Chứng minh với mọi số thực $x;y;z$ thì :

$ \sum x^{6} + x^{2}y^{2}z^{2} \geq \frac{2}{3} \sum x^{5}(y+z)$

Giả sử $x \geq y \geq z > 0$. Chứng minh rằng

$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y} \geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Cho $a;b;c>0$. Chứng minh rằng :

$\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(c+1)}+\sqrt{c(a+1)} \leq \frac{3}{2}\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}$ 

                         Giải hệ phương trình sau

$\left\{\begin{matrix}\sqrt[4]{2x-1}-\sqrt{y}=x-1 \\ x^{3}+y^{3}+7(x+y)xy=8xy\sqrt{2(x^{2}+y^{2})} \end{matrix}\right.$

Bạn có thể tham khảo dạng tổng quát tại đây ( Nó thuộc dạng $1$ )

P/s : Đang gõ mà thấy có người nhanh hơn r

anh ơi nó không thỏa mãn điều kiện để đưa về hệ như dạng $1$ ?

Sử dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có:

$A=\sum a^2. \sum \frac{1}{a^2} \geqslant \frac{1}{16}.(a+b+c+d)^2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \right )^2 =\frac{20^2}{16}=25$

Chỗ này là sao vậy bạn ?

Cho $a,b,c,d >0$ thỏa mãn :$\sum a. \sum \frac{1}{a} = 20$

Tìm giá trị nhỏ nhất của : $A=\sum a^{2} . \sum \frac{1}{a^{2}}$

$x^{2}(y^{2}+1)+2y(x^{2}+x+1)=x^{2}(y+1)^{2}+2y(x+1)=3$
Đặt $x(y+1)=a$ và $y(x+1)=b$ Ta có hệ

$\left\{\begin{matrix}a^{2}+2b=3 \\ ab=1 \end{matrix}\right.$

Đến đây dùng phương pháp thế thôi !! 

Được $a=1....or....a=-2$

nhân liên hợp vế trái có nhân tử chung là $x^2+2$

Có được đâu bạn

Tìm $Min$ $Q=\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+....$

Ta có : Theo bất đẳng thức $AM-GM$

$a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^{2}}=a-b+\frac{4}{(a-b)(b+1)^{2}}+b+1-1\geq 2\sqrt{(a-b)\frac{4}{(a-b)(b+1)^{2}}}+b+1-1=\frac{4}{b+1}+b+1-1\geq 2\sqrt{(b+1)\frac{4}{b+1}}-1=3$