đây là diendantoanhoc mà các bạn bàn bạc Lý ở đây vậy

Chưa ns đến cách cm của bài hình, ai có thể cho em biết ý nghĩa của cái đk AB<AC ko ạ, ghi vẽ hình nếu ko có đk này thì phép cm coi như sai lệch hết, hình vẽ cx ko đc đúng ạ
Mong mn giải thick giúp em ạ

Câu hệ kết hợp 2 pt vs nhau r ép tích nhân tử là xong r ạ
Lấy (1) - (2)

Đây là hình vẽ của bài hình ạ

Mọi người xem cách 2 của mình có đúng không:

Ta có: $\inline ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\Leftrightarrow abc\leq \sqrt{(\frac{ab+bc+ca}{3})^{3}}=\sqrt{\frac{t^{3}}{27}};t=ab+bc+ca\Rightarrow 1\leq t+2\sqrt{\frac{t^{3}}{27}}\Leftrightarrow t\geq \frac{3}{4}$

Lại có: $P=\frac{ab+bc+ca-2abc(a+b+c)}{abc}\geq \frac{t-\frac{2t^{2}}{3}}{\frac{1-t}{2}}=\frac{6t-4t^{2}}{3-3t}=f(t);f'(t)=\frac{12t^{2}+24t+18}{(3-3t)^{2}}> 0\Rightarrow f(t)min=f(\frac{3}{4})=3\Rightarrow P\geq 3$

Dấu = khi a=b=c=1/2.

ôi, em cx làm ntn, chậm tay quá, huhu

2 bài đầu chân tay thôi k làm

 

Bài III:

1) $u_{n}=n^{2}$

2) Quy nạp

 

Bài IV:

1) BH cắt AC tại K thì DHKC nội tiếp. Áp dụng Simson đảo cho D trên (CHK) suy ra PD vuông góc AC

2) $R^{2}-IP^{2}=PA.PC = PD^{2}$, suy ra $R^{2}=10$. Đường thẳng qua P vuông góc DP cắt đường tròn tâm I bán kính $\sqrt{10}$ tại 2 điểm A,C từ đó suy ra B

 

Bài VI: 

Từ giả thiết suy ra tồn tại các số x,y,z thực dương sao cho: $a=\frac{x}{y+z},b=\frac{y}{z+x},c=\frac{z}{x+y}$

Ta có: $\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\geq 4(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})$

Kết hợp với Nesbitt suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất là 3 khi 3 biến $x,y,z$ bằng nhau, tức là $a,b,c$ bằng 0.5

ai giải thick giúp em đoạn ta có vs ạ

Thi trắc nghiệm đồng nghĩ vs những thứ sau mất:
- Hình phẳng
- Pt, hpt, bpt, logarit,...
- Bđt
- v.v..........
Em thì hoàn toàn ko ủng hộ cái vc này

Đây là những bài toán mk tổng hợp từ một bộ phim (2015) lấy đề tài là 1 cuộc thi IMO, mk cx ko biết những bài này cho ra thực sự có đúng ko hay chỉ đơn thuần là diễn xuất, các bạn hãy đọc và thử giải xem nhé. Bộ phim đó là: A brilliant young mind (2015)
1. Bài đầu tiên xuất hiện đc dịch ko sát nên mk ko đưa đc đúng đề bài ra, ai giỏi Anh nghe đc thì gõ lại giúp mk: Các đỉnh của 72........? giác đều, mỗi đỉnh đc tô màu đỏ, xanh và xanh dương vs lượng bằng nhau. Hãy cho thấy chúng ta luôn có thể chọn 4 đỉnh đỏ, 4 đỉnh xanh, 4 đỉnh xanh dương, như vậy, mỗi bộ đơn sắc hình thành 1 tứ giác đồng dạng. (đọc cứ thấy nó kiểu j ấy, do sub nó thế, ai đọc đc tiếng anh thì đề bài có trên cái bảng đó)
2. Bài này đã đc giải trong phim rồi: Có 20 lá bài bất kỳ đặt thành hàng úp xuống, mỗi lần lật tương đương vs 1 lá bài đc ngửa lên và lật lá bài ngay lại mặt phải. Chứng minh rằng dù lựa chọn bất kỳ lá bài nào để lật thì chuỗi hành động lật bài phải chấm dứt
3. Mỗi số nguyên đc tô màu đỏ, vàng hay xanh. Hãy chứng minh rằng luôn có A, B, C mà trong đó A, B, C, A+B, A+C, B+C và A+B+C đều có màu giống nhau
4. Bài mk thấy hại não nhất khi trên hình vẽ nó hoàn toàn có khả năng nhưng lại kb chứng minh: Xe lửa 4n bình phương đc đặt theo 2n x 2n vuông, mỗi xe đc sơn 1 trong bốn màu, mỗi 2 x 2 vuông xe lửa có liên quan đến mỗi màu trong 4 màu. Chứng minh xe lửa đó nằm trong những góc của 2n x 2n vuông.

what the hell ? đề đúng k vậy 

Để chứng minh một bđt sai, bạn cần chứng minh rõ là nó sai hay ít nhất cx phải nêu đc 1 dấu bằng nào đó mà bđt ko xảy ra mà thỏa mãn vs tất cả các đk mà đề bài cho

Bài 497: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}\frac{x^3+x+1}{y^2}+(2x+1)(1-\frac{1}{y})=\frac{x^2}{y^2}(3y-1)-x+y \\ \frac{x^3-x^2-1}{y^2}+\frac{4}{y}-1=0 \end{matrix}\right.$

$$Pt(1)\Leftrightarrow x^{3}+x+1+(2x+1)(y^{2}-y)-x^{2}(3y-1)+xy^{2}-y^{3}=0 \Leftrightarrow (x-y+1)(x^{2}-2xy+1+y^{2})=0\Leftrightarrow (x-y+1)((x-y)^{2}+1)=0\Leftrightarrow y=x+1$$
Thế vào 2, quy đồng, rút gọn ta có ngay:
$x^{3}-2x^{2}+2x+2=0$
Đến đây ta bấm máy sẽ thấy pt này có nghiệm cực lẻ, ta phải sd đến công thức Carnado hay các loại công thức tổng quát cho pt bậc 3 khác
$\Delta =b^{2}-3ac=-2,k=\frac{9abc-2b^{3}-27a^{2}d}{2\sqrt{\left | \Delta ^{3} \right |}}=\frac{-37\sqrt{2}}{4}$
Ta có:

$x=\frac{\sqrt{\left | \Delta \right |}}{3a}\left ( \sqrt[3]{k+\sqrt{k^{2}+1}}+\sqrt[3]{k-\sqrt{k^{2}+1}} \right )-\frac{b}{3a}=\frac{\sqrt{2}}{3}\left (\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1369}{8}+1}-\frac{37\sqrt{2}}{4}}- \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1369}{8}+1}+\frac{37\sqrt{2}}{4}} \right )+\frac{2}{3}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{2}}{3}\left (\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1369}{8}+1}-\frac{37\sqrt{2}}{4}}- \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1369}{8}+1}+\frac{37\sqrt{2}}{4}} \right )+\frac{5}{3}$

Bài này nếu ai có thắc mắc về phần mk ép đc tích như thế kia thì mk chia sẻ luôn là ko cần sd đến casio hay các mẹo mực để có thể ép đc ntn, chỉ cần tư duy ẩn phụ, một chút may mắn nữa là sẽ ra thôi, chúc bạn học tốt
p/s: Mk chả có đề xuất j nữa

Câu 4.

1/ Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$ đưa bài toán về chứng minh

$\sum \frac{y}{2y+x}\leq 1\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left ( 3-\sum \frac{x}{2y+x} \right )\leq 1$

Ta có $\sum \frac{x}{2y+x}=\sum \frac{x^{2}}{2xy+x^{2}}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{2}}=1$

Do đó $\frac{1}{2}\left ( 3-\sum \frac{x}{2y+x} \right )\leq \frac{2}{2}=1$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

2/ thay $x=y=0$ ta được $f(0)=0$

 Đặt $g(x)=f(x)-x$ ($g(0)=0$) khi đó ta được $g(5x+y)=g(x)+g(2y)$

cho $y=0$ ta được $g(5x)=g(x)$$\Rightarrow g(x)=g(\frac{1}{5}x)=g(\left ( \frac{1}{5} \right )^{2}x)=...=g(\left ( \frac{1}{5} \right )^{n}x)$

Do $f$ liên tục nên  $g$ liên tục. Khi đó

 $\lim g(x)=\lim g\left ( \left ( \frac{1}{5} \right )^{n}x \right )\Leftrightarrow g(x)=g\left ( \lim \left ( \frac{1}{5} \right )^{n} x\right )=g(0)=0\Rightarrow g(x)=0$

Do đó $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$

Ở bước 2 bạn nên ghi rõ là đã sd bđt hoán vị thì ms có kết quả như thế kia chứ ko tự nhiên mà x, y nó lại thế chỗ nhau như vậy đâu bạn

Mk chưa biết viết vecto sao cho đúng nên nó cứ bị ntn

Câu 1:
Cho tam giác $ABC. O, G, H$ thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác. Chứng minh:

a)$\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}$

b)$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$

c)$O, G, H$ thẳng thẳng

Câu 2
Cho tam giác đều $ABC$ tâm $O, M$ là một điểm nằm trong tam giác. Chứng minh $\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{ML}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$ với $H, K, L$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $AB, BC, CA$ 

$\sum a+\sum \frac{ab}{c}\geq 6\sqrt[6]{\frac{(a^{3}+b^{2}c)(b^{3}+c^{2}a)(c^{3}+a^{2}b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

 

TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN                      ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10

    BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN                                                NĂM HỌC 2016 - 2017

Thời gian làm bài: 180 phút

(Lần 1, ngày 19/08/2016)

Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $504(2017^n+1)$ là tích của hai số nguyên liên tiếp.

Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương phân biệt $(a,b)$ sao cho $a^2+b\vdots b^2-a$ và$b^2+a\vdots a^2-b$ 

Bài 3: Cho $x,y,z >0, x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng

$\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}+3\sqrt{6}\leq \sqrt{8}xyz$

$\fbox{Bài 4}$: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $M,N$ là hai điểm di chuyển trên cung nhỏ $BC$ của $(O)$ sao cho $MN\parallel BC$ đồng thời có các điểm $E,F$ lần lượt thuộc các đoạn $CA,AB$ để $EN, FM$ cùng vuông góc với $MN$.

      a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ luôn đi qua một điểm $P$ cố định khác $A$ khi $MN$ thay đổi.

      b) Gọi $Q$ đối xứng với $P$ qua $EF$. Chứng minh rằng $Q$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi $M, N$ thay đổi.

Bài 5: Cho $ABC$ là một tam giác tùy ý. Chứng minh rằng nếu mỗi điểm nằm trong một mặt phẳng được tô bởi đúng một trong hai màu xanh hoặc đỏ thì có tồn tại hai điểm màu đỏ có khoảng cách là 1 hoặc tồn tại ba điểm màu xanh mà chúng tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác $ABC$.

------- HẾT -------

----------------------------------------------------------------------------------------------

$\fbox{Nguồn: Bùi Duy Hiếu}$

----------------------------------------------------------------------------------------------

Thế là còn lại bài hình (4) 

 

Anh làm đc bài 2 ko

"Rất tiếc nội dung không khả dụng" kìa 

Chết, nó để chế độ fr r, làm sao bây h

https://www.facebook...&type=3

Mình chỉ vừa dạo qua, không biết bạn có lời giải bài này chưa, thôi cứ post lên vậy.

Pt <=> $9x^{2}+6x+10-y^{3}=0$

Ta có $\Delta = 36- 36(10-y^{3})$là số chinh phương => $y^{3}-29$là số chính phương => $9x^{2}+6x-19$là số chính phương

Đặt $9x^{2}+6x-19=a^{2} <=> 20=(3x+1-a)(3x+1+a )$

Đến đây bạn tự tính tiếp được

Delta phải ra là 36y^3 chứ nhỉ, sao lại có số 29, bạn gt giùm mk vs, tks bạn

Đoạn cuối hình như ngược dấu rồi

ukm, thảo nào cứ thấy sai sai, để em xem, tks anh

mk làm rất lằng nhằng mà kb có đúng ko, tg đối lỏng lẻo

Áp dụng bổ đề: $\sum a^{3}\geq \sum a^{2}b$

Ta có: 

$\sum \frac{a}{4b^{2}+7c^{2}+a^{2}}=\sum \frac{a^{2}}{4ab^{2}+7ac^{2}+a^{3}}\geq \frac{(\sum a)^{2}}{4\sum ab(a+b)+3\sum a^{2}b+\sum a^{3}}\geq \frac{(\sum a)^{2}}{4\sum ab(a+b)+4\sum a^{3}}$

Đặt $p=\sum a, q=\sum ab,r=\prod a$

$\frac{(\sum a)^{2}}{4\sum ab(a+b)+4\sum a^{3}}=\frac{p^{2}}{4p^{3}-8pq}\geq \frac{1}{4}$

Chắc là em thay nhầm rồi...em xem lại xem

đấy, em làm bị ngược 1 tảng

vâng, máy tính của em có vđ, em làm kiểu này, có 1 tảng tn bị ngược dấu

$\sum \frac{a^{3}+5}{a^{3}(b+c)}\geq \sum \frac{1}{b+c}+5\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}=\sum \frac{1}{a+b}+5\sum \frac{\frac{1}{a^{2}}}{a(b+c)}\geq \sum \frac{1}{a+b}+\frac{5(\sum \frac{1}{a})^{2}}{2\sum ab}=\sum \frac{1}{a+b}+\sum \frac{5(\sum ab)^{2}}{\sum ab}\geq \sum \frac{1}{a+b}+\frac{15}{2}$

Áp dụng AM-GM ta có:

$\frac{a^{3}+5}{a^{3}(b+c)}\geq \frac{3a+3}{a^{3}(b+c)}=\frac{3}{a^{2}(b+c)}+\frac{3}{a^{3}(b+c)}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}+5}{a^{3}(b+c)}\geq \sum \frac{3}{a^{2}(b+c)}+\sum \frac{3}{a^{3}(b+c)}$

Ta có:

$\sum \frac{3}{a^{2}(b+c)}=\sum \frac{3bc}{ab+ac}\geq \frac{9}{2}$(theo bất đẳng thức Nesbit)

$\sum \frac{3}{a^{3}(b+c)}=\sum \frac{3bc}{a^{2}(b+c)}=\sum \frac{3b^{2}c^{2}}{ab+ac}\geq \frac{3(ab+bc+ca)^{2}}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{2}.3\sqrt[3]{(abc)^{2}}=\frac{9}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}+5}{a^{3}(b+c)}\geq 9$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

cái này thì quá chuẩn r, nhưng em thấy nếu a khác b khác c nhé, cứ thử thay, nó đều nhỏ hơn 9

phải là max chứ, khi a#b#c thì nó luôn nhỏ hơn 9

 

Cho $a,b,c$ dương. Tìm GTNN của: $\displaystyle P = \frac{a^2+1}{b+c}+\frac{b^2+1}{c+a}+\frac{c^2+1}{a+b}$

 

$\sum \frac{a^{2}+1}{b+c}\geq 2\sum \frac{a}{b+c}\geq 2.\frac{3}{2}=3$