Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Biết độ dài các cạnh của tam giác là các số nguyên và thỏa mãn: $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}+\frac{1}{AH}=1$. Tính độ dài các cạnh của $\Delta ABC$.

Giúp mình với! Cần gấp nha!

Tính:
$A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+ \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{10}}+...+\frac{1}{\sqrt{2009}+\sqrt{2013}}+\frac{1}{\sqrt{2010}+\sqrt{2014}}$

$B=1.1!+ 2.2!+3.3!+...+n.n!$

$C=1!.3+2!.7+3!.3+...+k(k^{2}+k+1)$

sudoku là cái mô

Giúp mk mới m.n ơi:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+5x+3z+20 = 0\\ y^{2}+4x+5z+13=0\\ z^{2}+6x+y+17=0 \end{matrix}\right.$

      Bài 1: Cho $\Delta ABC$ $(AB<AC)$, lấy điểm $D$ và $E$ tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh $AB$, $AC$ sao cho $BD=CE$. Gọi $K$ là gia điểm của $DE$ và $BC$. Chứng minh rằng: tỉ số $\frac{KE}{KD}$ không phụ thuộc vào cách chọn điểm $E$ và điểm $D$.

      Bài 2: Cho $\Delta ABC$, đường phân giác $AD$, giả sử $AC=b$; $AB=c$; $BD=m$. Kẻ tia $Cx$ sao cho $\widehat{DCx} = \widehat{BAD}$ ( $Cx$ cắt $AD$ tại $I$ ), $Cx$ khác phía với $A$ đối với $BC$. Chứng minh rằng:

          a, $AD,DI = m.n$

          b, $AD^{2}$ $= b.c - m.n$

      Bài 3: Tính chu vi $\Delta ABC$ vuông tại $A$, biết đường cao $AH$ chia $\Delta ABC$ thành 2 tam giác $ABH$ và $AHC$ có chu vi theo thứ tự là: 18 $cm$; 24 $cm$.

      Bài 4: Cho $\Delta ABC$ và hình bình hành $AEDF$ có $E\epsilon AB, D\epsilon BC, F\epsilon AC.$ Tính $S_{\Delta EDF}$, biết $S_{\Delta EBD}$ = 3 $cm^{2}$ và $S_{\Delta FCD}$ = 12 $cm^{2}$.

      Bài 5: Cho $\Delta ABC$, đường trung tuyến $AM$. Gọi $I$ là điểm bất kì trên cạnh $BC$. Đường thẳng qua $I$ song song với $AB$ cắt $AM$, $AC$ theo thứ tự tại $D$ và $E$. Chứng minh rằng: $DE=BK$

 

 

 

Chào mọi người, topic này sẽ là topic đăng kí dự thi VMEO của thành viên hoặc đăng kí ra đề của thành viên.

Mọi người có thể xem thêm về VMEO tại các topic Thể lệ & Cách gửi bài & Cách tính điểm bài dự thi.

 

Diễn đàn toán học chuẩn bị nhân sự để tổ chức VMEO IV. Các bạn bè có thể đăng ký tham gia dự thi theo mẫu sau:

 

Họ tên: 

Nick trong diễn đàn (nếu có):

Năm sinh:

Hòm thư:

Dự thi cấp:

 

Lưu ý 1. Như đã nói trong Thể lệ:

Các bạn học sinh lớp 11,12 chỉ có thể tham gia phần Toán THPT.

Các bạn học sinh lớp 10 trở xuống được phép tham gia cả 2 phần thi: THPT và THCS.

Do đó, bài gửi dự thi của các bạn nếu không đúng cấp dự thi thì sẽ không được chấm.

 

Lưu ý 2. Đăng kí sẽ luôn mở cho đến hết tháng 1-2016. Các bạn nếu có bỏ lỡ kì thi thi tháng trước thì vẫn có thể dự thi tháng sau đó.

 

Mong các bạn đăng kí nhiệt tình!

 

BTC VMEO IV

 

  $\Delta ABC$ vuông tại $A$, $AH$ là đường cao, $E$ và $F$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên cạnh $AB$, $AC$. Chứng minh : $BE^{2} = \frac{BH^{3}}{BC}$

 Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại $C$. $M$ là một điểm trên cạnh $AB$, kẻ $MD\perp AC (D\epsilon AC), ME\perp BC).$ Gọi O là trung điểm của $AB$. Hỏi $\Delta ABC$ là tam giác gì? Vì sao?

           Bài 1: Cho $\Delta ABC$ vuông cân có $\widehat{C}=90^{\circ}$, $M$ là một điểm trên cạnh $AB$, kẻ $MD\perp AC$ $(M\epsilon AC)$, $ME\perp BC (D\epsilon AC)$. Gọi $O$ là trung điểm của $AB$. Hỏi $\Delta ODE$ là tam giác gì? Vì sao?

           Bài 2: Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$. Trên cạnh $AC$ và $AB$, lấy tương ứng hai điểm $D$ và $E$ sao cho $AE=AD$, các đường vuông góc $CE$ kẻ từ A và D lần lượt cắt $BC$ tại $K$ và $L$. Chứng minh rằng: $BK=KL$.

           Bài 3: Cho $\Delta ABC$, vẻ về phía ngoài tam giác các hình vuông $ABDE$ và $ACFG$, Gọi $H,I,K$ thao thứ tự là trung điểm của $EB, CG và BC$. Chứng minh rằng: $\Delta IHK$ vuông cân.

Tam giác ABC thì hiển nhiên $AB>BC$, với D là gì ạ

Xin lỗi nha! Có chút nhầm lẫn! 

       Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ $(AB>AC)$. Tia phân giác của $\widehat{B}$ cắt $AC$. Kẻ $DH\perp BC \left ( H\epsilon BC \right )$. Trên tia $AC$, lấy điểm $E$ sao cho $AE=AB$. Đường thẳng vuông góc với $AE$ tại $E$ cắt tia $DH$ tại $K$.

         a, Chứng minh rằng: $BA=BH$

         b, Chứng minh rằng: $\widehat{DBK}= 45^{\circ}$

(Giải bài bằng cách sử dụng các định lí trong tam giác)

BÀI 1: Tìm số tự nhiên có $4$ chữ số chia hết cho $5$ và chia hết cho $27$. Biết rằng $2$ chữ số giữa của số đó là $97$.

BÀI 2: Hai số tự nhiên $a$ và $2a$ đều có tổng các chữ số bằng $k$. Chứng minh rằng: $a$ chia hết cho $9$.

BÀI 3: Chứng minh rằng: số gồm $27$ số $1$ thì chia hết cho $27$.

BÀI 4: Cho chữ số tự nhiên $\overline{ab}$ bằng $3$ lần tích các chữ số của nó.:

    a, Chứng minh rằng: $b$ chia hết cho $a$

    b, Giả sử $b=ak$ $\left ( k \epsilon n \right )$, chứng minh rằng : $k$ là ước của $10$.

    c, Tìm các số $\overline{ab}$ nói trên.

       PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

1. $x^{2}-x-6$
2. $x^{4}-4x-6$
3. $\left ( x^{2}-3 \right )^{2}+16$
4. $\left ( 2x-4 \right )^{2}+9$
5. $x^{2}+2xy+y^{2}-x-y-12$
6. $\left ( x+a \right )\left ( x+2a \right )\left ( x+3a \right )\left ( x+4a\right )+a^{4}$
7. $x^{5}-x^{4}-1$
8. $x^{7}+x^{5}+1$
9. $\left ( a+b+c \right )^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}$
10. $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
11. $x^{3}-3xy+y^{3}-1$
12. $x^{4}-8x+64$

BÀI 1: Cho $\Delta ABC$, $\hat{A}= 90^{\circ}$. Kẻ $AH\perp BC \left ( H\epsilon BC \right )$. Các tia phân giác của $\widehat{BAH}$ và $\widehat{C}$ cắt nhau tại $K$.

          a, Chứng minh: $AK\perp CK$

          b, Chứng minh: $AK= KH$

BÀI 2: Cho  $\Delta ABC$, $\widehat{B}< 90^{\circ}$. Trên nửa mặt phẳng có chứa điểm $A$ bờ $BC$, vẽ tia $Bx\perp BC$, trên tia đó lấy điểm $D$ sao cho $BD=BC$. Trên nửa mặt phẳng có chứa điểm $C$, vẽ tia $By\perp BA$, trên tia đó lấy điểm $E$ sao cho $BE=BA$. Chứng minh rằng: $DA=DE$ và $DA\perp EC$.

BÀI 3: Cho $\Delta ABC$ có  $\hat{A}= 60^{\circ}$. Kẻ hai đường phân giác $BM$ và $CN$ $\left ( M\epsilon AC,N\epsilon AB \right )$. Chứng minh rằng : $BN+CM=BC$.

BÀI 4: Cho  $\Delta ABC$ có $\hat{A}= 120^{\circ}$. Trên tia phân giác của $\widehat{A}$ lấy điểm $E$ sao cho $AE=AB+AC$. Chứng minh rằng: $\Delta BCE$ là tam giác đều.

BÀI 5: Ở miền trong góc nhọn $\widehat{xOy}$ , vẻ tia $Oz$ sao cho $\widehat{xOz}= \frac{1}{2}\widehat{yOz}$. Qua $A\epsilon Oy$, vẽ $AH\perp Ox \left ( H\epsilon Ox \right )$ cắt tia $Oz$ tại $B$. Trên tia $Bz$ lấy điểm $D$ sao cho $BD=OA$. Chứng minh rằng: $\Delta AOD$ cân.

BÀI 6: Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ $(AB>BC)$. Tia phân giác của $\widehat{B}$ cắt $AC$. Kẻ $DH\perp BC \left ( H\epsilon BC \right )$. Trên tia $AC$, lấy điểm $E$ sao cho $AE=AB$. Đường thẳng vuông góc với $AE$ tại $E$ cắt tia $DH$ tại $K$.

         a, Chứng minh rằng: $BA=BH$

         b, Chứng minh rằng: $\widehat{DBK}= 45^{\circ}$

BÀI 7: Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ $(AB<BC)$ và các điểm $M\epsilon AC, H\epsilon BC$ sao cho $MH\perp BC$ và $MH=HB$. Chứng minh rằng: $AH$ là tia phân giác của $\widehat{A}$.

Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử

Ta có: $A=$$x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-2x+1$

       $= x^{2}\left ( x^{2}-2x+3-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}} \right )$

       $= x^{2}\left [ \left ( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \right )-2\left ( x+\frac{1}{x} \right )+3 \right ]$

Đặt:    $y= x+\frac{1}{x}\Rightarrow y^{2}= x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}= y^{2}-2$

Khi đó: $A= x^{2}\left ( y^{2}-2y+1 \right )$

              $= x^{2}\left ( y-1 \right )^{2}$

              $= \left ( xy-x \right )^{2}$

Do đó:  $A= \left [ x\left (\frac{1}{x}+x \right )-x \right ]^{2}$

             $= \left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}$