Cho a,b,c là các số dương, chứng minh rằng: 

T= $\sum \frac{a}{3a+b+c}\leq \frac{3}{5}$

Sai đề à, bằng sao được

chắc là sai đề

Cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AH,M là trung điểm của BH .Kẻ HK vuông góc với AM.Chứng minh: KB=KA

Lộn đề rồi anh,đề là không có đẳng thức xảy ra,em ghi lộn.

Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn.Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\geqslant \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+z^{2}}$

Đề có gì sai không mấy anh chị.

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện 2c+b=abc.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S= $\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}$

Cho đường thảng d và một điểm A cố định nằm ngoài d. H là hình chiếu vuông góc của A xuống d. Hai điểm B,C thay đổi trên d sao cho góc BAC vuông.Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H xuống AB,AC.

C/m : B,E,F,c thuộc một đường tròn (O) (đã làm)

c/m Đường tròn (O) luôn đi qua 2 điểm cố định,

$2+x+x^{2}=y^{2} \Leftrightarrow 8+4x+4x^{2}=4y^{2} \Leftrightarrow (2x+1)^{2} +7 = (2y)^{2} \Leftrightarrow (2y-2x-1)(2y+2x+1)=7$ tới đây dễ rồi bạn tự làm nha

Cách này đúng không mấy anh:
$\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{x^{2}+7x+1}=4\sqrt{x} \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-x+1}-\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}+7x+1}-3\sqrt{x}\Leftrightarrow \frac{x^{2}-2x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{x}}+\frac{x^{2}-x+1}{\sqrt{x^{2}+7x+1}-3\sqrt{x}} \Leftrightarrow (x-1)^{2}.Q=0$ 

Bài 84:
Cho x,y>0 thỏa mãn x,$x^{2}+y^{2}=1$.Tìm min và max của:

$P=x^{3}+y^{3}$

Còn câu b bài 1 thì sao bạn

Phân tích đa thức thành nhân tử rồi lí luận là ra mà câu a cũng v

$\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}= 2x^2-x-3 \Leftrightarrow \frac{3x-2 - x -1}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+1}}= (2x-3)(x+1) \Leftrightarrow \frac{2x -3}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+1}}- (2x-3)(x+1)=0 \Leftrightarrow (2x-3)(\frac{1}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+1}}-1)=0$

Rồi giải nghiệm ra 

$\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}= 2x^2-x-3$

 

câu này liên hợp mà bạn,liên hợp dễ hơn,bình phương lên bậc cao khó giải

$(2) \iff y^2-5x^2=4$

 

Ta có:

 

$(1) \iff x^3+(y^2-5x^2)y-y^3-4(y^2-5x^2)x=0$

 

$\iff x^3-5x^2y-4xy^2+20x^3=0$

 

$\iff 21x^3-5x^2y-4xy^2=0$

 

$\iff x(7x-4y)(3x+y)=0$

 

$\iff x=0$    v    $7x=4y$    v     $3x=-y$

 

Đễn đây bạn thay vào PT(2) là ra.

sao có thể làm vậy được hay vậy bạn,do kinh nghiệm làm lâu hay là tư duy 

1). (1) $\frac{x}{x^{2}-y}+\frac{5y}{x+y^{2}}=4$

      (2) $5x+y+\frac{x^{2}-5y^{2}}{xy}=5$

2).(1)$x^{3}+4y-y^{3}-16x=0$

     (2) $y^{2}=5x^{2}+4$

P/s sao em bấm dấu ngoặc "{" để làm hệ mà không được

Giải phuơng trình :

1)$\sqrt{\frac{42}{5-x}} +\sqrt{\frac{60}{7-x}} =6$

2)$\sqrt{3x+1} -\sqrt{6-x}+3x^{2}-14x-8=0$

Đè 2 bài bị sao rồi bạn.. bài 6 mình vẽ hình không ra

 

Bài 18: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B, Tia Cx vuông góc với AB.Trên tia Cx lấy D và E sao cho $\frac{CE}{CB}=\frac{CA}{CD}=\sqrt{3}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC tại H(H khác C). CMR: HC luôn đi qua một điểm cố định khi C chuyển động trên đoạn AB.Bài toán còn đúng không khi thay $\sqrt{3}$ bởi m cho trước(m>0)

 

Từ tỉ số suy ra góc ADC= góc EBC =60 độ

góc DAC = góc BEC = 30 độ.

Vì H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC nên BHC = BEC =30 độ

H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC nên DHC = DAC = 30 độ 

Từ đó ta có BHC =DHC = 30 độ => B,D,H thẳng hằng 

có AHD = 90 độ(góc nội tiếng chắn nửa đường tròn) nên BHA =90 độ

=> H thuộc đường tròn ĐK AB

Gọi giao điểm của Đường tròn ĐK AB và HC là K

Ta có KHB = CHB = BEC = 30 độ

suy ra sđ cung BK = 2.KHB =2.30=60 độ(không đổi)

mà đường tròn ĐK AB cũng không đổi nên K cố định => HC luôn qua điểm cố định là điểm K sao cho cung BK của đường tròn ĐK AB =60 độ.

Bài toán vẫn đúng khi thay căn(3) =m (m>0) vì khi đó ta cũng có các góc cố định và chứng minh tương tự như trên

mình chưa hiểu chỗ "mà CI vuông góc với CD và I thuộc EF nên I là trực tâm tam giác MCO" !

Xin lỗi,mình nhầm.

Cần chứng minh KI vuông góc với OC(có c/m ở trên rồi nha),CI vuông góc với OK (do CH vuông góc AB)=> I là trực tâm của tam giác KCO

Rồi c/m OI vuông góc với CM (đường tròn(I),(O) cắt nhau tại C,D nên OI vuông góc CD);MI vuông góc với OC ( chứng minh như ở trên) => I là trực tâm tam giác MCO=> đpcm

Do vẽ M trùng K nên chứng minh dễ nhầm..

có vẻ như bạn này mới học Cô si ~~

nhầm;b,c dùng Cauchy-Schwarz dạng Engel,

b,c dùng Cauchy-Schwarz

Bài 11:Cho đường tròn(O) đường kính AB=2R. Điểm C thuộc đường tròn(C không trùng với A và B).Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C kẻ tiếp tuyến à với (O).Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC. Tia BC cắt Ax tại Q,AM cắt BC tại N, AC cắt BM tại P.

a) Gọi K là điểm chính giữa cung AB(cung không chứa C).HỎi có thể xảy ra trường hợp 3 điểm Q,M,K thẳng hàng không?

b) Xác định vị trí của C trên nửa đường tròn tâm O để đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp xúc với (O).

 

a) nếu Q,M,K thẳng hàng thì góc MQA = góc MQC (góc có đỉnh ngoài đường tròn,thế từng cung vào là ra )

=> QM là phân giác mà BM cũng là phân giác (M là trung điểm cung AC,tự chứng minh)

Nên AM cũng là phân giác => góc BAM = 45 độ => M là điểm chính giữa cung AB và cũng chính giữa AC nên C trùng B (trái với GT) 

=> không thể xảy ra trường hợp Q,M,K thẳng hàng..

Chỗ nào sai nhắc mình nha 

P/s : ai biết cách vẽ hình để đăng lên này cho dễ coi chỉ mình nha..

Đề đau ra mà nhiều vậy bạn 

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+2xy-2x-y=0 & & \\ x^4-4(x+y-1)x^2+y^2+2xy=0 & & \end{matrix}\right.$

Thử xét delta pt 1 rồi thế vào 2 thử bạn...mà chắc dài lắm 

 

Bài 10: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O)(AB<AC). Vẽ (I) qua 2 điểm A và C cắt đoạn AB,BC tại M,N.Vẽ (J) qua 3 điểm B,M,N cắt (O) tại H.CMR: BH vuông góc với IH.

 

Áp dụng bài toán phụ đó vào làm bài này.

Dễ thấy t/giác BNM đồng dạng với tam giác BAC (tứ giác ACMN nội tiếp (I)) mà J là đường tròn nội tiếp tam giác BAC 

=> BJ vuông góc với AC mà OI cũng vuông góc với AC ( đường tròn O,I cắt tại AC)

=> BJ//OI(1)

tương tự có O là đường tròn ngoại tiếp tam giác BAC nên BO vuông góc với MN mà IJ cũng vuông góc với MN ( đường tròn I,J cắt tại M,N)

=>BO//IJ (2)

từ (1),(2) suy ra tứ giác IOBJ là hình bình hành

Gọi Z là giao điểm của Ọ và BI => Z là trung điểm của BI (2 đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà đường tròn O và J cắt nhau tại B,H nên OJ vuông góc với BH và OJ đi qua trung điểm của BH

Xét tam giác BHI có OJ đi qua Z là trung điểm của BI; đi qua trung điểm của BH nên OJ thuộc đường thẳng chứa đường trung bình của tam giác BHI

=> OJ//IH mà OJ vuông góc với BH => IH vuông góc với BH =>đpcm