Tìm min của $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

Biết $a+b+c=3$

$pt\Leftrightarrow 2\sqrt{2}+\sqrt{x^{2}+x}=\sqrt{x^{2}+10x+9}$

$\Leftrightarrow 8+x^{2}+x+4\sqrt{2x(x+1)}=x^{2}+10x+9$

$\Leftrightarrow 9x+1-4\sqrt{2x(x+1)}=0$

$\Leftrightarrow (x+1)+8x-4\sqrt{2x(x+1)}$

Đặt $a=\sqrt{2x} ; b=\sqrt{x+1}$

$pt\Leftrightarrow b^{2}+4a^{2}-4ab=0$

$\Leftrightarrow (2a-b)^{2}=0$

$\Leftrightarrow 2a=b$

$\Rightarrow 2\sqrt{2x}=\sqrt{x+1}$

$x=\frac{1}{7}$

$(pt)\Leftrightarrow x^{4}+12x^{2}-4+6x\sqrt{x^{4}+3x^{2}-4}=3x^{4}+16$

$\Leftrightarrow (x^{4}+4x^{2})-10(x^{2}-1)-3\sqrt{(x^{2}-1)(x^{4}+4x^{2})}$

Đặt $a=\sqrt{x^{4}+4x^{2}}; b=\sqrt{x^{2}-1}$

$(pt) \Leftrightarrow a^{2}-10b^{2}-3ab$

$\Leftrightarrow (a+2b)(a-5b)=0$

$\Rightarrow a=5b$

$\Rightarrow \sqrt{x^{4}+4x^{2}}=5\sqrt{x^{2}-1}$

$\Leftrightarrow x^{4}-21x^{2}+25=0$

$pt (1) \Leftrightarrow (x-y)(x+y+1)=0$

$\Rightarrow x=y hoặc x+y+1=0$

thay vào pt (2) ta được nghiệm

Giải pt vô tỉ: 

 

 

1  , attachment=29898:yyy.gif]

$\Leftrightarrow x^{2}-9x+24=6x^{2}-59x+149+25+x^{2}-10x+2(5-x)\sqrt[2]{6x^{2}-59x+149}$

$\Leftrightarrow 6(5-x)^{2}+2(5-x)\sqrt{6x^{2}-59x+149}=0$

$\Leftrightarrow 2(5-x)[3(5-x)+\sqrt{6x^{2}-59x+149}]=0$

Đến đây tự giải tiếp đi

$pt\Leftrightarrow 2(2x^{2}+5x+3)+3=5\sqrt{2x^{2}+5x+3}$

Đặt$t=\sqrt{2x^{2}+5x+3}$ Với ( $t\geq 0$ )

$pt \Leftrightarrow 2t^{2}-5t+3=0$

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}2x^{2}+2x+y^{2}+y=6 \\xy(xy+x+y+1)=4 \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=\frac{3}{2}.$ CMR

$\frac{a+b+c}{2}+2(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a})\geq \frac{9}{2}$

Có điều kiện của z ko bạn?

Ta có: S= $\frac{a}{b^{3}+ab}+\frac{b}{c^{3}+bc}+\frac{c}{a^{3}+ac}=\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^{2}}+\frac{1}{c}-\frac{c}{b+c^{2}}+\frac{1}{a}-\frac{a}{c+a^{2}}$

$\Rightarrow S\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-(\frac{b}{2\sqrt{ab^{2}}}+\frac{c}{2\sqrt{bc^{2}}}+\frac{a}{2\sqrt{ca^{2}}})$

$=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})$

Lại có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3=(\frac{1}{a}+1)+(\frac{1}{b}+1)+(\frac{1}{c}+1)\geq 2(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})$

$\Rightarrow S\geq 2(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})-3-\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})=\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})-3$

$\geq \frac{3}{2}\frac{3}{\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}}-3=\frac{3}{2}$

Ta có :$\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}>a\Leftrightarrow 2ab-2b^2+2\sqrt{(a^2-b^2)(2ab-b^2)}>0$ (với $a>b>0$ )

$2ab-2b^2=2b(a-b)>0$

$2\sqrt{(a^2-b^2)b(2a-b)}>0$

cộng vế với vế ta có điều fai chứng minh

Ta có $0\leq x\leq 4 \Rightarrow 0\leq -(x-2)^{2}+4\leq 4$

       $0\leq y\leq \frac{1}{3}\Rightarrow -3(y-\frac{1}{6})^{2}+\frac{1}{12}\leq \frac{1}{12}$

Nhân vào ta được $P\leq \frac{1}{3}$

Nói thẳng ra là bạnCM sai làm j có tính chất trừ vế với vế của BĐT cùng chiều
Vd 6>4;5>1 thì 6-5>4-1 sai!?

À mình nhầm thay B+C=3 vào BĐT luôn chứ ko có trừ.Ta có $2A+B+C\geq 2A+3 \geq 6$$\Rightarrow 2A\geq 6-3=3$

bn nhầm sang cm BĐT Nesbitt 3 biến rồi !

Nhầm chỗ nào? Đó là cách Cm của mình đó.Bạn chứng minh làm sao để mình học tập vs.

sao A+C$\geq$3 được ?

$A+C=\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{c+b}{c+a}\geq 3 (Cauchy)$

1. Chứng minh bất đẳng thức:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ với $a\geq b\geq c> 0$

2. Cho 3y-x=6. Tính giá trị của biểu thức: M= $\frac{x}{y-2}+\frac{2x-3y}{x-6}$ với $x\neq 6; y\neq 2$

2/$M=\frac{x}{y-2}+2+\frac{12-3y}{x-6}$

Ta có  $3y-x=6\Rightarrow y-2=\frac{x}{3}$ và $x-6=3y-12$

Thay vào M ta được: $M=3+2-1=4$

Ta có $A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

$B=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

$C=\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}$

$\Rightarrow A+C=\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}\geq 3$

$A+B=3$$\Rightarrow 2A+B+C\geq 6$ Mà $B+C=\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}\geq 3$

Trừ vế với vế ta được: $2A\geq 3\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$

Ta có $A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

$B=\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

$C=\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}$

$\Rightarrow A+C=\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}\geq 3$

$A+B=3$$\Rightarrow 2A+B+C\geq 6$ Mà $B+C=\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}\geq 3$

Trừ vế với vế ta được: $2A\geq 3\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$

Cho các số x,y,z thỏa mãn xyz$\neq 0$ và $\frac{x}{y+z}=\frac{y}{z+x}=\frac{z}{x+y}$

Tính giá trị của biểu thức T=$\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z}{x+y}+\frac$\frac{x}{y+z}=\frac{y}{z+x}=\frac{z}{x+y}=\frac{x+y+z}{2\left ( x+y+z \right )}=\frac{1}{2}${x}{y+z}$

Ta có $\frac{x}{y+z}=\frac{y}{z+x}=\frac{z}{x+y}=\frac{x+y+z}{2\left ( x+y+z \right )}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{x+y}{z}=2;\frac{y+z}{x}=2$

$\Rightarrow T=2+2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=5$

a=b=0.5

sai rồi kìa thánh thay vào có = đâu

Thế này hả bạn

$A\geq \frac{ [3(a^{2}+b^{2})]^{2}}{a+b+2}= \frac{9(a^2+b^2)^2}{3}=3(a^2+b^2)^{2}\geq 3.\frac{1}{4}$

dấu "=" xảy ra khi nao