Đến nội dung

QDV nội dung

Có 130 mục bởi QDV (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)



Sắp theo                Sắp xếp  

#601544 $x^{3}-3y^{3}-9z^{3}=0, x\in Z$

Đã gửi bởi QDV on 04-12-2015 - 10:12 trong Số học

$x^{3}-3y^{3}-9z^{3}=0, x\in Z$

Giả sử d=(x,y,z). Đặt $x = dx_{1},y=dy_{1},z=zd_{1}$ . Với $(x_{1},y_{1},z_{1})=1$

$PT\Leftrightarrow x_{1}^{3}-3y_{1}^{3}-9z_{1}^{3}=0\Rightarrow x_{1}=3x_{2}.PT\Leftrightarrow 9x_{2}^{3}-y_{1}^{3}-3z_{1}^{3}=0\Rightarrow y_{1}=3y_{2}$

$PT\Leftrightarrow 3x_{2}^{3}-9y_{2}^{3}-z_{1}^{3}=0\Rightarrow z_{1}=3z_{2}$. Vô lý vì $(x_{1},y_{1},z_{1})=1$

Vậy PT có nghiệm x=y=z=0




#601543 $5^{x}+12^{x}=13^{x}, x\in Z$

Đã gửi bởi QDV on 04-12-2015 - 09:59 trong Số học

$5^{x}+12^{x}=13^{x}, x\in Z$

Dễ thấy PT có nghiệm x=2

PT biến đổi thành

$f_{(x)}=(\frac{5}{13})^{x}+(\frac{12}{13})^{x}-1=0$

Hàm nghịch biến nên chỉ có nhiều nhất một nghiệm

Vậy nghiệm của PT là x=2

Nếu chưa biết hàm đơn điệu và số nghiệm có thể so sánh trực tiếp $(\frac{2}{13})^{x} và (\frac{12}{13})^{x} với (\frac{2}{13})^{2} và (\frac{12}{13})^{2}$




#601393 không ai làm được à

Đã gửi bởi QDV on 03-12-2015 - 15:10 trong Hình học

cho tam giác ABC đường cao AH. M nằm giữa B và C. kẻ MN vuông góc AB. MP vuông góc AC. tính số đo góc NHP

Dễ thấy  H,N,P nhìn AM dưới góc vuông do đó A,N,H,M,P nằm trên một đường tròn. Vậy $\widehat{nmp}=180^{0}-\widehat{A}$




#598797 $\sqrt{2x^2+x+9}+\sqrt{2x^2-x+1}=x+4$

Đã gửi bởi QDV on 17-11-2015 - 19:05 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

 

Mình đã thử dùng nhân liên hợp

Pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2}{\sqrt{2x^2+x+9}-\sqrt{2x^2-x+1}}=1 \\ x\neq 4 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 7\sqrt{2x^2+x+9}-25=7\sqrt{2x^2-x+1}-11 \\ x\neq 4 \end{matrix}\right.$
Nhân liên hợp lần 2
Pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{8}{7} \vee \frac{14x+23}{25+7\sqrt{2x^2+x+9}}=\frac{14x+9}{11+7\sqrt{2x^2-x+1}} \\ x\neq 4 \end{matrix}\right.$
Đến đây thì mình hết biết làm

 

Đặt $u=\sqrt{2x^{2}+x+9}, v=\sqrt{2x^{2}-x+1}$ u,v>0

$PT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u+v=x+4\\ u+v=\frac{u^{2}-v^{2}}{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u+v=x+4\\ u-v=2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 2v=x-2 \Leftrightarrow x=0\cup x=\frac{8}{7}$




#598781 $x\left( x+y+z \right)=3yz$

Đã gửi bởi QDV on 17-11-2015 - 16:07 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho $x,y,z>0$ thoả: $x\left( x+y+z \right)=3yz$. Chứng minh:

${{\left( x+y \right)}^{3}}+{{\left( x+z \right)}^{3}}+3\left( x+y \right)\left( x+z \right)\left( z+x \right)\le 5{{\left( y+z \right)}^{3}}$ (1)

 

Và sau đây là bài giải còn dang dở của mình:

Từ điều kiện ta có:

$\begin{align}& x\left( x+y+z \right)=3yz \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+xy+yz+zx=4yz \\ & \Leftrightarrow x\left( x+y \right)+z\left( x+y \right)=4yz \\ & \Leftrightarrow \left( x+z \right)\left( x+y \right)=4yz \\ \end{align}$

Ta có:

 (1)$\begin{align}& \Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{3}}+{{\left( x+z \right)}^{3}}+12yz\left( y+z \right)\le5{{\left( y+z \right)}^{3}} \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}+3xy\left( x+y \right)+3xz\left( x+z \right)+12yz\left( y+z \right)\le 5{{y}^{3}}+5{{z}^{3}}+12yz\left( y+z \right) \\ &\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{3}}+{{\left( x+z \right)}^{3}}-{{\left( y+z \right)}^{3}}-4{{y}^{3}}-4{{z}^{3}}\le 0 \\ \end{align}$

Đến đây mình không tìm ra được hướng nữa, bạn nào trên nền tảng của bài mình giúp mình giải tiếp đi, cảm ơn nhiều.

Từ ĐK dễ dàng CM $x\leq \frac{y+z}{2}$

Ta lại có

$(x+y)^{3}+(x+z)^{3}=(2x+y+z)[(x+y)^{2}-(x+y)(x+z)+(x+z)^{2}])\leq 2(y+z)[2x(x+y+z)+y^{2}+z^{2}-x(x+y+z)-yz]\leq 2(y+z)(y+z)^{2}\leq 2(y+z)^{3},"="\Leftrightarrow x=\frac{y+z}{2}$

Laị có

$12yz(y+z)\leq 3(y+z)^{3},"="\Leftrightarrow y=z$

Vậy BĐT được CM . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z




#598777 $y=\frac{x+2}{x+1}$

Đã gửi bởi QDV on 17-11-2015 - 15:34 trong Hàm số - Đạo hàm

Cho hàm số: $y=\frac{x+2}{x+1}$ . Tìm m để đường thẳng $\left( d \right)$: $y=x+m$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm A, B  phân biệt có AB=$\sqrt{26}$ 

Tọa độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của hệ

$\left\{\begin{matrix} y=\frac{x+2}{x+1}\\ y=x+m \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+mx+(m-2)=0(1)\\ y=x+m (2) \end{matrix}\right.$

Dễ thấy (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt nên (C) và d luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

Gọi $A(x_{1};y_{1}),B(x_{2};y_{2})$ là tọa độ 2 giao điểm của (C) và d

$AB^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=2(x_{2}-x_{1})^{2}=26\Leftrightarrow S^{2}-4P=13$

$\Leftrightarrow m^{2}-4m-5=0\Leftrightarrow m=-1\cup m=5$




#598775 ${{3}^{2x+1}}-{{2}^{2x...

Đã gửi bởi QDV on 17-11-2015 - 15:15 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Giải bất phương trình:${{3}^{2x+1}}-{{2}^{2x+1}}-{{5.6}^{x}}\le 0$ 

BPT $\Leftrightarrow 3.3^{2x}-2.2^{2x}-5.6^{x}\leq 0\Leftrightarrow 3.(\frac{3}{2})^{x}-2.(\frac{2}{3})^{x}-5\leq 0..Đặt t=(\frac{3}{2})^{x} t> 0$

BPT $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3t^{2}-5t-2\leq 0\\ t> 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 0< t\leq 2 \Leftrightarrow x\leq log_{\frac{3}{2}}^{2}$




#598773 Lấy bi.

Đã gửi bởi QDV on 17-11-2015 - 15:00 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

Trong một hôp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Tính xác suất lấy ra 3 viên bi có ít nhất là 2 viên bi đỏ.

Sự kiện này tương đương với lấy ra 3 viên đều đỏ hoặc lấy ra 3 viên có 2 viên đỏ và 1 viên xanh.

Xác suất sẽ bằng

$\frac{C_{7}^{3}+C_{7}^{2}C_{5}^{1}}{C_{12}^{3}}$




#598772 $\int\limits_{1}^{e}{{{...

Đã gửi bởi QDV on 17-11-2015 - 14:46 trong Tích phân - Nguyên hàm

Tính tích phân:

$\int\limits_{1}^{e}{{{\ln }^{2}}xdx}$ 

Tích phân từng phần

Đặt u=$ln^{2}x\Rightarrow du=2\frac{lnx}{x}dx$

   vdv= dx $\Rightarrow v=x$

$I=xln^{2}x\left \right |_{1}^{e}-2\int_{1}^{e}lnxdx=e-2\int_{1}^{e}lnxdx$

 Lại dùng tích phân từng phần. Đặt

 $u_{1}=lnx\Rightarrow du_{1}=\frac{1}{x}dx$

  $dv_{1}=dx\Rightarrow v_{1}=x$

$I=e-2(xlnx\left \right |_{1}^{e}-\int_{1}^{e}dx)=e-2x(lnx-1)\left \right |_{1}^{e}=e+2$




#598606 $\left | ax^2+bx+c \right |\geq \left | x^2-1 \...

Đã gửi bởi QDV on 16-11-2015 - 10:13 trong Bất đẳng thức và cực trị

Giả sử $\left | ax^2+bx+c \right |\geq \left | x^2-1 \right |$ với mọi số thực $x$ . Chứng minh rằng $\left | b^2-4ac \right |\geq 4$.

Gọi A là BĐT điều kiện, B là BĐT kết quả

 Nếu VT của A có nghiệm. Dễ dàng CM a=-c ,b=0 và $\left | a \right |=\left | c \right |\geq 1$

 Vậy B đúng và Đẳng thức tại kết quả B xảy ra khi và chỉ khi a=1,b=0,c=-1 hoặc a=-1,b=0,c=1

 Nếu VT của A vô nghiệm

   $\Rightarrow (ax^{2}+bx+c)^{2}\geq (x^{2}-1)^{2}$

   $\Rightarrow [(a+1)x^{2}+bx+(c-1)][(a+1)x^{2}+bx+(c+1)]\geq 0,\forall x$

   $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^{2}-4(a+1)(c-1)\leq 0 (1)\\ b^{2}-4(a-1)(c+1)\leq 0 (2) \end{matrix}\right.$

   (1)+(2)  

   $\Rightarrow 2(b^{2}-4ac)+8\leq 0\Rightarrow b^{2}-4ac\leq -4\Rightarrow \left | b^{2}-4ac \right |\geq 4$ (Đpcm)

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=c=m,b=$2\sqrt{m^{2}-1}\cup -2\sqrt{m^{2}-1},\left | m \right |\geq 1$

 Đẳng thức tại kết quả B xảy ra khi và chỉ khi a=1,b=0,c=-1 hoặc a=-1,b=0,c=1

hoặc a=c=m,b=$2\sqrt{m^{2}-1}\cup -2\sqrt{m^{2}-1},\left | m \right |\geq 1$




#598601 $4\frac{(5+2\sqrt{6})(49-20\sqrt{6})\sqrt{5-2\s...

Đã gửi bởi QDV on 16-11-2015 - 08:50 trong Đại số

Thực hiện phép tính:

            $\fn_cm \frac{(5+2\sqrt{6})(49-20\sqrt{6})\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}$

$A=\frac{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})^{2}\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}}(9\sqrt{3}+11\sqrt{2})}{(9\sqrt{3})^{2}-(11\sqrt{2})^{2}}$

    $=(5-2\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{2})(9\sqrt{3}+11\sqrt{2})=(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})=1$




#598600 Có bao nhiêu số là ước của A=1980.1985.2000.2010 chia hết cho 180

Đã gửi bởi QDV on 16-11-2015 - 08:22 trong Số học

Có bao nhiêu số là ước của A=1980.1985.2000.2010 chia hết cho 180

$180=2^{2}3^{2}5$

$A=1980*1985*2000*2010=2^{2}3^{2}5*11*5*397*2^{4}5^{3}*2*3*5*67=2^{2}3^{2}5*2^{5}3*5^{5}11*67*397=180B$

Vậy tất cả các số là ước của A và chia hết cho 180 cũng chính là tất cả các số là ước của B. Số các ước này là

(5+1)(1+1)(5+1)(1+1)(1+1)(1+1)=576 số




#598290 Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ đi qua 1 điểm cố định

Đã gửi bởi QDV on 14-11-2015 - 16:35 trong Đại số

Cho hai điểm $M(m;0),N(0;n)$ di động lần lượt trên $Ox,Oy$ và thỏa mãn $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1$

Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ đi qua 1 điểm cố định.

Dễ thấy m,n>1. Gọi I(1;a) là điểm thuộc MN. Từ I hạ vuộng góc dến Ox và  Oy taị các điểm E,F. Ta có hệ thức

$\frac{IF}{OM}=\frac{MI}{MN},\frac{IE}{ON}=\frac{NI}{NM}\Rightarrow \frac{IF}{OM}+\frac{IE}{ON}=\frac{MI}{MN}+\frac{NI}{NM}=1\Leftrightarrow \frac{1}{m}+\frac{a}{n}=1\Leftrightarrow a=1$ (Theo giả thiết )

Vậy MN luôn đi qua điểm cố định (1;1)




#598277 Chứng minh $\frac{1}{1+b+c} + \frac{1...

Đã gửi bởi QDV on 14-11-2015 - 15:20 trong Bất đẳng thức và cực trị

Câu 2 có x+y+z=0 mới chứng minh được chứ nhỉ  :mellow:

 

1.Cho a,b,c > o và abc=1. Chứng minh $\frac{1}{1+b+c} + \frac{1}{1+a+c}+ \frac{1}{1+a+b }\leqslant 1$

2.Cho x,y,z > o; x,y,z $\epsilon [-1;1]$. Chứng minh $x^2+y^4+z^6\leqslant 2$

3.Cho a,b,c $\epsilon [0;1]$ .Chứng minh $a+b^2+c^3-ab-bc-ca\leqslant 1$

4.Cho x,y,z $\epsilon [0;2]$.Chứng minh $2(x+y+z)-(xy+yz+zx)\leqslant 4$

5.Cho x,y,z $\geqslant 0$; x+y+x $\leqslant 3$.Chứng minh $\frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2}\leqslant \frac{3}{2}\leqslant \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}$

Câu 5

Đặt $A_{0}=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z},A_{1}=\frac{x}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}$

Ta có

$6A_{0}\geq (x+1+y+1+z+1)A\geq 9\Rightarrow A_{0}\geq \frac{3}{2}"="\Leftrightarrow x=y=z=1$ (1)

Lưu ý  $a+\frac{1}{a}\geq 2, \forall a> 0,"="\Leftrightarrow a=1$

$A_{1}=\frac{1}{\frac{1}{x}+x}+\frac{1}{\frac{1}{y}+y}+\frac{1}{\frac{1}{z}+z}\leq \frac{3}{2},"="\Leftrightarrow x=y=z=1$ (2)

 Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Hãy mở rộng bài toán với ĐK như trên. Đặt

$A_{k}=\frac{x^{k}}{1+x^{k+1}}+\frac{y^{k}}{1+y^{k+1}}+\frac{z^{k}}{1+z^{k+1}}, tìm k để A_{k}\geq \frac{3}{2}$




#598246 Cho hình chóp SABCD. M thuộc miền trong tam giác SCD. a, Tìm giao tuyến (SMB...

Đã gửi bởi QDV on 14-11-2015 - 08:52 trong Hình học không gian

Cho hình chóp SABCD. M  thuộc miền trong tam giác SCD.

a, Tìm giao tuyến (SMB) và (SAC)

b, Tìm giao BM và (SAC)

c, Tìm thiết diện hình chóp cắt bởi (ABM)

a)

$N=SM\cap DC,I=BN\cap AC$

$S,I\in (SMB),S,I\in (SAC)\Rightarrow SI=(SMB)\cap (SAC)$$S,I\in (SMB),S,I\in (SAC)\Rightarrow SI=(SMB)\cap (SAC)$

b)

$J=BM\cap AI\Rightarrow J=BM\cap (SAC)$

c)

$E=AJ\cap SC,F=EM\cap SD\Rightarrow AFEB$ là thiết diện của hình chóp cắt bởi (ABM)

Bài giải mang tính hướng dẫn nên vắn tắt




#598243 Chứng minh $5a+4b+6c\geq 3\sqrt{ab}+5\sqrt...

Đã gửi bởi QDV on 14-11-2015 - 08:27 trong Bất đẳng thức và cực trị

Chứng minh $5a+4b+6c\geq 3\sqrt{ab}+5\sqrt{bc}+7\sqrt{ca}$ (a,b,c$\geq 0$)

$5a+4b+6c=\frac{3}{2}(a+b)+\frac{5}{2}(b+c)+\frac{7}{2}(c+a)\geq 3\sqrt{ab}+5\sqrt{bc}+7\sqrt{ca}$ (BĐT Cauchy)

Dấu "=" khi và chỉ khi a=b=c




#598242 Áp dung nhị thức Newton

Đã gửi bởi QDV on 14-11-2015 - 08:13 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức

Tính tổng: $C\binom{0}{n}*C\binom{k}{m} + C\binom{1}{n}*C\binom{k-1}{m} + C\binom{2}{n}*C\binom{k-2}{m}+...+C\binom{k-1}{n}*C\binom{1}{m} + C\binom{k}{n}*C\binom{0}{m}$

Đây chính là hệ số của $x^{k}$ trong khai triển biểu thức $(1+x)^{n}(1+x)^{m}$ và cũng chính là hệ số của $x^{k}$ trong khai triển biểu thức $(1+x)^{n+m}$ . Do đó kết quả là $C_{n+m}^{k}$




#598241 Trục căn thức ở mẫu số: $\frac{2}{2\sqrt[3]...

Đã gửi bởi QDV on 14-11-2015 - 07:48 trong Số học

Trục căn thức ở mẫu số: $\frac{2}{2\sqrt[3]{2}+2+\sqrt[3]{4}}$

$A=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^{2}}+\sqrt[3]{2}+1}=\frac{\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{2}-1)}{(\sqrt[3]{2}-1)(\sqrt[3]{2^{2}+\sqrt[3]{2}+1})}=\frac{\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{2}-1)}{(\sqrt[3]{2})^{3}-1}=\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{2}-1)$




#598128 $3^{y}=x^{2}+2x-8$

Đã gửi bởi QDV on 13-11-2015 - 15:29 trong Số học

Tìm số tự nhiên x,y thỏa mãn 3y=x2+2x-8

y=0 PT vô nghiệm

PT$3^{y}=(x-2)(x-2+6)$

Vậy x-2 phải là một luỹ thừa của 3

Đặt $x-2=3^{t}$

$PT\Leftrightarrow 3^{y}=3^{t}(3^{t}+6)=3^{t+1}(3^{t-1}+2)\Rightarrow 3^{t-1}=1\Rightarrow 3^{t}=3\Rightarrow x-2=3\Rightarrow x=5\Rightarrow y=3$

Vậy PT có nghiệm (x;y)=(5;3)




#598125 C/m số $2^{10} + 5^{12}$ là hợp số

Đã gửi bởi QDV on 13-11-2015 - 14:58 trong Số học

 C/m số $2^{10} + 5^{12}$ là hợp số

Đặt $A=2^{10}+5^{12}$

$A=2^{10}+5^{12}=(2^{5})^{2}+2*2^{5}5^{6}+(5^{6})^{2}-2^{6}5^{6}=(2^{5}+5^{6})^{2}-(10^{3})^{2}=(2^{5}+5^{6}-10^{3})(2^{5}+5^{6}+10^{3})$

Dễ thấy các thừa số đều khác 1 nên A là hợp số




#598101 CMR $(x-1)^{n+2} + x^{2n+1}$ chia hết cho...

Đã gửi bởi QDV on 13-11-2015 - 07:55 trong Số học

CMR với mọi $n$ thuộc $Z$ thì $(x-1)^{n+2} + x^{2n+1}$ chia hết cho $x^2-x+1$

Sửa lại điều kiện một chút: CMR với mọi n thuộc N

CM bằng quy nạp

Với n=0.Ta có

$A_{(0)}=x^{2}-x+1\vdots x^{2}-x+1$ đúng

Giả sử khẳng định đúng đến n=k. Tức là

$A_{k}=(x-1)^{k+2}+x^{2k+1}\vdots x^{2}-x+1$

Ta cần CM khẳng định đúng với n=k+1. Tức là

$A_{(k+1)}=(x-1)^{k+1+2}+x^{2(k+1)+1}\vdots x^{2}-x+1$

Thật vậy dễ dàng biến đổi

$A_{(k+1)}=(x-1)^{k+2}(x-1)+x^{2k+1}x^{2}=(x-1)[(x-1)^{k+2}+x^{2k+1}]+x^{2k+1}(x^{2}-x+1)=(x-1)A_{(k)}+x^{2k+1}(x^{2}-x+1)\vdots x^{2}-x+1$,theo giả thiết quy nạp hiễn nhiên

Vậy $A_{(n)}\vdots x^{2}-x+1$ $\forall n\in N$




#598001 $log_\frac{1}{2}3+log_3\frac{1}...

Đã gửi bởi QDV on 12-11-2015 - 19:03 trong Bất đẳng thức và cực trị

Chứng minh: $log_\frac{1}{2}3+log_3\frac{1}{2}<-2$

BĐT$log_{2}3+log_{3}2> 2$. Theo Cauchy điều này hiển nhiên,vì

$log_{2}3 log_{3}2=1,log_{2}3> 0 khác log_{3}2> 0$




#597998 Tìm điểm $K$ thuộc $Ox$ sao cho $KA+KB$ đạt giá...

Đã gửi bởi QDV on 12-11-2015 - 18:27 trong Hình học

Cho 3 điểm $A(1;1)$  $B(-2;-1)$  $C(-2;3)$
-Tìm điểm K thuộc Ox sao cho (KA + KB) min.

Mọi người giúp mình với nhé,ngày mai phải lên trả bài cho cô rồi!

Xin cảm ơn!

Vì A(1;1) và B(-2;-1) nên A và B nằm hai bên trục Ox.

Để KA+KB nhỏ nhất thì A,K và B thẳng hàng.Vậy K là giao điểm của AB và Ox

Đến đây tự làm nhé




#597982 $cosx+cosy-cos(x+y)=\frac{3}{2}$

Đã gửi bởi QDV on 12-11-2015 - 16:03 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác

Giải phương trình 

$cosx+cosy-cos(x+y)=\frac{3}{2}$

PT$\Leftrightarrow 2cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})-[2cos^{2}(\frac{x+y}{2})-1]=\frac{3}{2}$

Đặt $t=cos(\frac{x+y}{2}),m=cos(\frac{x-y}{2})  ĐK -1\leq t,m\leq 1$.PT trở thành

$4t^{2}-4mt+1=0$

$\Delta ^{'}=4m^{2}-4\leq 0 "="\Leftrightarrow m=-1\cup m=1$.Lúc đó PT có nghiệm kếp t=1/2

Vậy PT đã cho tương đương

$\left\{\begin{matrix} cos(\frac{x-y}{2})=-1\\ cos(\frac{x+y}{2})=\frac{1}{2} \end{matrix}\right. \cup \left\{\begin{matrix} cos(\frac{x-y}{2})=1\\ cos(\frac{x+y}{2})=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

PT xem như đã giải quyết xong




#597978 $x^2+y^2+z^2=xyz$

Đã gửi bởi QDV on 12-11-2015 - 15:28 trong Số học

Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình: $x^2+y^2+z^2=xyz$

Không mất tính tổng quát. Giả sử $x\geq y\geq z\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}> 2xy\Rightarrow z> 2$

Với z=3$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\vdots 3$ mà x,y là số nguyên tố nên chỉ có thể là x=y=3

Với z>3 vì x,y,z là các số nguyên tố khác 3 nên VT chia hết cho 3 đồng thời VP không chia hết cho 3 PT vô nghiệm

Vây PT chỉ có bộ nghiệm (x,y,z)=(3,3,3)