Đến nội dung

tungthdctrmath nội dung

Có 3 mục bởi tungthdctrmath (Tìm giới hạn từ 17-04-2020)


Theo nội dung

Xem thành viên

Sắp theo                Sắp xếp  

#679214 MOCK TEST FOR BMO 2017

Đã gửi bởi tungthdctrmath on 02-05-2017 - 09:26 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

Cách làm của bạn gần giống với cách làm của mình, nhưng cách của mình thì dài dòng hơn. Lúc đầu cứ tưởng là dùng số chính phương mod p ai ngờ là nó mũ 3...

- Mình lâu rồi chưa đụng tới số chính phương mod p nên cũng chưa suy nghĩ tới :v. Mà có thể cho mình tham khảo cách làm của bạn được không, tại mình thấy nếu thay $2^{2^k}$ thành $3^{2^k}$ thì cách làm cũng y chang, mà mình thì chưa hiểu sao dài hơn chút thôi :v.



#679191 MOCK TEST FOR BMO 2017

Đã gửi bởi tungthdctrmath on 01-05-2017 - 23:05 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

Bài 1:
- Ta biến đổi như sau:
$$n! \vdots n^3-1 \Leftrightarrow n.(n-2)! \vdots (n^2+n+1).$$
- Khi đó do $ƯCLN(n,n^2+n+1)=1$ nên bài toán tương đương chứng minh có vô hạn $n \in \mathbb{N^*}$ sao cho:
$$(n-2)! \vdots (n^2+n+1)$$
- Xét $n=2^{2^k}, \forall k \geq 3$, ta nhận thấy rằng:
$$n^2+n+1= 2^{2^{k+1}}+2^{2^k}+1=(2^{2^k}-2^{2^{k-1}}+1).(2^{2^k}+2^{2^{k-1}}+1)=$$$$(2^{2^k}-2^{2^{k-1}}+1).(2^{2^{k-1}}-2^{2^{k-2}}+1)\dots(2^2-2+1).(2^2+2+1).$$
Mà $(n-2)!= (2^{2^k}-2)!$ và do $2^{2^j}-2^{2^{j-1}}+1>2^{2^{j-1}}-2^{2^{j-2}}+1, \forall j \geq 3$, $2^{2^2}-2^2+1 > 2^2+2+1>2^2-2+1$, nên ta chỉ cần chứng minh với $k \geq 3$ thì bắt đẳng thức sau luôn đúng:
$$2^{2^k}-2^{2^{k-1}}+1 \leq n-2=2^{2^k}-2 \Leftrightarrow 2^{2^{k-1}} \geq 3$$
Dễ thấy với $k \geq 3$ thì luôn đúng, từ đó ta suy ra đpcm.
- P.S.: Hướng của mình chủ yếu dựa vào đẳng thức $a^4+a^2+1=(a^2+a+1)(a^2-a+1)$ mà làm quen nhiều bài nên nhớ tới $a=2^{2^k}$ để tách nhân tử được nhiều lần.


#588931 Đăng ký tham gia dự thi VMEO IV

Đã gửi bởi tungthdctrmath on 14-09-2015 - 19:21 trong Thông báo chung

Họ Và Tên : Nguyễn Duy Tùng

Nick Trong DIễn Đàn: tungthdctrmath 

Năm Sinh: 1998

Hòm Thư: [email protected]

Dự Thi Cấp: THPT


  1. Diễn đàn Toán học
  2. → tungthdctrmath nội dung