Cho $x,y,z$ là các số thực. Thỏa mãn: $x+y+z=xy+yz+zx$. Tìm GTNN của:

$P=\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{y}{y^{2}+1}+\frac{z}{z^{2}+1}$

Chỉ dự đoán được dấu = khi $(1;-1;-1)$ và các hoán vị...

Bài Hình Đề thi chọn HSG Hải Phòng bảng chuyên.

Cho tam giác nhọn $ABC$, $(AB<AC)$ nội tiếp $(O)$. Hai đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Một điểm $M$ di chuyển trên đoạn thẳng $AB$. Đường thẳng $d$ đi qua $M$ vuông gọc với $AC$ cắt $AO$ tại $I$; $IH$ cắt $CM$ tại $D$; $BD$ cắt $AC$ tại $N$; $AD$ cắt $BC$ tại $P$. Gọi $X$ là trung điểm của $BC$. CHứng minh rằng $MPXN$ nội tiếp.

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $P$ là một điểm nằm trong tam giác và nằm trên phân giác trong của $\angle BAC$. Gọi $E,F$ là điểm chính giữa của cung $AC,AB$. $AE$ giao đường tròn $(APC)$ tại điểm thứ hai là $M$, $AF$ giao đường tròn $(APB)$ tại điểm thứ hai là $N$. Chứng minh rằng: $MN\parallel EF$.

Lỗi

Bài Toán. Cho $\Delta ABC\Delta ABC$, $I$ là tâm nội tiếp. Kẻ $ID\perp BC$. Trên $AD$ lấy $T$ bất kì. Đường tròn $(O_{1})$ tiếp xúc với $BC,BA$ và đi qua $T$. Đường tròn $(O_{2})$ tiếp xúc với $CA,CB$ và đi qua $T$. Hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ cắt nhau tại điểm thứ hai là $K$. CM: $A,T,D,K$ thẳng hàng.

Cho $\Delta ABC$ với đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $AC,AB$ lần lượt tại $E,F$. $BI\cap EF=K$, N là trung điểm của $AC$. Chứng minh: $NK=NE$.

Xem tại đây.

- Bạn có thể trình bày lại không. Mình dốt E.L lắm

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Một đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $E,F$. $BE$ giao $CF$ tại$H$. $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $KEF$. CM: $I,H,O$ thẳng hàng.

$\sum \frac{4ab^3}{a^3+2b^3+c^3}\leq \sum (\frac{ab^3}{a^3+b^3}+\frac{ab^3}{b^3+c^3})\leq \sum (\frac{b^2}{a+b}+\frac{b^2}{c+b})$

tiếp tục phân tích

Lúc đầu mình cũng như bạn. Nhưng sai rồi 

b1 đề sai

Đã fixx.. sorry

Bđt sai với $a=b=c=d=1$

Mình nghĩ bài này phải chứng minh $\leq \frac{1}{2}$

Nhầm đã sửa: $a+b+c=3$

Có vài bài trong sách của anh "Cẩn" nhờ mọi người giúp... (Sử dụng Cauchy-Schwarz)

1. Cho $a,b,c$ là các số thực dương: CM:

                $\frac{ab^{3}}{a^{3}+2b^{3}+c^{3}}+\frac{bc^{3}}{b^{3}+2c^{3}+a^{3}}+\frac{ca^{3}}{c^{3}+2a^{3}+b^{3}}\leq \frac{a+b+c}{4}$

2. Cho $a,b,c,d$ không âm thỏa mãn: $a+b+c+d=3$. CM

                        $\sum \frac{ab}{3b+c+d+3}\leq \frac{1}{3}$

___Trích "Kĩ thuật tách ghép_Trang-71"___

Cho $a,b,c$ là các số không âm. CM:

Bài 24:Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$. Tìm GTNN của 

   $P=\frac{16}{\sqrt{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+1}}+\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z}$

_Đề thi thử Chu Văn An Sơn La_

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$. Tìm GTNN của 

   $P=\frac{16}{\sqrt{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+1}}+\frac{xy+yz+zx+1}{x+y+z}$

 *)Cho tập $A=\left \{ 2,5 \right.\left. \right \}$. Từ các số trong tập $A$ có thể lập được bao nhiêu số có $10$ chữ số sao cho không có hai chữ số 2 nào đứng cạnh nhau?

P/s: Mình làm ra 141, còn cô giáo làm ra 144.

+++ Mọi người cho ý kiến với

Thanks...

Cho em hỏi làm thế nào để xuất bản hình trên Wordpress (bằng phần mềm Geogebra)

Thanks...

 Kỹ thuật đổi biến BĐT Cauchy-Schwarz

Cho $a,b,c,d>0$ thỏa $abcd=1$. CM

 $\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+d)}+\frac{1}{d(1+a)}\geq 2$

 Tiếp xúc với $BC$ chứ nhỉ...

 Cho dãy $(x_{n}$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_{1}\epsilon (0;1) & & \\ x_{n+1}=x_{n}+(\frac{x_{n}}{n})^{2} & & \end{matrix}\right.$

  Dãy $(x_{n}$ có hội tụ không? Vì sao?

 (Trích đề dự thi VMO Đồng Nai 2016)

  Cho $\Delta ABC$, đường tròn $(I)$ nội tiếp, tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Một điểm $M$ tùy ý trên đoạn $BC$ (khác $B,C$). Gọi $I_{1},I_{2}$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABM$, $ACM$. CM:  $\widehat{I_{1}DI2}=90^{\circ}$

  Thanks!........

Mọi người cho em xin đáp án của:

 Xin cảm ơn nhiều ạ.

 a)Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 

    1.  $n^{2}+1$ chia hết cho $n+1$.

    2.  $n^{3}-3$ chia hết cho $n-3$. $(n\neq 3)$

b) Tìm số nguyên dương n lơn nhất sao cho

            $n^{3}+100$ chia hết cho $n+100$.

 Giúp em với ạ.

   _Thank_

Giả sử $x_{1},x_{2},x_{3}...x_{2015}$  là 2015 số thực thuộc đoạn [-1;1]

     mà $\sum_{i=1}^{2015}x_{i}^{3}=0$ . Tìm Max    

                              $\sum_{i=1}^{2015}x_{i}$.

Mọi người giúp với, chưa gặp dạng này bao giờ.

 Thanks.

Cho n số thực $a_{1};a_{2};...;a_{n}$ bất kỳ. Chứng minh tồn tại $x\epsilon \mathbb{R}$ sao cho $a_{1}+x;a_{2}+x;...;a_{n}+x$ đều là số vô tỉ.