nguồn: lượm trên fb

Bài này là bài mà Thày Lê Bá Khánh Trình được giải thưởng đặc biệt cho lời giải độc đáo.

chắc bạn nhầm rồi lời giải đặc biệt của thầy Trình không phải là bài này.

bài toán này mình lấy ở một đề dự bị Duyên hải của trường CBG. Nhưng mà trong lời giải trình bày quá khó hiểu và cũng không có hình nên không hiểu!

Bạn nào vẽ giúp mình cái hình vào được không?

bài này hình như có trong đề thi hsg của Anh hay Nhật gì í. Tao không nhớ rõ nữa

Lời giải sử dụng phép vị tự như bác Hoang Nhat Tuan đã nói rồi.

nguồn: fb của bạn Nguyen Hoang Tung Lam

Câu 1: là bài 1  trong đề số 2 của đề thi Trường Đông 2015  

http://vndoc.com/dow...en-2015/113583 

Chào mọi người,

Đã gần một tháng sau khi Gặp Gỡ Toán Học 2016 kết thúc với tràn đầy những kỷ niệm đáng nhớ. Gặp Gỡ Toán Học năm nay có nhiều nét mới lạ, và cuốn Kỷ yếu Hậu Gặp Gỡ Toán Học chính là một trong những đổi mới ấy với mong muốn giúp các bạn học sinh có được một tài liệu đầy đủ về những gì đã được học tại Gặp Gỡ Toán Học. Chúng tôi hy vọng rằng đây sẽ là một tài liệu quý dành cho các bạn học sinh, các thầy, cô giáo và cũng như các bạn có một niềm đam mê với Toán học. Đồng thời, chúng tôi cũng luôn chờ đợi những lời góp ý của quý bạn đọc gần xa để cuốn Kỷ yếu được hoàn thiện hơn trong những lần phát hành sau.

----

p.s: mình xin phép được chia sẻ lên đây để mọi người cũng xem.  

Nguồn: fb của bạn Hiếu Digb

Đánh lại vì ảnh nhỏ.
Bài 5. Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, giả sử $O$ không trùng giao điểm $G$ của $AC$ và $BD$ và $O$ không nằm trên đường thẳng $BD$.
Giả sử $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $AD$ cắt $BC$ tại $F$. Đường thẳng $OG$ cắt $EF$ tại $I$.
a. chứng minh $BEIC$ $DFIC$ VÀ $OBID$ nội tiếp đường tròn
b. gọi $M$ $N$ là tâm của đường tròn $(BCE)$ và $(DCF)$. Gọi $P$ $Q$ là giao điểm của $(CMN)$ và $(OBD)$. Chứng minh $OI$ $PQ$ và $MN$ đồng quy và tam giác $EAF$ và $MON$ đồng dạng
Bài 6. cho đa thức $P(x)=x^n-(p-1)x+p$ trong đó $n\geq 2$ và $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu $P(x)$ phân tích thành 2 đa thức với hệ số nguyên khác đa thức hằng số thì $P(x)$ có nghiệm $z$ sao cho $\left | z \right |=1$
Bài 7 Cho $p>5$ là số nguyên tố và $p\neq 107$ ta viết
$\frac{1}{1^{2003}}+\frac{1}{2^{2003}}+...+\frac{1}{(P-1)^{2003}}=\frac{a}{b}$
Trong đó $a$ $b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh $p^2\setminus a$
@Zaraki: Cho phép mình gộp hai bài viết lại để mọi người dễ đọc + thấy được đề trên trang chủ.

nguồn: fb 

Cho a,b,c dương .   ab+bc+ca=1  . Chứng Minh : $(a+b+c)^{3}\geq 4(a+b+c)^{2}$

bạn xem lại đề có đúng không ?? sai thì phải

cho $a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{3};c=1$ thì bđt trên sai rồi ? 

Có link bài tổng quát không bạn

link: có kèm theo lời giải của 1 thành viên trên Aops 

http://diendantoanho...-a-in/?p=646360

Ý của mình là $n=2$ là nghiệm duy nhất. Bạn đọc lại đi, mình giải ra $n$ đấy chứ. 

ok mình sửa lại với $M$ là điểm bất kỳ rồi. Tại tối qua suy nghĩ không kỹ sorry nha 

Xét hệ $\left\{\begin{matrix} \alpha =n\measuredangle A\\ \beta =n\measuredangle C\\ \delta=n\measuredangle B \end{matrix}\right.$

Ta cộng các biểu thức vế theo vế và chú ý $\measuredangle A + \measuredangle B + \measuredangle C = 180^0$ và do $M$ thuộc miền trong tam giác nên 

$\alpha + \beta + \delta = 360^0 \Rightarrow n=2.$

Với $n=2$ thì bạn đã nói ở trên.

nhưng liệu ta có thể tìm được hoặc dựng được với $n=\frac{1}{2}$ không 

$n=2$ thì đơn giản rồi 

Cho tam giác $ABC$ điểm $M$  bất kỳ . Gọi $\left\{\begin{matrix} \alpha=\measuredangle BMC \\ \beta=\measuredangle BMA\\ \delta =\measuredangle AMC \end{matrix}\right.$

Có thể tìm điểm $M$ để thõa mãn $\left\{\begin{matrix} \alpha =n\measuredangle A\\ \beta =n\measuredangle C\\ \delta=n\measuredangle B \end{matrix}\right.$   với $n$ là 1 số không âm  hay không ? 

Cho a,b là hai số thực phân biệt sao cho: $a-b$, $a^2-b^2$, $a^3-b^3$,... đều là số nguyên. Chứng minh rằng $a,b$ cũng là số nguyên dương.

bài toán phụ: cho $a,b$ là 2 số hữu tỉ phân biệt sao cho $a^n-b^n\in Z+$ thì $a,b$ cũng là số nguyên

trở lại bài toán dễ dàng cm được $a,b$ là số hữu tỉ áp dụng bài toán trên --> đpcm

tìm  $n$ thõa $(n+3)^n=\sum_{k=3}^{n+2}k^{n}$  với $k,n$ là số nguyên dương

http://diendantoanho...e-1#entry285095

xem bài  $3a$ 

chứng minh tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình $x^{2}+y^{2}+1=3xy$  là $(x,y)=(F_{2k-1},F_{2k+1})$

với  $F_{n}$ là dãy Fibonacci

Có ai chứng minh hộ định lý Fagnano đk k?

http://www.math.uoc....ms/Fagnano.html

1 cách cm nhưng chắc lên cấp 3 mới hiểu

http://forumgeom.fau...e4/FG200422.pdf

 

 Bài toán 2:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

 

$x+y+z=3.$

 

 Chứng minh rằng:

 

$x+xy+2xyz\leq \frac{9}{2}.$

 

 

 P/S:

 

 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho Bài toán 1 chưa?

 

dự đoán $x=\frac{3}{2};y=1;z=\frac{1}{2}$

ta có $x+xy+2xyz=x+xy(1+2z)\leq x+2x(\frac{b+c+\frac{1}{2}}{2})^{2}=x+2x(\frac{7-2x}{4})^{2}$

cần cm $x+2x(\frac{7-2x}{4})^{2}\le \frac{9}{2}$

<=> $(4-a)(2a-3)^{2}\ge 0$

dấu = $x=\frac{3}{2};y=1;z=\frac{1}{2}$

lo nhất là tiếng Anh thì phải @@ nghe nói dân Toán học văn cũng tốt, chỉ có không chịu học Anh. 

em ngu hết .____________. 

CMR:

$((n+1)(n+2)(n+3)...(3n-1)3n) \vdots 3^{n}$ với $n\geq 1$

đặt $A=\frac{((n+1)(n+2)..3n)}{3^{n}}$

            $=\frac{(1.2.3...n((n+1)(n+2)..3n)}{3^{n}1.2.3...n} =\frac{(3.6.9...3n)(1.2.4.5..(3n-2)(3n-1)}{3^{n}1.2.3...n} =\frac{3^{n}.1.2...n.1.2.4.5..(3n-2)(3n-1)}{3^{n}1.2.3...n} =1.2.4.5..(3n-2)(3n-1)$  

$1.2.4.5..(3n-2)(3n-1)$ là số nguyên

nên $((n+1)(n+2)(n+3)...(3n-1)3n) \vdots 3^{n}$ 

hay quá em đang hóng không biết năm nay tổ chức ở đâu

 

trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai

Ở trên có ghi kìa  

Câu 5 áp dụng bđt $a^2+b^2+c^2\geq 3(ab+bc+ac)$

và ct tính diện tích tam giác nhọn:S=$\frac{1}{2}Sin(\angle A).AB.AC$

                                               tù:$S=\frac{1}{2}sin(180-\angle A).AB.AC$

có vấn đề thì phải 

Bài toán 5:

gọi các cạnh $BC,AC,AB$ lần lượt là $a,b,c$

dễ dàng chứng minh được $\frac{HA}{a}=cotA$ $\frac{HB}{b}=cotB$  $\frac{HC}{c}=cotC$

bài toán quy về $cotA+cotB+cotC\geq \sqrt{3}$

                                                            THTT 03-2016

ĐỀ RA KỲ NÀY

các lớp THCS

Bài T1/465 (lớp 6)

Đặt $S=1.2^0 +2.2^1+3.2^2+...+2016.2^2015$ và quy ước $2^0=1$

so sánh $S$ và $2015.2^{2016}$

Bài T2/465 (lớp 7)

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB<AC$. Trên tia đối $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $BD=AC$, trên tia đối $CA$ lấy điểm $E$ sao cho $CE=AD$. Tia $DC$ cắt $BE$ tại $F$

tính số đo  $\measuredangle CFB$

 Bài T3/465 

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $\frac{a^2+1}{bc} +\frac{b^2+1}{ca}+\frac{c^2+1}{ab}$ là 1 số nguyên dương

chứng minh rằng $(a,b,c)\leq [\sqrt[3]{a+b+c}]$

trong đó $(a,b,c)$ là ước chung lớn nhất của $a,b,c$ và $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt qua $x$ 

Bài T4/465 

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ( $AB<AC$) và $BC=2+2\sqrt{3}$. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ có bán kính bằng $1$.

tính số đo góc $B$ và $C$ 

Bài T5/465 

Giải phương trình 

$\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{2x+1}}+\frac{1}{\sqrt{1-2x}}=\frac{4\sqrt{10}}{5}$

Các lớp THPT 

Bài T6/465 

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} e^x=y+\sqrt{z^2+1}\\ e^y=z+\sqrt{x^2+1}\\ e^z=x+\sqrt{y^2+1} \end{matrix}\right.$

Bài T7/465 

Số nào lớn hơn

$sin(cosx)$ hay $cos(sinx)$?

Bài T8/465

Cho  $A,B,C$  là 3 góc của 1 tam giác

chứng minh rằng $\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}\leq \frac{2}{3}(cot(\frac{A}{2})+cot(\frac{B}{2})+cot(\frac{C}{2}))$

Bài T9/465

Tìm giá trị dương lớn nhất  của số thực $T$ sao cho với mọi $a,b,c$ dương thõa mãn điều kiện $abc=1$ 

thì bđt sau luôn đúng: $\frac{a+b}{b(a+1)}+\frac{a+c}{c(b+a)}+\frac{c+a}{a(c+1)}\geq T$

Tiến tới OLYMPIC TOÁN 

Bài T10/465

Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x^{2}$ chia hết cho $2xy^{2}-y^{3}+1$

 Bài T11/465

Tìm tất cả các hàm đơn điệu $f: \left ( 0;+\infty \right )\rightarrow R$

thỏa điều kiện $f(x+y)=x^{2016}f(\frac{1}{x^{2015}})+y^{2016}f(\frac{1}{y^{2015}})$

với mọi $x,y$ dương

 Bài T12/465

Cho tam $ABC$ cân tại $A$ có $\measuredangle A <90$, đường cao $CD$. Gọi E là trung điểm $BD$, M là trung điểm $CE$, phân giác góc $\measuredangle BCD$ cắt $CE$ tại $P$. Đường tròn tâm $C$ bán kính $CD$ cắt $AC$ tại $Q$. Gọi $K=PQ\cap AM$

chứng minh tam giác $KCD$ vuông 

...

Mình lười ghi tác giả quá sorry 

Nếu có gì thì xin mọi người chỉ bảo ạ  em là ma mới ạ   

 

1-6

chúc mọi người có ngày quốc tế thiếu nhi vui vẻ    

 cám ơn đã đọc        

$$\left\{\begin{matrix} e^x=y+\sqrt{z^2+1}\\ e^y=z+\sqrt{x^2+1}\\ e^z=x+\sqrt{y^2+1} \end{matrix}\right.$$

$x^{2}$

 $\measuredangle A <90$