a^8+3a^4-4\vdots 4$ với mọi $a$.

Chứng minh $a^8+3a^4-4\vdots 25$ :

Vì $a$ không chia hết cho $5$ nên ta xét $2$ trường hợp :

Trường hợp $1$ : $a=5k\pm 1$ ($k\in\mathbb{Z}$) $\Rightarrow a^2=25k^2\pm 10k+1\equiv \pm 10k+1$ (mod $25$)

$\Rightarrow a^4\equiv \left ( \pm 10k+1 \right )^2= 100k^2\pm 20k+1\equiv \pm 20k+1$ (mod $25$)

$\Rightarrow a^8\equiv \left ( \pm 20k+1 \right )^2=400k^2\pm 40k+1\equiv \pm 40k+1$ (mod $25$)

Do đó $a^8+3a^4-4\equiv \left ( \pm 15k+1 \right )+3\left ( \pm 20k+1 \right )-4= \pm 75k$ (mod $25$) hay $a^8+3a^4-4\vdots 25$.

Trường hợp $2$ : $a=5k\pm 2$ ($k\in\mathbb{Z}$), chứng minh hoàn toàn tương tự.

Vậy $a^8+3a^4-4\vdots 25$ với mọi $a$ không chia hết cho $5$.

Lại có $(4;25)=1$ nên $a^8+3a^4-4\vdots 100$ với $a$ không chia hết cho $5$.

Câu b) có cách giải kiểu lớp 8 không bạn

từ $N$ vẽ đường thẳng song song với $CD$ cắt $AC$ tại $P$

ta có $\Delta CNP$ vuông cân tại $N$ $\Rightarrow NP=NC=AM$ $\Rightarrow AMPN$ là hình bình hành $\Rightarrow AP$ đi qua trung điểm của $MN$ hay $A$, $I$, $C$ thẳng hàng

2)Cho hình thoi ABCD, $AH\perp CB, AK\perp CD .$ Tính các gọc hình thoi biết :

b) 2HK=BD

dễ thấy $HK\perp AC$ $\Rightarrow HK \parallel BD$ $\Rightarrow \frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CD}=\frac{HK}{BD}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow H$ là trung điểm $BC$ $\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại $A$ $\Rightarrow \Delta ABC$ đều

vậy $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=60^{\circ}$, $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}=120^{\circ}$

1)Cho hình vuông ABCD, M thuộc aB, N thuộc tia đối của tia cb sao cho AM=CN. CM

a) MDN vuông cân

b) I là trung điểm MN chứng minh aIC thẳng hàng.

a) $\Delta ADM = \Delta CDN$ (c-g-c) $\Rightarrow DM = DN$, $\widehat{ADM}=\widehat{CDN}$ $\Rightarrow \widehat{MDN}=\widehat{ADC}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \Delta MDN$ vuông cân

b) $I$ : trung điểm $MN$ $\Rightarrow \widehat{DIN}=90^{\circ}=\widehat{DCN}$ $\Rightarrow DICN$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{DCI}=\widehat{DNI}=45^{\circ}=\widehat{DCA}$ $\Rightarrow A$, $I$, $C$ thẳng hàng