tìm min của $2(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

biết $a^2+b^2+c^2=3$

Với số hữu tỷ dương cho trước $C\neq 1$.Chứng minh tập hợp các số tự nhiên có thể biểu diễn dưới dạng hợp của 2 tập con rời nhau A và B sao cho tỷ số của 2 số bất kỳ từ tập hợp $A$ cũng nhỏ hơn tỷ số giữa 2 số bất kỳ từ tập $B$ đều khác $C$

Chứng minh đa thức $P(x)$ với hệ số thực chỉ nhận giá trị không âm thì có thể biểu diễn dưới dạng: 

$P(x)=Q_{1}^2(x)+Q_{2}^2(x)+...+Q_{n}^2{x}$ với $Q_{i}(x)$ là đa thức với hệ số thực

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c=1$. Tìm $Max$:

$5(a^2+b^2+c^2)-6(a^3+b^3+c^3)$

$2x^2-10x+2=(x^2-4x-6)\sqrt{x-1}\Leftrightarrow \frac{2x^2-10x+2}{x^2-4x-6}-1=\sqrt{x-1}-1\Leftrightarrow \frac{(x-2)(x-4)}{x^2-4x-6}=\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}\Leftrightarrow x=2; \frac{x-4}{x^2-4x-6}=\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}$, phần còn lại có nghiệm rất lẻ, không biết có cách xử lí nào không?

tính giới hạn của dãy số :

$\lim (\sqrt[3]{n^3-2n}-\sqrt{n^2+1})$

$\lim (\sqrt{n^2+2n+2}-\sqrt[3]{8n^3+n^2})$

$\lim(2n-1)(\sqrt{n^2+n+5}-\sqrt{n^2+n+1})$

$\lim(n+1)(\sqrt{2n^4-n+3}-\sqrt{2n^4+5n+1})$

Giải phương trình :

$(2x-7)(\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+3})=5$

Cho hình vuông $ABCD$ với $E$ là tâm hình vuông. Gọi $M$ là 1 điểm bất kì thuộc $BC$. Đường thẳng $AM$ cắt $CD$ tại $N$, $EM$ cắt $BN $ tại $K$. Chứng minh $CK$ vuông góc $KN$

1) Dãy này chặn trên bởi $\frac{15}{2}$(quy nạp) và là dãy tăng.

2)$u_{n+1}=1+\frac{1}{u_n+1}$.Dãy này chặn dưới bởi $1$ và là dãy giảm,bắt đầu từ $u_2$

3)Dãy này bị chặn trên bởi $2$(quy nạp) và là dãy tăng.

chứng minh dãy tăng hay giảm bằng cách nào ạ ? mình mới học nên không nắm rõ

Xét tính đơn điệu và bị chặn của các dãy số sau :

1)$\left\{\begin{matrix} U_1=1\\ U_{n+1}=\dfrac{1}{3}U_n+5 \end{matrix}\right.$

2)$\left\{\begin{matrix} U_1=1\\ U_{n+1}=\dfrac{U_n+2}{U_n+1} \end{matrix}\right.$

3)$\left\{\begin{matrix} U_1=2\\ U_{n+1}=\sqrt{U_n+2} \end{matrix}\right.$

1) Cho $a,b,c \in \left [ 1,3 \right ] , max \left \{ a,b,c \right \}>2, a+b+c=5$. Tìm $Min$ của $a^2+b^2+c^2$

2)Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên dương thỏa $a+b+c+d=99$. Tìm $GTLN$ và $GTNN$ của tích $abcd$

1)Tìm giá trị nhỏ nhất của : 

$x^2+2y^2-x-2y-xy$

2)Tìm giá trị nhỏ nhất của : 

$S=\left | x+1 \right |+\left | x+5 \right |+\left | x+14 \right |+\left | x+97 \right |+\left | x+1920 \right |$

Áp dụng $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq\frac{4}{x+y}$

bài 298:

$\left\{\begin{matrix} x^3+\frac{1}{3}y=x^2+x-\frac{4}{3}\\y^3+\frac{1}{4}z=y^2+y-\frac{5}{4} \\ z^3+\frac{1}{5x}=z^2+z-\frac{6}{5} \end{matrix}\right.$

$\frac{x^2+2x-8}{x^2-2x+3}=(x+1)(\sqrt{x+2}-2)$

$\Leftrightarrow \frac{(x-2)(x+4)}{x^2-2x+3}=\frac{(x+1)(x-2)}{\sqrt{x+2}+2}$

Dễ thấy có nghiệm là $2$, nếu khác 2, chia cả 2 vế cho $x-2$, ta được :

$\frac{x+4}{x^2-2x+3}=\frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}\\\Leftrightarrow \left ( \left ( \sqrt{x+2} \right )^2+2 \right )\left ( \sqrt{x+2}+2 \right )=(x-1+2)\left ( \left ( x-1 \right ) ^2+2\right )$

suy ra $x-1=\sqrt{x+2}\Leftrightarrow x^2-3x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$

Đối chiếu điều kiện , ta được 2 nghiệm $\boxed{2;\frac{3+\sqrt{13}}{2}}$

Giải các phương trình :

$a) 27 \cos^4x+8\sin x=12\\b)\cos \frac{x}{2}-\cos x +\cos\frac{3x}{2}=\frac{1}{2}\\c) \sin^3x+\cos^3x+\tan^3x =\left ( \sin x +\cos x +\tan x \right )^3\\d)\cos x -3\sqrt{3}\sin x =\cos 7x\\ e) \tan^4 x+\tan^4 2x+\cot ^43x =\frac{1}{3}\\f)\sin^3x+4\cos^3x=3\cos x\\k)\sqrt[4]{4\sin^2x-4\sin x+2}+\sqrt{8\sin^2x-8\sin x +11}=1-12\sin^2x+12\sin x$

hơi nhiều ~~~

Giải các phương trình :

$a) 27 \cos^4x+8\sin x=12\\b)\cos \frac{x}{2}-\cos x +\cos\frac{3x}{2}=\frac{1}{2}\\c) \sin^3x+\cos^3x+\tan^3x =\left ( \sin x +\cos x +\tan x \right )^3\\d)\cos x -3\sqrt{3}\sin x =\cos 7x\\ e) \tan^4 x+\tan^4 2x+\cot ^43x =\frac{1}{3}\\f)\sin^3x+4\cos^3x=3\cos x\\k)\sqrt[4]{4\sin^2x-4\sin x+2}+\sqrt{8\sin^2x-8\sin x +11}=1-12\sin^2x+12\sin x$

hơi nhiều ~~~

1c bạn giải hay ghê ~~, 

còn câu $1b$ thì có cách xét nhé bạn 

bạn cũng đưa nó về dạng như xét $\Delta$, có điều khác như này , cộng vào 2 vế 1 số $\alpha$ bất kì, ta có :

$x^2+x(2-3y)+(2y^2-4y+3+\alpha)=\alpha$ 

ý tưởng ở đây là do $x,y$ nguyên nên cộng vào 1 số để tạo nhân tử như mình làm ở trên , khi đó $\Delta$ phải là số chính phương.

$\Delta= (2-3y)^2-4(2y^2-4y+3+\alpha)=y^2+4y-8-4\alpha$

để là số chính phương thì $\alpha =-3$,sau đó dễ rồi

Bài 2: (4,0 điểm)

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=1\\ \sqrt{x^2-1}+\sqrt{y^2-1}=\sqrt{xy+2} \end{matrix}\right.$

Từ $1$ suy ra $x^2+y^2 =x^2y^2$

Từ $2$ ,bình phương, ta được:

$x^2+y^2-2+2\sqrt{x^2y^2-x^2-y^2+1}=xy+2\\\Leftrightarrow x^2y^2-xy-2=0\Leftrightarrow xy=2;xy=-1$

Tới đây tính được $x^2+y^2$ , sau dùng Viet là ra~~`

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $x+y+z+xy+yz+zx=6$

Chứng minh rằng $x^2+y^2+z^2\geq 3$

b) Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh rằng nếu $b$ là số trung bình cộng của $a$ và $c$ thì $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$

a) Ta có : $2(x^2+y^2+z^2)\geq 2(xy+yz+zx);\\ x^2+1\geq 2x; y^2 +1 \geq 2y; z^2+1\geq 2z \\\Rightarrow 3(x^2+y^2+z^2)+3\geq 2(xy+yz+zx+x+y+z)\geq 12\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 \geq 3 (dpcm)$

b)Giả sử : $a\leq b \leq c$ 

Ta có: $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a}+\frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{c-b}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{a}}{b-a}= 2\left ( \frac{\sqrt{c}-\sqrt{a}}{c-a} \right )=\frac{2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$ (do b là tbc nên $b-a=c-b$)

Bài 1: (4,0 điểm)

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x; y)$ thỏa mãn đẳng thức

$x^2+2y^2-3xy+2x-4y+3=0$

$\Leftrightarrow (x-y+2)(x-2y)=-3$

xét th là xong 

TH1 : Giả sử $a\geq b \geq c$ , ta có :

$\Rightarrow \frac{2c^2}{1+c^2}\geq \frac{2a^2}{1+a^2} \\\Leftrightarrow 2c^2+2c^2a^2\geq 2a^2 +2a^2c^2\Leftrightarrow 2c^2 \geq 2a^2 \Leftrightarrow c\geq a$

TH2: Giả sử $a\geq c \geq b$, cũng làm tương tự, ta có :$b\geq a$,

Vậy $a=b=c$ , tới đây giải pt 

p/s: bước ở trên làm 2 trường hợp do nó hoán vị ~, ai hiểu thì nói rõ cho mình hơn ạ, mình cũng nhớ sơ nên làm bừa ~~ 

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình $\sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+1}=3$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+1}=3\\\Leftrightarrow \frac{x-3}{\sqrt[3]{x-2}^2+\sqrt[3]{x-2}+1}+\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}=0\\\Leftrightarrow (x-3)\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x-2}^2+\sqrt[3]{x-2}+1}+\frac{1}{\sqrt{x+1}+2} \right )=0\Leftrightarrow x=3$

Trích ra cho bạn :

$1)\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0\\ 2)\sqrt{5x-1}-\sqrt[3]{9-x}=2x^2+3x-1\\ 3)4\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+3}=(x-1)(x^2-2)\\ 4)\sqrt{2x^2-x-3}-\sqrt{21x-17}+x^2-x=0\\ 5)x^2+x+1=(x+2)\sqrt{x^2-2x+2}\\ 6)\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x+4}}+\frac{x^2}{2}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\ 7)x^2-6x-2=\sqrt{x+8}\\ 8)\sqrt{x^4-x^2+4}+\sqrt{x^4+20x^2+4}=7x\\ 9)x^2+6x+1=(2x+1)\sqrt{x^2+2x+3}\\ 10)2x(x-1)+x=(x-1)\sqrt{2x(x^2-x+2)}+6\\ 11)x^2(x+6)=(5x-1)\sqrt{x^2+3}+2x-3$

Ta viết lại giả thiết

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} =7 $

Đặt $a=\frac{1}{x} ; b=\frac{1}{y} ; c=\frac{1}{z} $

Khi đó, ta được $x+y+z =7 $

$P= \sum \frac{x^4+8}{x^2} $

Tới đây dùng tiếp tuyến ( số xấu quá bạn )

tiếp tuyến là sao bạn ? hướng dẫn mình thêm được không ?

Bài 3 : Tìm nghiệm nguyên của hệ : $\left\{\begin{matrix} 2y^{2}-x^{2}-xy+2y-2x=7 & \\ x^{3}+y^{3}+x-y=8 & \end{matrix}\right.$

Từ  $(1)$ $2y^2-x^2-xy+2y-2x=7 \Leftrightarrow (2y+x+2)(y-x)=7$

Đến đây thử chọn : $(x=-5;y=2);(x=1;y=2)$.

Thay vào pt $(2)$, có $x=1;y=2$ thỏa 

$a,b,c \geq 0$ $ab+bc+ca= 7abc$.Tìm $Min$:

$P=\frac{8a^4+1}{a^2}+\frac{108b^5+1}{b^2}+\frac{16c^6+1}{c^2}$