1. Chứng minh $\forall n\in N*, n>1. \exists p,q\in N*: n=p+q $ p,q có lượng ước nguyên tố bằng nhau

2. Cho p là số nguyên tố (p>5)

X= { p-n²  / n thuộc N* , n²<p }             Chứng minh rằng tồn tịa x,y thuộc X : x khác y, x khác 1 , x/y

3. Cho k>1 ; k thuộc N. Chứng minh rằng tồn tại p và tồn tại dãy : q₁<q₂<...<q_n<... sao cho

(p+kq_i) là số nguyên tố với i thuộc N*

4.Cho p nguyên tố. Tìm k thuộc Z. để $\sqrt{k^{2}-kp}\in N*$ 

$A=n.4^{n}+3^{n}=n.(7-3)^{n}+3^{n}=n.B(7)+n.(-3)^{n}+3^{n}$. Vì A $\vdots$ 7 nên $n.(-3)^{n}+3^{n}\vdots 7$

Với n chẵn $A=3^{n}(n+1) \vdots 7$$ \Rightarrow(n+1)\vdots7$ hay $n+1=7(2k+1)$ (vì n+1 lẻ ) $\Rightarrow n=14k+6$ ( k nguyên) 

Với n lẻ $A=3^{n}(1-n)$ tương tự $\Rightarrow 1-n=7.2k=14k $$\Leftrightarrow n=1-14k  $

3.       $\sum \frac{1}{2x+y+z}=\sum \frac{1}{4}.\frac{4}{(x+y)+(x+z)}\leq \frac{1}{4}.\sum (\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})= \frac{1}{2}\sum \frac{1}{x+y}=\frac{1}{8}.\sum \frac{4}{x+y}\leq \frac{1}{8}.\sum (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{1}{4}.\sum \frac{1}{x}=1$

có thể làm như này 

$y=\frac{p+1}{2} \Rightarrow S_{n+1} =(\frac{p+1}{2})^2$

Mà do $n \geq 2 \Rightarrow S_{n+1}=(2+3+5+...+p) \leq (1+3+5+...+p)+2-9-1=1^2-0^2+2^2-1^2+3^2-2^2+...+(\frac{p+1}{2})^2-(\frac{p-1}{2})^2-8 < (\frac{p+1}{2})^2$

Giả sử ngược lại gọi hai tổng đó là $S_n=x^2,S_{n+1}=y^2$  (quy ước $x,y$ nguyên dương)
Khi đó $S_{n+1}-S_n=p$ (quy ước $p$ là số nguyên tố) 
Hay $(y-x)(y+x)=p$ suy ra $y-x=1,y+x=p$ từ đó suy ra $y=\frac{p+1}{2},x=\frac{p-1}{2}$ 
Suy ra $\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n+1}}=\sqrt{p^2}$ . Điều này xảy ra chỉ khi $S_n=0$ (vô lí)
Vậy ta có đpcm

sao lại xảy ra chỉ khi $S_{n}=0$ thôi hả bạn

Kéo dài DK: DK cắt AC tại P.

Chứng minh được $\Delta PAD = \Delta BAE  \Rightarrow$ PA=AC

$\Delta PCK $ có PA=AC và AH // PK $\Rightarrow$ KH = HC 

Với mỗi số nguyên dương n , ký hiệu $S_{n}$ là tổng n số nguyên tố đầu tiên

$S_{1}=2$ ; $S_{2}=2+3$  ;  $S_{3}=2+3+5$, ...

Chứng minh rằng trong dãy số $S_{1}$ , $S_{2}$, $S_{3}$, ... không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là số chính phương  

Giải như sau:

Gọi$x_{0}$ là nghiệm chung của x^2+ax+1=0 và x^2+bx+c=0

     $x_{2}$ là nghiệm chung của x^2+x+a=0 và x^2+cx+b=0

Ta có $x_{0}^2+ax_{0}+1=x_{0}^2+bx_{0}+c=>x_{0}=\frac{c-1}{a-b}$

=>Nghiệm còn lại:$x_{1}=\frac{a-b}{c-1}$

Tương tự có nghiệm của pt:x^2+x+a=0 là $x_{2}=\frac{a-b}{c-1}$

=>x^2+ax+1=0 và x^2+x+a=0 có nghiệm chung

Thay vào ta có: (a-1)($x_{1}-1$)=0

=>Đến đây thì dễ rồi: kết quả a+b+c=-3  

lúc nãy ghi đề sai làm k ra

P/s: bạn làm y chang đáp án

Giả sử a,b,c là các số thực, $a\neq b$ sao cho hai phương trình $x^{2}+ax+1=0$, $x^{2}+bx+c=0$ có nghiệm chung và hai phương trình $x^{2}+x+a=0$, $x^{2}+cx+b=0$  có nghiệm chung. Tính $a+b+c$

xét n>2   $2^{n}+3^{n}+4^{n}\equiv (-1)^{n}+1$ ( mod 3 ) suy ra n lẻ. 

$n= 2k+1\Rightarrow 3^{n}=3^{2k+1}=9^{k}.3=(8+1)^{k}.3\equiv 3$ ( mod 8 )

Mà $n\geq 3\Rightarrow (2^{n}+4^{n})\vdots 8$ do đó $2^{n}+3^{n}+4^{n}\equiv 3$ ( mod 8 ) mọi n>2

suy ra n<2 

3.    $=(2y-x)^{2}+3(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{3}{4}$

$\frac{1}{m+n-x}=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}-\frac{1}{x}\Leftrightarrow \frac{1}{m+n-x}-\frac{1}{m}=\frac{x-n}{xn}\Leftrightarrow \frac{x-n}{x+n-m}=\frac{x-n}{xn}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=n & & \\m( m+n-x)=xn& & \end{bmatrix}$

Với x=n thì mọi m đều thỏa mãn

Với m(m+n-x)=xn tương đương (m+n)(m-x)=0

$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+1=\sqrt{m+1}\Rightarrow 1+x^{2}+x=(x^{2}+x)\sqrt{m+1}\Leftrightarrow x^{2}(1-\sqrt{m+1})+x(1-\sqrt{m+1})+1=0$

sai chi

cái bình phương lên nớ = m+ 1 mô

đúng mà coi lại đi bạn  Mận   ơi

$\Leftrightarrow (\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+1)^{2}=m+1\Leftrightarrow \left | \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+1 \right |=\sqrt{m+1}$    (Với m >-1 or m=-1)

từ đây giải denta 2 cái tuyệt đối

$x^{4}+ax^{2}+bx+c=(x+k)(x-3)^{3}$ khai trien ra dong nhat he so tinh dc a,b,c theo k lai co 9a+3b+c+81=0 thay vao giai k

 

Câu 5: Cho a, b, c > 0 và a+ b+c= $\frac{1}{2}$

Tìm Max: P= $\sum \sqrt{\frac{(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)+a+c}}$

 

x=a+b;y=b+c;z=c+a

$p=\sum \sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\sum \sqrt{\frac{xy}{(x+z)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\sum \left ( \frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z} \right )\leq \frac{3}{2}$

 

Câu 4: Cho a, b, c > 0 và ab+bc+ca=abc

CMR: $\sum \frac{1}{a+2b+3c}\leq \frac{3}{18}$

 

$ab+ac+bc=abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

$\sum \frac{1}{a+2b+3c}=\sum \frac{1}{9}\frac{9}{(a+c)+(b+c)+(b+c)}\leq \sum \frac{1}{9}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c})=\sum \frac{1}{9}.3.\frac{1}{a+b}=\sum \frac{1}{9}.3.\frac{1}{4}.\frac{4}{a+b}\leq \sum \frac{1}{12}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )=\frac{1}{12}.2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\frac{1}{6}$

$\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{9}{4}x(1-x^{2})\geq \frac{3}{2}x$ .......

$\Rightarrow \sum \frac{x}{1-x^{2}}\geq \sum \frac{9}{4}x^{3}+\frac{3}{4}x\geq \sum \frac{3\sqrt{3}}{2}x^{2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(xy+yz+xz)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Anh có cách giải khác không? em mới lớp 9, chưa học BĐT holder

$\sum \frac{a^{2}}{a+bc}=\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+ac+bc}=\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}=\frac{\sum ac(a^{2}+c^{2})}{(a+b)(a+c)(b+c)}\geq \frac{\sum 2a^{2}c^{2}}{8abc}=\frac{1}{4}(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a})$

$\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq 2a$....$\Rightarrow \frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geq a+b+c$   ( hoi dai` thi` phai )

$a,b\in N^{*}$        Fnd ::        $a^{2}+b^{2}=\begin{bmatrix} a,b \end{bmatrix}+7(a,b)$

(  $[a,b]=BCNN(a,b)$ ;    $(a,b)=UCLN(a,b))$ )

Cho em hỏi tại sao $2a\mid(a-b, a+b)$ và $2b\mid (a-b,a+b)$ vậy ạ?

$(a+b;a-b)=d\Rightarrow (a+b)+(a-b)\vdots d\Leftrightarrow 2b\vdots d$

1.    $\left\{\begin{matrix} 6x^{2}-y^{2}-xy+5x+5y-6=0 & & \\ 20x^{2}-y^{2}-28x+9=0 & & \end{matrix}\right.$

2.    $\left\{\begin{matrix} x+1=y+z & & \\ xy+z^{2}-7z+10=0& & \\ x^{2}+y^{2}=17& & \end{matrix}\right.$

$a,b,c\in IR^{+}$   :   $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}= 3$

C/M:        $\frac{27a^{2}}{c(c^{2}+9a^{2})}+\frac{b^{2}}{a(4a^{2}+b^{2})}+\frac{8c^{2}}{b(9b^{2}+4c^{2})}\geq \frac{3}{2}$