Đến nội dung

UphluMuach nội dung

Có 15 mục bởi UphluMuach (Tìm giới hạn từ 29-03-2020)


Sắp theo                Sắp xếp  

#644032 Chọn đội tuyển HSG quốc gia 2015-2016 PTNK( ngày 1)

Đã gửi bởi UphluMuach on 07-07-2016 - 20:52 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài 1, ngày 1:
Phát biểu lại đề bài như sau: tìm số các số nguyên $a \in A$ là số dư chính phương $\pmod{2016}$.

Ta có bổ đề sau: (CM bổ đề tương đối đơn giản, sử dụng định lý thặng dư Trung Hoa)
"Cho $a$ là số dư chính phương theo các modulo $n_1, n_2,..., n_k$ và $(n_i; n_j) =1 \forall 1 \le i, j \le k, i \ne j$. Khi đó a là số dư chính phương modulo $n_1n_2...n_k$."

Trở lại với bài toán ban đầu, ta có: $2016 = 2^5.3^2.7 (= 32.9.7)$
Gọi $A_p$ là tập hợp các số dư chính phương modulo $p$, ta có:
$A_{32} =$ {$1; 9; 17; 25$}
$A_9 =$ {$1; 4; 7$}
$A_7 =$ {$1; 2; 4$}
Áp dụng định lý thặng dư Trung Hoa và bổ đề trên, có $4.3.3 = 36$ số chính phương modulo $2016$.
Vậy số các số $a$ cần tìm là $36$.



#643873 Chọn đội tuyển HSG quốc gia 2015-2016 PTNK( ngày 1)

Đã gửi bởi UphluMuach on 06-07-2016 - 18:13 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài 1, ngày 2:
Trước hết, ta CM bổ đề:
"Cho $a_n = 1 + \dfrac{1}{2} + ... + \dfrac{1}{n}$. Khi đó $\lim a_n = +\infty$"
Cách CM tham khảo tại: https://en.m.wikiped...s_(mathematics)

Trở lại bài toán.
Đặt $u_n = x_1 + x_3 + ... + x_{2n-1}$, $v_n = x_2 + x_4 + .... + x_{2n}
\Rightarrow v_n > \dfrac{a_n}{2}
\Rightarrow (v_n)$ là dãy tăng và $\lim v_n = +\infty$
Lại có: $\lim \dfrac{u_{n+1} - u_n}{v_{n+1} - v_n} = \lim \dfrac{x_{2n+1}}{x_{2n+2}} = lim \dfrac{2n+2}{2n+1}. \dfrac{cos(\dfrac{1}{2n+2})}{cos(\dfrac{1}{2n+1})} = 1 \Rightarrow \lim \dfrac{u_n}{v_n} = 1$ (Định lý Stolz)
Vậy giới hạn cần tìm là 1



#613111 $f(2f(x)+y)=x+f(2f(y)-x)$

Đã gửi bởi UphluMuach on 05-02-2016 - 20:06 trong Phương trình hàm

Tìm tất cả các hàm $f: R^+ \rightarrow R^+$ thỏa: $x^2f(f(x)+f(y))=(x+y)f(yf(x)) \forall x,y \in R^+$



#612307 $f(2f(x)+y)=x+f(2f(y)-x)$

Đã gửi bởi UphluMuach on 01-02-2016 - 20:23 trong Phương trình hàm

Tìm tất cả các hàm $f: N* \rightarrow N*$ thỏa: $f$ tăng nghiêm ngặt và $f(mf(n))=n^2f(mn) \forall m, n \in N*$



#612135 $f(2f(x)+y)=x+f(2f(y)-x)$

Đã gửi bởi UphluMuach on 01-02-2016 - 13:53 trong Phương trình hàm

Tìm tất cả các hàm $f: R \rightarrow R$ thỏa: $f(2f(x)+y)=x+f(2f(y)-x) \forall x,y \in R$



#611488 $f(x)-f(y)=(x^2-y^2)g(x-y)$

Đã gửi bởi UphluMuach on 28-01-2016 - 17:06 trong Phương trình hàm

Tìm tất cả các hàm số $f, g: R \rightarrow R$ thỏa: $f(x)-f(y)=(x^2-y^2)g(x-y)$



#610836 $4(a+b+c)=3abc$

Đã gửi bởi UphluMuach on 24-01-2016 - 21:29 trong Bất đẳng thức và cực trị

1) Cho $4(a+b+c)=3abc$
CM $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq \frac{3}{8}$
 
2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$
Biết $x+y+z=1$

Bài 2: $\dfrac{x^3}{x^2+yz}=\dfrac{x(x^2+yz)-xyz}{x^2+yz}=x-\dfrac{xyz}{x^2+yz} \ge x-\dfrac{xyz}{2x.\sqrt{yz}}=x-\dfrac{\sqrt{yz}}{2}$
Tương tự với 2 phân thức còn lại, cộng theo vế, ta có:
VT $\ge (x+y+z)-\dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{2} \ge 1-\dfrac{\sqrt{3(xy+yz+zx)}}{2} \ge 1-\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{1}{2}$
Đẳng thức $\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}$



#610828 Giải phương trình nghiệm nguyên:$x^2+y^2+z^2+t^2=2xyzt$

Đã gửi bởi UphluMuach on 24-01-2016 - 21:17 trong Số học

Không mất tính tổng quát, do $xyzt \ge 0$ nên có thể xét $x,y,z,t$ là các số không âm.
Rõ ràng $(x;y;z;t)=(0;0;0;0)$ là 1 bộ nghiệm của PT.
Ta sẽ xét TH $x,y,z,t$ nguyên dương. Gọi $(x_0;y_0;z_0;t_0)$ là 1 bộ nghiệm PT. Dễ dàng CM: $x_0,y_0,z_0,t_0$ đều chẵn (xét mod 4). Đặt $x_0=2x_1, y_0=2y_2, z_0=2z_1, t_0=2t_1 (x_1, y_1, z_1, t_1 \in N*) \Rightarrow x_1^2+y_1^2+z_1^2+t_1^2=8x_1y_1z_1t_1$. CMTT, $x_1,y_1,z_1,t_1$ chẵn.
Đến đây, ta dễ đang nhận ra: với bộ nghiệm trên, nếu $x_0 \vdots 2^k$ thì $x_0 \vdots 2^{k+1}$. Đặt $v_2(x_0)=s (s \in N*)$, dễ CM $x_0 \vdots 2^{s+1}$, vô lý.
Vậy bộ nghiệm duy nhất thỏa PT trên là $(0;0;0;0)$



#610819 Đề thi chọn đội dự tuyển môn toán PTNK năm 2015-2016

Đã gửi bởi UphluMuach on 24-01-2016 - 20:56 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài 1.1 mình có ý tưởng thế này nhưng ko hay lắm.
Từ gt dễ dàng biến đổi được: $A=\frac{y+1}{x}+\frac{1}{x^{2}}$
Ta có: $x^{2}y^{2}+2x^{2}y+1=0$ nên: $y=\pm \frac{\sqrt{x^{4}-x^{2}}}{x^{2}}-1=\pm \frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x}-1$
Tới đây thay vào A ta đưa về tìm GTLN của: $A=\frac{\sqrt{x^{2}-1}+1}{x^{2}}$
Và tìm GTNN của: $A=\frac{-\sqrt{x^{2}-1}+1}{x^{2}}$
Khảo sát hàm với điều kiện $x^{2}\geq 1$ ta tìm đc min, max của A

Nói sơ thì vậy nhưng trình bày thì phải xét trường hợp loạn xạ cả lên, tìm dấu = xảy ra cũng mệt nữa. Chéc có những cách khác hay hơn

Thực ra về bản chất, cách làm của mình cũng giống cách làm của bạn...:
$A=\dfrac{2xy+2x+1}{x^2}-y(y+2)=\dfrac{2xy+2x+2-(x^2y^2+2x^2y+1)}{x^2}=2.\dfrac{x(y+1)+1}{x^2}$
Lại có: $x^2y^2+2x^2y+1=0 \Rightarrow x^2(y+1)^2=x^2-1 \Rightarrow -\sqrt{x^2-1} \le x(y+1) \le \sqrt{x^2-1}$. Đến đây cũng xét TH loạn xạ, nhưng xài Cauchy với cân bằng hệ số.



#610816 Đề thi chọn đội dự tuyển môn toán PTNK năm 2015-2016

Đã gửi bởi UphluMuach on 24-01-2016 - 20:42 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

$a_{k+4} = - a_{k+2} - 10a_{k+1} \ge 0$
Làm sao tìm được cái đó vậy bạn @@

À, cái này mình làm hơi tắt :v
$a_{k+4}=2a_{k+3}-5a_{k+2}=2(2a_{k+2}-5a_{k+1})-5a_{k+2}=-a_{k+2}-10a_{k+1}
\Rightarrow a_{k+4}+a_{k+2}+10a_{k+1}=0$
Mà: $a_t \ge 0 \forall t \in N*, t>k$
Nên: $a_{k+4}=a_{k+2}=a_{k+1}=0 \Rightarrow a_k= \dfrac{2a_{k+1}-a_{k+2}}{5} = 0$ (Vô lý do $a_k < 0$)
Suy ra đpcm.



#610642 Đề thi chọn đội dự tuyển môn toán PTNK năm 2015-2016

Đã gửi bởi UphluMuach on 23-01-2016 - 22:47 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài 2
Ta có: $(a+b+c+d) \vdots p, (a^3+b^3+c^3+d^3) \vdots p
\Rightarrow ((a+b)^3+(c+d)^3-3(ab(a+b)+cd(c+d))) \vdots p
\Rightarrow ((a+b)(ab-cd)+(a+b+c+d)cd) \vdots p$ (do $(3;p) = 1$)
$\Rightarrow (a+b)(ab-cd) \vdots p
\Rightarrow (a+b) \vdots p \vee (ab-cd) \vdots p$
- Với $(a+b) \vdots p$, ta có: $(c+d) \vdots p$. Dễ thấy $(a^{2015}+b^{2015})\vdots (a+b), (c^{2015}+d^{2015} \vdots (c+d)$. Dễ dàng suy ra $S_{2015} \vdots p$
- Với $(ab-cd) \vdots p$, ta có: $((a+b)^2-(c+d)^2) \vdots p
\Rightarrow (a^2-c^2+b^2-d^2) \vdots p
\Rightarrow ((a-c-b+d)(a+c)+(b-d)(a+b+c+d)) \vdots p
\Rightarrow -(a+c)(a+b+c+d)+2(a+c)(a+d) \vdots p
\Rightarrow (a+c) \vdots p \vee (a+d) \vdots p$ (do $(2;p)=1$). CMTT TH trên.
Ta có đpcm.



#610620 Đề thi chọn đội dự tuyển môn toán PTNK năm 2015-2016

Đã gửi bởi UphluMuach on 23-01-2016 - 21:22 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Bài 4
a) Ta thấy trong dãy luôn có ít nhất 1 số dương ($a_1$) và 1 số âm ($a_4$). Giả sử tồn tại hữu hạn số nguyên âm trong dãy.
$\Rightarrow \exists k \in N*$ :
$\begin{cases}
a_k < 0 \\
a_t \ge 0 \forall t \in N*, t>k
\end{cases}$
Ta có: $a_{k+4} = - a_{k+2} - 10a_{k+1} \ge 0 \Rightarrow$ dễ dàng CM được $a_{k} = 0$, vô lý.
CMTT với số dương.
b) Giả sử tồn tại $t \in N*$ : $19|a_t$. Dễ dành kiểm chứng $t \ge 7$. Gọi $A =$ {$x \in N* | 19|a_x$}, $k = minA (k \ge 7)$. Dễ dàng CM: $19|a_{k-5} \Rightarrow k-5 \in A$ (do $k-5 \in N*$) (vô lý do $k = minA$)
Do đó điều giả sử là sai. Vậy không tồn tại phần tử nào thuộc dãy chia hết cho 19.



#606184 Topic về Hàng điểm điều hòa,chùm điều hòa và tứ giác điều hòa

Đã gửi bởi UphluMuach on 30-12-2015 - 21:06 trong Hình học phẳng

Mọi người giúp mình bài này với, cảm ơn nhiều!
"Cho tam giác $ABC$, trực tâm $H$, 1 đường thẳng $d$ qua $H$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $P, Q$. 1 đường thẳng $d' \perp d$ ($H \in d'$) cắt $BC$ tại $M$. CM: $\frac{HP}{HQ} = \frac{MB}{MC}$. (Mấy cái $HP, HQ, MB, MC$ là giá trị đại số hết nha, mình không biết gõ giá trị đại số bằng latex, mọi người thông cảm.)



#603246 Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố dạng $4k+3$ ($k...

Đã gửi bởi UphluMuach on 14-12-2015 - 21:43 trong Số học

Cho minh hỏi, có bạn nào biết cách CM định lý Dirichlet tổng quát về cấp số cộng không: Cho $(a; d)=1$. CM: trong cấp số cộng có số hạng đầu $a$ và công sai $d$, tồn tại vô hạn các số nguyên tố. Xin cảm ơn rất nhiều.



#603132 Bất đẳng thức thuần nhất có điều kiện,kĩ thuật chuẩn hóa

Đã gửi bởi UphluMuach on 14-12-2015 - 14:54 trong Bất đẳng thức và cực trị

Chuẩn hoá bđt: Khi bậc của 2 vế của bđt bằng nhau thì có thể gán cho $abc$; $a+b+c$; $ab+bc+ca$; $a^2+b^2+c^2$;...một giá trị bất kỳ (hằng số). Ta chọn giá trị phù hợp để gán.