Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


NTA1907 nội dung

Có 1000 mục bởi NTA1907 (Tìm giới hạn từ 06-06-2016)



Sắp theo                Sắp xếp  

#685717 Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF

Đã gửi bởi NTA1907 on 27-06-2017 - 11:29 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 210: $\sqrt{2 - x^{2}} + \sqrt{2 - \dfrac{1}{x^{2}}} = 4 - (x + \dfrac{1}{x})$
Bài 211**: $\sqrt[4]{x^{4}+1}=\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x+10}$

 

Spoiler




#682216 Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF

Đã gửi bởi NTA1907 on 28-05-2017 - 17:30 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 119: Giải phương trình:

$(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

 

Spoiler

                                                                                                                                                                                                                                                           




#681988 Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF

Đã gửi bởi NTA1907 on 26-05-2017 - 11:20 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 118: Giải phương trình:

$4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

 

Spoiler




#681895 cho x, y, z >0; $2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=...

Đã gửi bởi NTA1907 on 25-05-2017 - 13:18 trong Bất đẳng thức và cực trị

cho x, y, z >0; $2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=1$

cmr $\frac{3yz}{x}+\frac{4xz}{y}+\frac{5xy}{z}\geq 4$

Hình như đề gõ nhầm...m đã sửa ở trên.

Áp dụng AM-GM ta có:

$\frac{3yz}{x}+\frac{4zx}{y}+\frac{5xy}{z}=\left ( \frac{yz}{x}+\frac{zx}{y} \right )+2\left ( \frac{yz}{x}+\frac{xy}{z} \right )+3\left ( \frac{xy}{z}+\frac{zx}{y} \right )\geq 2z+2.2y+3.2x=2(z+x)+4(x+y)\geq 2.2\sqrt{zx}+4.2\sqrt{xy}=4$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$




#673343 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[m]...

Đã gửi bởi NTA1907 on 03-03-2017 - 12:57 trong Các bài toán và vấn đề về Dãy số - Giới hạn

Cho $m,n$ là các số nguyên dương; $\alpha ,\beta ,\gamma$ là các hằng số cho trước$(\gamma \neq 0)$. Hãy tìm giới hạn sau:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[m]{cos\alpha x}-\sqrt[n]{cos\beta x}}{sin^{2}\gamma x}$




#672485 cho a,b,c>0 thỏa a2 + b2 + c2 = 3. chứng minh $\frac{ab...

Đã gửi bởi NTA1907 on 23-02-2017 - 14:19 trong Bất đẳng thức và cực trị

cho a,b,c>0 thỏa a2 + b2 + c2 = 3. chứng minh $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq 3$

Ta có:
$\left ( \dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b} \right )^{2}=\dfrac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}}{b^{2}}+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq \sum \frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=9$
$\Rightarrow$ đpcm




#671306 Topic về phương trình và hệ phương trình

Đã gửi bởi NTA1907 on 12-02-2017 - 19:09 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 554: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{5-x^{2}}+\sqrt{5-\dfrac{1}{x^{2}}}=3+y^{2} \\ &x+\dfrac{1}{x}=2(3-2y) \end{matrix}\right.$




#671291 $x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}...

Đã gửi bởi NTA1907 on 12-02-2017 - 16:50 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Anh không dùng lượng giác thì còn cách nào không ạ

Vì bài này có nghiệm xấu nên lượng giác sẽ là hướng tiếp cận tối ưu nhất cho bài toán.




#671272 $x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}...

Đã gửi bởi NTA1907 on 12-02-2017 - 14:30 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải phương trình $x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}$.

Đặt $x=2cos\alpha ,\alpha \in \left [ \frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$
Khi đó phương trình trở thành:
$2cos\alpha =\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2(1+cos\alpha )}}}$
$\Leftrightarrow 2cos\alpha =\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2.2cos^{2}\frac{\alpha }{2}}}}$
$\Leftrightarrow 2cos\alpha =\sqrt{2+\sqrt{2(1-cos\frac{\alpha }{2})}}$
$\Leftrightarrow 2cos\alpha =\sqrt{2+\sqrt{2.2sin^{2}\frac{\alpha }{4}}}$
$\Leftrightarrow 2cos\alpha =\sqrt{2(1+sin\frac{\alpha }{4})}$
$\Leftrightarrow 2cos\alpha =\sqrt{2(sin\frac{\alpha }{8}+cos\frac{\alpha }{8})^{2}}$
$\Leftrightarrow 2cos\alpha =\sqrt{2}.\sqrt{2}cos\left ( \frac{\alpha }{8}-\frac{\pi }{4} \right )$
$\Leftrightarrow cos\alpha =cos\left ( \frac{\alpha }{8}-\frac{\pi }{4} \right )$
...



#670989 $u_{n+1}=u_{n}^{2}-u_{n}+1$

Đã gửi bởi NTA1907 on 10-02-2017 - 13:35 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy số $(u_{n}):\left\{\begin{matrix} &u_{1}=2 \\ &u_{n+1}=u_{n}^{2}-u_{n}+1, n\geq 1 \end{matrix}\right.$

Tìm CTTQ của $u_{n}$




#670618 Tìm max : M=$(a+b+c)^{3}-(a+b+c)+6abc$

Đã gửi bởi NTA1907 on 07-02-2017 - 12:38 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a,b,c là 3 số thực không âm và thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm max :

   M=$(a+b+c)^{3}-(a+b+c)+6abc$

$M=(a+b+c)\left [ (a+b+c)^{2}-1 \right ]+6abc\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\left [ 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-1 \right ]+6\sqrt{\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}}{27}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$



#670399 Max $P=\sum \frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+...

Đã gửi bởi NTA1907 on 29-01-2017 - 22:54 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 

$P=\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}$

Ta có:
$5a^{2}+2ab+2b^{2}=(2a+b)^{2}+(a-b)^{2}\geq (2a+b)^{2}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{5a^{2}+2ab+2b^{2}}}\leq \sum \frac{1}{2a+b}\leq \frac{1}{9}\sum \left ( \frac{2}{a}+\frac{1}{b} \right )=\frac{1}{3}\sum \frac{1}{a}\leq \frac{1}{3}\sqrt{3\sum \frac{1}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$



#670193 $lim2^{n}\sqrt{2-u_{n}}$

Đã gửi bởi NTA1907 on 27-01-2017 - 23:48 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy số $(u_{n})$ thoả mãn điều kiện: $u_{1}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}$ với mọi $n=1,2,...$. CMR: Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn và tìm $lim2^{n}\sqrt{2-u_{n}}$




#670165 Topic về phương trình và hệ phương trình

Đã gửi bởi NTA1907 on 27-01-2017 - 19:59 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 553: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &2x+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x-y}=\dfrac{16}{3} \\ &2(x^{2}+y^{2})+\dfrac{1}{(x+y)^{2}}+\dfrac{1}{(x-y)^{2}}=\dfrac{100}{9} \end{matrix}\right.$



#670154 $x_{1}=1$, $x_{n+1}=(1+\frac{3}{n})x_{n}+2-\frac{3}{...

Đã gửi bởi NTA1907 on 27-01-2017 - 17:14 trong Các bài toán và vấn đề về Dãy số - Giới hạn

Bài $1$: Tìm CTTQ của dãy số $(x_{n})$, biết: $x_{1}=1$ và $x_{n+1}=(1+\frac{3}{n})x_{n}+2-\frac{3}{n}$ $\forall n\in\mathbb{N^{*}}$

Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được CTTQ của dãy số là: $x_{n}=\frac{n(n-1)(n+4)}{6}+1$




#669886 $\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x-x^{2}+1}=x^{2}-x+2$

Đã gửi bởi NTA1907 on 25-01-2017 - 15:56 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x-x^{2}+1}=x^{2}-x+2$

ĐK: $x^{2}+x-1\geq 0,x-x^{2}+1\geq 0$
Áp dụng AM-GM:
$1.\sqrt{x^{2}+x-1}+1.\sqrt{x-x^{2}+1}\leq \frac{1+x^{2}+x-1}{2}+\frac{x-x^{2}+1+1}{2}=x+1$
$\Rightarrow x^{2}-x+2\leq x+1$
$\Leftrightarrow (x-1)^{2}\leq 0\Leftrightarrow x=1$(thoả mãn)



#669735 Cho a+b+c=12. Chứng minh : $\sum \sqrt{a^2+8}\g...

Đã gửi bởi NTA1907 on 24-01-2017 - 20:04 trong Bất đẳng thức và cực trị

Cho a+b+c=12. Chứng minh : $\sum \sqrt{a^2+8}\geq 6\sqrt{6}$

Cách khác...

Áp dụng Min-cốp-xki ta có:

$\sum \sqrt{a^{2}+8}\geq \sqrt{\left ( \sum a \right )^{2}+\left ( 3.2\sqrt{2} \right )^{2}}=6\sqrt{6}$




#669681 Topic về phương trình và hệ phương trình

Đã gửi bởi NTA1907 on 24-01-2017 - 12:54 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 485: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{3}-y}=\dfrac{2y}{x(4x-1)} \\ &\sqrt[3]{2x^{2}+8y}=\dfrac{7-4y}{x(x+1)} \end{matrix}\right.$

 

ĐK: $x^{3}-y\geq 0, x\neq 0,x\neq \dfrac{1}{4},x\neq -1$

Đặt $\sqrt{x^{3}-y}=t, t\geq 0 \Rightarrow y=x^{3}-t^{2}$

Khi đó từ PT(1)$\Rightarrow t=\dfrac{2(x^{3}-t^{2})}{x(4x-1)}$

$\Leftrightarrow tx(4x-1)=2(x^{3}-t^{2})$

$\Leftrightarrow (2x^{2}+t)(x-2t)=0$

...

 

Spoiler




#669446 1, Với x, y >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\sqrt...

Đã gửi bởi NTA1907 on 22-01-2017 - 21:31 trong Bất đẳng thức và cực trị

1, Với x, y >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

đây




#667864 Chứng minh rằng $u_{1996}\vdots 1997$

Đã gửi bởi NTA1907 on 10-01-2017 - 12:39 trong Dãy số - Giới hạn

Còn có cách nào khác cho bài toán này nữa không nhỉ?




#667792 Chứng minh rằng $u_{1996}\vdots 1997$

Đã gửi bởi NTA1907 on 09-01-2017 - 21:01 trong Dãy số - Giới hạn

Ta có

$u_{n+1}=4u_n+5u_{n-1}-1975\Leftrightarrow (u_{n+1}-\frac{1975}{8})-4(u_{n}-\frac{1975}{8})-5(u_{n-1}-\frac{1975}{8})=0$

Đặt

$v_{n}=u_{n}-\frac{1975}{8}$

Khi đó thì

$v_{n+1}-4v_{n}-5v_{n}=0$

Xét phương trình đặc trưng

$x^2-4x-5=0$

Có $2$ nghiệm là

$x_1=5; x_2=-1$

Khi đó công thức tổng quát của $v_n$ là

$v_n=\alpha5^n+\beta(-1)^n$

Ta lại có

$v_1=\frac{-1919}{8};v_2=\frac{-1575}{8}$

Từ đó tìm ra

$\alpha=\frac{-1747}{120},\beta=\frac{2005}{12}$

Do đó công thức của $u_n$ là

$u_n=\frac{-1747}{120}.5^n+\frac{2005}{12}.(-1)^n+\frac{1975}{8}$

Suy ra 

$u_{1996}=\frac{-1747.5^n+(-1)^n.20050+29625}{120}$

Mà theo $Fermat$ và phép chia cho $1997$ có

$-1747.5^n+(-1)^n.20050+29625\equiv -1747+80+1667\equiv 0(mod 1997)$

Vậy ta có đpcm.

 

P/s: Cách này trâu bò nhỉ?




#667688 Chứng minh rằng $u_{1996}\vdots 1997$

Đã gửi bởi NTA1907 on 08-01-2017 - 22:39 trong Dãy số - Giới hạn

Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định như sau:$\left\{\begin{matrix} &u_{1}=7,u_{2}=50 \\ &u_{n+1}=4u_{n}+5u_{n-1}-1975 \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng: $u_{1996}\vdots 1997$.



#666776 Topic về phương trình và hệ phương trình

Đã gửi bởi NTA1907 on 03-01-2017 - 12:56 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

Bài 551: $\left\{\begin{matrix} &(x-y)^{4}=13x-4 \\ &\sqrt{x+y}+\sqrt{3x-y}=\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

 

P/s: Lâu rồi mới thấy bác on :D




#666154 $\sqrt{\frac{x + 7}{x + 1}} + 8...

Đã gửi bởi NTA1907 on 29-12-2016 - 13:39 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Giải pt: $\sqrt{\frac{x + 7}{x + 1}} + 8 = 2x^2 + \sqrt{2x - 1}$

ĐK: $x\geq \frac{1}{2}$
PT$\Leftrightarrow 2x^{2}-8+\left ( \sqrt{2x-1}-\sqrt{\frac{x+7}{x+1}} \right )=0$
$\Leftrightarrow 2x^{2}-8+\dfrac{2x-1-\frac{x+7}{x+1}}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{\frac{x+7}{x+1}}}=0$
$\Leftrightarrow 2x^{2}-8+\dfrac{2x^{2}-8}{(x+1)\left ( \sqrt{2x-1}+\sqrt{\frac{x+7}{x+1}} \right )}=0$
$\Leftrightarrow (2x^{2}-8)\left ( 1+\dfrac{1}{(x+1)\left ( \sqrt{2x-1}+\sqrt{\frac{x+7}{x+1}} \right )} \right )=0$
$\Rightarrow x=2$(vì phần trong ngoặc luôn dương)



#666151 Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF

Đã gửi bởi NTA1907 on 29-12-2016 - 13:14 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình

$$3(y^2u+u^3)=2(2y^{3} +y^{2}u).$$ tại sao lại thế bạn

Hệ: $\left\{\begin{matrix} &y^{2}u+u^{3}=2 \\ &2y^{3}+y^{2}u=3 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 3(y^{2}u+u^{3})=2(2y^{3}+y^{2}u)=6$