Cho tứ diện đều ABCD với AB=1. Gọi M là trung điểm của BC. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi tứ diện ABCD xoay quanh trục AM.

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn : $5(a^2 + b^2 + c^2) = 9(ab + 2bc + ca)$

Tìm MAX:

$$ M = \frac{a}{b^2 + c^2} - \frac{1}{(a+b+c)^3}$$

Giải BPT:

$$\sqrt{6-x}+\sqrt{2x+6}+\sqrt{6x-5} \geq x^2 +2x -5$$

Cho các số $ a, b, c \in R $ thỏa mãn $a, b, c \in [\dfrac{1}{2};1] $

Tìm GTLN của:

$P=\left | \dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b} \right |$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $21ab + 2bc + 8ca \leq 12$

Tìm Min :

$P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}$

Cho $ x, y, z \in [1;3] $ .

Tìm MAX của biểu thức:

$$P=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{y}$$

Cho a, b, c dương thỏa mãn ab+bc+ca=1. Chứng minh:

$\sum \dfrac{a}{b^2+c^2+2} \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{8}$

Cho dãy số $(x_{n})$ thỏa mãn:

$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\dfrac{8}{10}, x_{2}=\dfrac{9}{10} \\ x_{n+2}=\sqrt{x_{n+1}}+\sqrt[3]{x_{n}} \end{matrix}\right.$$

Một số nguyên dương n được gọi là số đẹp nếu tồn tại các số nguyên dương a, b, c, d sao cho:

$n=\dfrac{2015a^4+b^4}{2015c^4+d^4}$

a/ Chứng minh có vô số số đẹp?

b/ Số 2014 có phải là số đẹp hay ko?

Giải phương trình:

$\sqrt{1-x}=2x^2-1+2x\sqrt{1-x^2}$

Giải phương trình:

$4x^3+4x^2-5x+9=4.\sqrt[4]{16x+8}$

Giải phương trình:

$5(1+\sqrt{1+x^3})=x^2(4x^2-25x+18)$

 

Biến đổi điều kiện $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=1+\frac{a+b}{c}+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geqslant 1+2\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2}\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqslant 7$

$P=3+\frac{c^{5}}{a^{5}+b^{5}}+\frac{a^{5}+b^{5}}{c^{5}}+\frac{a^{5}}{b^{5}}+\frac{b^{5}}{a^{5}}\geqslant \frac{a^{5}}{b^{5}}+\frac{b^{5}}{a^{5}}+2\sqrt{\frac{a^{5}}{b^{5}}+\frac{b^{5}}{a^{5}}+2}$

Ta có thể biến đổi $\frac{a^{5}}{b^{5}}+\frac{b^{5}}{a^{5}}$ theo $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Và dồn về $f(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$ với $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqslant 7$

p/s:bài này có điểm cực trị rất lạ,khi đánh giá ta nên tạm bỏ qua bước dự đoán điểm rơi

 

Thanks so much bro!

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}=\dfrac{4}{a+b-c}$

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=(a^5+b^5+c^5)(\dfrac{1}{a^5}+\dfrac{1}{b^5}+\dfrac{1}{c^5})$

Ta cần chứng minh: $2(a^2+b^2+c^2)+2abc+10\geqslant 6(a+b+c)$

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong ba số $a-1, b-1, c-1$ phải có hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát, giả sử $(b-1)(c-1)\ge 0$

Khi đó $(a-1)^2+(b-c)^2+2a(b-1)(c-1)\ge 0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2(ab+bc+ca)$

Do đó $VT\geqslant a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)+9=(a+b+c)^2+9\geqslant 2.\sqrt{(a+b+c)^2.9}=6(a+b+c)$

Ta có điều phải chứng minh.

THanks nhiều nha

Dễ thấy BĐT sai ngay với $a=b=c=1$ 

sorry bạn mình up nhầm thiếu +5. giờ thì đề đúng r giúp mk vs

Cho các số thực x, y thỏa mãn: $x^2 + y^2 =1$

Tìm giá trụ lớn nhất của biếu thức:
$P= \sqrt{(5x+4y-4x^2)(1-y)}.(\sqrt{2-2y}+\sqrt{2-x\sqrt{3}+y}+\sqrt{x+x\sqrt{3}+y})$

Cho các số thực x, y thỏa mãn: $x^2 + y^2 =1$

Tìm giá trụ lớn nhất của biếu thức:
$P= \sqrt{(5x+4y-4x^2)(1-y)}.(\sqrt{2-2y}+\sqrt{2-x\sqrt{3}+y}+\sqrt{x+x\sqrt{3}+y})$

Cho a,b,c là các số không âm, Chứng minh rằng:

$abc + a^2 + b^2 + c^2+5 \geq 3(a+b+c)$

Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1, chứng minh rằng:

$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\geq (\frac{10}{3})^3$

Ta có:

$$VT=(a+\dfrac{1}{b})(b+\dfrac{1}{c})(c+\dfrac{1}{a})$$

$$=\prod(a+\frac{1}{9b}+\frac{8(a+b+c)}{9b})$$

$$\geq \prod(\frac{2}{3}*\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{8}{9}+\frac{16\sqrt{ac}}{b})\geq(\frac{2}{3}+\frac{8}{9}+\frac{16}{9})^3$$

$$=(\dfrac{10}{3})^3$$  (BDT Holder với 3 bộ số )

Giải phương trình:

$$\log_{7}x = \log_{3}(\sqrt{x}+2)$$

Giải hệ phương trình sau:

$\begin{matrix}e^(y^2-x^2)=\dfrac{x^2+1}{y^2+1} \\ 3\log_{3}(x^2+2y+6) = 2\log_{2}(x+y+2) +1\end{matrix}$

Cho $xy+yz+zx+xyz=20$ và x,y,z>1. Tìm Min:

$P=\dfrac{3}{(x-1)(y-1)(z-1)}+\dfrac{36}{x+y+z}$

Cho x,y,z >0 và $2x+8y+21z \leq 12xyz$. 

MIN : $P = x+2y+3z$

Cho x,y,z >0 và $\sum x^2 = 2x$.

Max: $P = \frac{x+z}{x+2y+1}+\frac{z}{y+1}-\frac{4x^2}{(x+y)^2}$