Bài 210: $\sqrt{2 - x^{2}} + \sqrt{2 - \dfrac{1}{x^{2}}} = 4 - (x + \dfrac{1}{x})$
Bài 211**: $\sqrt[4]{x^{4}+1}=\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x+10}$

Bài 119: Giải phương trình:

$(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

Bài 118: Giải phương trình:

$4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

cho x, y, z >0; $2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=1$

cmr $\frac{3yz}{x}+\frac{4xz}{y}+\frac{5xy}{z}\geq 4$

Hình như đề gõ nhầm...m đã sửa ở trên.

Áp dụng AM-GM ta có:

$\frac{3yz}{x}+\frac{4zx}{y}+\frac{5xy}{z}=\left ( \frac{yz}{x}+\frac{zx}{y} \right )+2\left ( \frac{yz}{x}+\frac{xy}{z} \right )+3\left ( \frac{xy}{z}+\frac{zx}{y} \right )\geq 2z+2.2y+3.2x=2(z+x)+4(x+y)\geq 2.2\sqrt{zx}+4.2\sqrt{xy}=4$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

Cho $m,n$ là các số nguyên dương; $\alpha ,\beta ,\gamma$ là các hằng số cho trước$(\gamma \neq 0)$. Hãy tìm giới hạn sau:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[m]{cos\alpha x}-\sqrt[n]{cos\beta x}}{sin^{2}\gamma x}$

cho a,b,c>0 thỏa a² + b² + c² = 3. chứng minh $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq 3$

Ta có:
$\left ( \dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b} \right )^{2}=\dfrac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}}{b^{2}}+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq \sum \frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=9$
$\Rightarrow$ đpcm

Bài 554: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{5-x^{2}}+\sqrt{5-\dfrac{1}{x^{2}}}=3+y^{2} \\ &x+\dfrac{1}{x}=2(3-2y) \end{matrix}\right.$

Anh không dùng lượng giác thì còn cách nào không ạ

Vì bài này có nghiệm xấu nên lượng giác sẽ là hướng tiếp cận tối ưu nhất cho bài toán.

Giải phương trình $x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}$.

Cho dãy số $(u_{n}):\left\{\begin{matrix} &u_{1}=2 \\ &u_{n+1}=u_{n}^{2}-u_{n}+1, n\geq 1 \end{matrix}\right.$

Tìm CTTQ của $u_{n}$

Cho a,b,c là 3 số thực không âm và thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm max :

   M=$(a+b+c)^{3}-(a+b+c)+6abc$

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 

$P=\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}$

Cho dãy số $(u_{n})$ thoả mãn điều kiện: $u_{1}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}$ với mọi $n=1,2,...$. CMR: Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn và tìm $lim2^{n}\sqrt{2-u_{n}}$

Bài 553: Giải hệ phương trình:

Bài $1$: Tìm CTTQ của dãy số $(x_{n})$, biết: $x_{1}=1$ và $x_{n+1}=(1+\frac{3}{n})x_{n}+2-\frac{3}{n}$ $\forall n\in\mathbb{N^{*}}$

Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được CTTQ của dãy số là: $x_{n}=\frac{n(n-1)(n+4)}{6}+1$

Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x-x^{2}+1}=x^{2}-x+2$

Cho a+b+c=12. Chứng minh : $\sum \sqrt{a^2+8}\geq 6\sqrt{6}$

Cách khác...

Áp dụng Min-cốp-xki ta có:

$\sum \sqrt{a^{2}+8}\geq \sqrt{\left ( \sum a \right )^{2}+\left ( 3.2\sqrt{2} \right )^{2}}=6\sqrt{6}$

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 485: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{3}-y}=\dfrac{2y}{x(4x-1)} \\ &\sqrt[3]{2x^{2}+8y}=\dfrac{7-4y}{x(x+1)} \end{matrix}\right.$

 

Tết có thời gian khởi động cho có không khí ngày xuân mọi người ơi

ĐK: $x^{3}-y\geq 0, x\neq 0,x\neq \dfrac{1}{4},x\neq -1$

Đặt $\sqrt{x^{3}-y}=t, t\geq 0 \Rightarrow y=x^{3}-t^{2}$

Khi đó từ PT(1)$\Rightarrow t=\dfrac{2(x^{3}-t^{2})}{x(4x-1)}$

$\Leftrightarrow tx(4x-1)=2(x^{3}-t^{2})$

$\Leftrightarrow (2x^{2}+t)(x-2t)=0$

...

Spoiler

Tết năm nay có vẻ chán nhỉ  

1, Với x, y >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

Ở đây

Còn có cách nào khác cho bài toán này nữa không nhỉ?

Ta có

$u_{n+1}=4u_n+5u_{n-1}-1975\Leftrightarrow (u_{n+1}-\frac{1975}{8})-4(u_{n}-\frac{1975}{8})-5(u_{n-1}-\frac{1975}{8})=0$

Đặt

$v_{n}=u_{n}-\frac{1975}{8}$

Khi đó thì

$v_{n+1}-4v_{n}-5v_{n}=0$

Xét phương trình đặc trưng

$x^2-4x-5=0$

Có $2$ nghiệm là

$x_1=5; x_2=-1$

Khi đó công thức tổng quát của $v_n$ là

$v_n=\alpha5^n+\beta(-1)^n$

Ta lại có

$v_1=\frac{-1919}{8};v_2=\frac{-1575}{8}$

Từ đó tìm ra

$\alpha=\frac{-1747}{120},\beta=\frac{2005}{12}$

Do đó công thức của $u_n$ là

$u_n=\frac{-1747}{120}.5^n+\frac{2005}{12}.(-1)^n+\frac{1975}{8}$

Suy ra 

$u_{1996}=\frac{-1747.5^n+(-1)^n.20050+29625}{120}$

Mà theo $Fermat$ và phép chia cho $1997$ có

$-1747.5^n+(-1)^n.20050+29625\equiv -1747+80+1667\equiv 0(mod 1997)$

Vậy ta có đpcm.

 

P/s: Cách này trâu bò nhỉ?

Bài 551: $\left\{\begin{matrix} &(x-y)^{4}=13x-4 \\ &\sqrt{x+y}+\sqrt{3x-y}=\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

P/s: Lâu rồi mới thấy bác on

Giải pt: $\sqrt{\frac{x + 7}{x + 1}} + 8 = 2x^2 + \sqrt{2x - 1}$

$$3(y^2u+u^3)=2(2y^{3} +y^{2}u).$$ tại sao lại thế bạn