Cho hai điểm phân biệt $A,B$ nằm bên trong đường tròn tâm $O$ cố định và bán kính $R$ không đổi. Tìm vị trí của $M$ nằm trên đường tròn đó để tổng $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.

Tìm các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x+m}{mx+1}$ không có tiệm cận đứng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho điểm $A(4;-4;2)$ và mặt phẳng $(P):2x-2y+z=0$. Gọi $M$ là điểm nằm trong mặt phẳng $(P)$. $N$ là trung điểm của $OM$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $AM$. Biết rằng khi $M$ thay đổi thì đường thẳng $HN$ luôn tiếp xúc với $1$ mặt cầu cố định. Tính bán kính $R$ của mặt cầu đó

Cho số phức $z_{1}$ thoả $|z-2|^{2}-|z+i|^{2}=1$

và số phức $z_{2}$ thoả $|z-4-i|=\sqrt{5}$

Tìm min $|z_{1} - z_{2}|$

Quả bóng đá mà chúng ta thường nhìn thấy hôm nay được ghép từ những miếng da hình lục giác đều và ngũ giác đều lại với nhau nhưng ít người biết được cha đẻ của nó là kiến trúc sư nổi tiếng Richard Buckminster Fuller. Thiết kế của ông còn được đi vào huyền thoại với một giải Nobel hóa học khi các nhà khoa học ở Đại học Rice phát hiện ra một phân tử chứa các nguyên tử các bon có vai trò lớn trong công nghệ nano hiện nay. Loại bóng này được sử dụng lần đầu tiên tại Vòng chung kết World Cup $1970$ ở Mexico và cho đến nay vẫn là một kiệt tác. Nếu xem mỗi miếng da của quả bóng khi khâu xong là một mặt phẳng, hỏi quả bóng đó khi chưa bơm căng là một hình đa diện có bao nhiêu cạnh ?

A. $180$ cạnh

B. $120$ cạnh

C. $60$ cạnh

D. $90$ cạnh

Cách này thiên về biến đổi

$w=(3+4i)z+3i$

$\frac{w-3i}{3+4i}=z$

$\frac{|w-3i|}{|3+4i|}=|z|$

$|w-3i|=|z||3+4i|$

$|w-3i|=5$

và cũng suy ra $r=5$

Cho đường thẳng $\Delta : \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+2}{-3}$ và hai điểm $A(1;-1;-1)$ và $B(-2;-1;1)$. Gọi $C$ , $D$ là
hai điểm di động trên đường thẳng $\Delta$ sao cho tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện $ABCD$ luôn nằm trên tia $Ox$.
Tính độ dài đoạn thẳng $CD$.

A. $CD=\sqrt{17}$

B. $CD=\frac{3\sqrt{17}}{11}$

C. $CD=\frac{2\sqrt{17}}{17}$

D. $CD=\sqrt{13}$

• $f'(x)>0$ Khi $x<1$
   
• $f'(x)=0$ Khi $1<x<2$
   
• $f'(x)>0$ Khi $x>2$

Nếu $M$ là trung điểm của đoạn $AB$ ta có

$\begin{cases} x_{M}= \frac{1}{2}(x_{A}+x_{B}) \\ y_{M}= \frac{1}{2}(y_{A}+y_{B}) \end{cases}$

Nếu $M$ thuộc đoạn $AB$ và $AM$ = $2MB$ thì toạ độ $3$ điểm $A,B,C$ có mối liên hệ gì?

Tìm mối liên hệ đó trong TH $M$ thuộc $AB$ và $AM$=$kMB$ $(k>0)$

Cho số phức z thoả mãn $|z|=1$

Tìm min max của $A = |z^{3}-z+2|$

Phải sửa đề bài như sau sẽ chặt chẽ hơn:

Đồ thị hàm số $y=ax^{4}+bx^{2}+c$ ,$a \in R$ có các hệ số $a,b,c$

sao cho đồ thị có đúng $1$ điểm cực đại và có thể có hoặc không có điểm cực tiểu

mình chia trường hợp và thu gọn lại, nếu không nhầm thì mệnh đề đúng phải là

$a \in R,b<0$ hoặc $a<0,b=0$

...khi đó ta có $ab<0$

Xét tính đúng sai mệnh đề trên

Hình Chóp SABC có SA vuông đáy, AH vuông SB, AK vuông SC

Chứng minh rằng A,B,C,H,K cùng thuộc một mặt cầu

Cho các BPT sau :

$-a < x < a$ (1)
$-a < x + \frac{1}{2} < a$ (2)
 

Tính số nghiệm nguyên của mỗi BPT(ẩn x) theo a

Cho cấu trúc quần thể    $a$ AA ; $b$ Aa ; $c$ aa

1/ Tìm mối liên hệ a,b,c, để quần thể đạt trạng thái cân bằng

2/ Viết cấu trúc của quần thể sau :

a/ n thế hệ ngẫu phối

b/ n thế hệ tự phối (tự thụ phấn)

 Đến đây bạn xét 3 trường hợp...

Mình thấy chưa suy ra được gì, bạn có thể giải thích rõ ràng hơn?

Tung độ của 2 điểm B,C phải là  $\frac{-b^{2}}{4a}+c$. Từ đây suy ra mối liên hệ  $6c=\frac{b^{2}}{a}$

Cho miền D giới hạn bởi đường tròn $(C): x^{2}+y^{2}=8$ và parabol $(P): y^{2}=2x$

Hãy tính gần đúng thể tích V sinh bởi D khi quay xung quanh trục Ox

$d_{1}:\begin{cases} x=t_{1} \\ y=0 \\ z=0 \end{cases}$

$d_{2}:\begin{cases} x=1 \\ y=t_{2} \\ z=0 \end{cases}$

$d_{3}:\begin{cases} x=1 \\ y=0 \\ z=t_{3} \end{cases}$

Tìm $(P)$ qua $H(3;2;1)$ cắt 3 đường thẳng trên tại A,B,C sao cho H là trực tâm tam giác ABC

A. $2x+2y+z-11=0$

B. $x+y+z-6=0$

C. $2x+2y-z-9=0$

D. $3x+2y+z-14=0$

Tìm mối liên hệ giữa a,b,c để đồ thị hàm số $y=ax^{4}+bx^{2}+c$

có 3 cực trị tạo thành 1 tam giác nhận gốc toạ độ O(0;0) làm trọng tâm

Cho số phức z thoả $11z^{10}+10iz^{9}+10iz-11=0$

Chứng minh rằng môđun của số phức z bằng 1

Cho 2 đồ thị hàm số $y = f(x)$ (C₁) và $y=f(x)^{f(x)}$ (C₂) với $f(x)$ là hàm đa thức

a/ Giả sử $f(x)$ có tập giá trị là R. Chứng minh rằng (C₁) luôn tiếp xúc (C₂)

b/ Tìm điều kiện của đa thức $f(x)$ để (C₁) không luôn tiếp xúc (C₂)

Cho số phức z thoả |z - 2 - 2i| = 1. Số phức z - i có môđun nhỏ nhất là
 

A. $\sqrt5$ - 1

B. $\sqrt5$ + 1

C. $\sqrt5$ - 2

D. $\sqrt5$ + 2

Mình dùng bđt | (z-i) + (-i-2) | ≤ | z-i | + |-i-2|
nhưng lại suy ra |z-i| ≥ 1 - $\sqrt5$

Hình chóp có 7 trong số 8 cạnh đều bằng a, cạnh còn lại có độ dài thay đổi

Mệnh đề sau đúng hay sai

V_ChópTG ≤ $\frac{a^3}{4}$

(Đề tự chế)

 

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, B'D'

gọi P là trung điểm MN

ta có P là tâm của hình hộp

có $M =(2, -1, 1), N =(1, 1, 4), P =(\frac32, 0, \frac52)$

$\overrightarrow{PD'} =(-\frac32, 3, \frac52) =-\overrightarrow{PD} =(\frac32 -x, -y, \frac52 -z)$

$\Rightarrow x =3, y =-3, z =0$

$\Rightarrow x +2y -3z =-3$