Cho tam giác $ABC$ nhọn với $H$ là trực tâm. $AH$ cắt $BC$ tại $D.$ Lấy $E$ thuộc $AD$ sao cho  $\widehat{BEC}=90^0.$  Gọi $M$ là trung điểm $EH.$ Gọi đường tròn đường kính $AM$ cắt đường tròn Euler của tam giác $ABC.$ tại $P,Q.$ Chứng minh $P,Q,E$ thẳng hàng. 

Bài toán. Cho $x,y$ là các số nguyên dương sao cho $xy+x$ và $xy+y$ đều là các số chính phương. Chứng minh rằng 1 trong 2 số $x,y$ là số chính phương.

Câu I. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

Chứng minh rằng $u_n$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu II. Cho các số thưc dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1.$ Chứng minh rằng :

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{a^3+b^3+c^3+3}}.$$

Câu III. Cho tam giác nhọn $ABC( AB<AC).$ có $M$ là trung điểm cạnh $BC,$ ; các đường cao $AD,BE,CF.$ Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC, K$ là trung điểm $AH,$ và $L$ là giao điểm $EF$ và $AH.$ Gọi $N$ là giao điểm của đoạn $AM$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCH.$

1/ Chứng minh rằng $5$ điểm $A,E,N,H,F$ cùng thuộc 1 đường tròn.

2/ Chứng minh rằng $\widehat{HMA}=\widehat{LNK}.$

Câu IV. Có bao nhiêu hoán vị $(a_1,a_2,..,a_{10})$ của các số $1,2,3,..,10$ sao cho $a_i>a_{2i}$ với $1\leq i  \leq 5$ và $a_j>a_{2j+1}$ với $1\leq i  \leq 4$.

Câu V. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :

$$f(x^2-2yf(x))+f(y^2)=f^2(x-y),\forall x,y\in\mathbb{R}$$

Câu VI. Gọi $O,I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác $ABC$ không đều. Chứng minh rằng :

$$\widehat{AIO}\leq 90^0\Leftrightarrow 2BC\leq AB+AC$$

Câu VII. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho : Với $n$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_n$ đôi một khác nhau , luôn tồn tại hai chỉ số $i,j\in\begin{Bmatrix}1,2,3,..,n \end{Bmatrix}$ để $a_i+a_j\geq 2017(a_i,a_j)$

với $(a,b)$ là ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương $a,b.$

Riêng mình thì không ưa kiểu trắc nghiệm lắm. Như bọn ôn thi Lý Hóa, khoanh như thánh, thuộc như con điên, thi ĐH xong 1 tháng là chẳng nhớ gì. Thi trắc nghiệm nếu ra đề không khéo thì sẽ biến học sinh thành những con vẹt và tạo ra một thế hệ học đâu quên đó. 

(ý kiến bản thân ...)

xin đừng vơ đũa cả nắm cho những người học lý hóa.. đc điểm cao chưa chắc là học thuộc đâu, phải hiểu bản chất cả đấy.

(Olympic GGTH 2016) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên $n$ thì tồn tại vô hạn cách để biểu diễn $n$ dưới dạng:

$n=\pm 1^2\pm 2^2\pm \cdots \pm k^2$

với số nguyên dương $k$ và các dấu $+,-$ được chọn phù hợp.

Ta xét $n$ là số nguyên dương , trường hợp $n<0$ có thể đổi dấu lại. 

Chú ý các cách viết sau:

$0=1^2+2^2-3^2+4^2-5^2-6^2+7^2$

$1=1^2$

$2=4^2-3^2-2^2-1^2$

$3=2^2-1^2$

Và $4=(k+a)^2--(k+a+1)^2-(k+a+2)^2+(k+a+3)^2$ với mọi $k,a>0$

Có n người bị tình nghi một vụ ăn cắp tài khoản ngân hàng. Những người này chỉ là kỹ sư tin học hoặc nhà quản lý.

Tuy nhiên, hồ sơ của họ đều đã bị hủy và không ai biết ai là ai, do vậy cảnh sát cần thẩm vấn từng người.

Điều tra ban đầu cho thấy chắc chắn hung thủ là người quản lý.

Biết rằng các kỹ sư tin học luôn luôn nói thật còn các nhà quản lý thì không chắc như vậy. Và hơn nữa, n người này đều biết nghề nghiệp thật sự của nhau.

Cảnh sát cần đặt câu hỏi để xác định ai làm nghề gì và câu hỏi chỉ có thể ở dạng trả lời có hoặc không, đúng hoặc sai …

1. Nếu như số kỹ sư tin học nhiều hơn số nhà quản lý (trong n người), phải hỏi ít nhất bao nhiêu câu để tìm ra ít nhất một kỹ sư tin học?

2. Nếu số kỹ sư ít hơn số nhà quản lý, liệu có thể tìm ra hung thủ?

TS Trần Nam Dũng
ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia TP HCM

 

1. Mình nghĩ câu này là $n-k+1$ với $k$ là số kĩ sư. ( không biết đúng không nữa,  mình dùng quy nạp )

với $n-k$ câu hỏi : "Mày có phải kĩ sư không?'' và 1 câu hỏi còn lại là : ''Mày có làm chung việc với thằng X không?'' ( X là 1 thằng trả lời ''có'' trong số $n-k$ thằng đã hỏi, lấy X làm mốc)

Tìm tất cả các hàm: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)$$

 

(Bài này mình nghe lỏm đề, hai bạn nào đó giải, mình lấy đề về nhưng chưa giải ra)

Bạn chứng minh được $f(x)$ là đơn ánh không?

Nếu có thì lời giải như sau:

Từ giả thiết thay $x=0$ ta được $f(f(y))=2f(y)$

Trong giả thiết lấy $f$ 2 vế ta được:

$f(f(x+f(y)))=f[f(x+y)+f(y)]\Leftrightarrow 2f(x+f(y))=f(f(x+y)+y)+f(y)\Leftrightarrow 2f(x+f(y))=f(2y+x)+f(x+y)+f(y)$

Kết hợp với giả thiết được : $f(x+f(y))=f(2y+x)$

Lại có $f$ đơn ánh suy ra $f(x)=2x,\forall x\in \mathbb{R}$

$Cho u_{n}: u_{1}=a;u_{n+1}=\frac{2u_{n}^{3}}{3u_{n}^{2}-1} TÌm a để dãy có giới hạn.

Bài toán có trong file tổng hợp dãy số của anh LPL năm 2012.

vậy là đã nối mạng internet thì sẽ bị nhiễm chút ít dù cho phòng thủ một cách tốt nhất phải không các bạn ?

Còn tùy nữa bạn à , nếu bạn đăng nhập vào những web an toàn ( facebook,gmail,...) thì khả năng nhiễm virus ít. Còn nếu bạn download file độc, ấn vào link bậy bạ, hoặc vào deep web thì khả năng máy bạn ra đi là rất cao  Về phần mềm diêt virus bạn nên dùng AVG, mình đang dùng thấy cũng tốt Thích thì xài Little Snich để tăng bảo mật cũng được

Đề thi "Đồng hành cùng Gặp gỡ Toán học 2016"_Vòng "Thọc gậy bánh xe"

Nguồn: Fanpage Gặp gỡ Toán học.

Thấy câu 8 ngon ăn xơi trước Ta có :

Từ đó sử dụng đính lí thặng dư trung hoa tìm được x là số đèn.

Lớp 12 bài 1 dãy số. a/ Câu 2 là dạng khá quen thuộc, ta sử dụng $2$ dãy con $u_{2n+1}$ và $u_{2n}$ đơn điệu ngược chiều và $limu_{2n+1}=lim u_{2n}=1.$

b/ Ý tưởng như sau

Với $m$ là số chẵn lớn hơn 3 , ta dễ dàng chứng minh được $limu_n=-\infty $

Với $m$ là số lẻ lớn hơn 3, ta xây dựng 2 dãy con $u_{2n+1}$ và $u_{2n}$ nhưng  $limu_{2n+1} \neq lim u_{2n}$ ( một dãy tiến ra dương vô cùng, một dãy tiến ra âm vô cùng)

Với $m=3$ mình đang bí , ai đó có thể giúp mình được không ? , mình đã đăng topic tại đây.

Lớp 12 bài 5 tổ. Mình chưa hoàn thành bài nhưng còn đang dở dang và không biết đúng không nữa, mong mọi người góp ý

Nhận thấy rằng để xuất hiện đống sỏi có n viên sỏi thì phải tồn tại 2 đống sỏi có số sỏi bằng nhau trong quá trình chuyển.

Ta gọi số sỏi khi phân ra thành 3 đống là $a,b,c$ với $a+b+c=2n$ và $a,b,c>0$
Tổng số sỏi là $2n$ do vậy ta có thể giả sử rằng $a,b$ lẻ ; $c$ chẵn vì mọi trường hợp khác đều dẫn tới trường hợp này.

Đặt $c=2^k.t$ với $t$ là số lẻ.

Giả sử ta chuyển hết số sỏi sang đống $b$ cho đến khi $c=t$

Khi đó ta có: $$b=b+2c.\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{2^k} \right )$$

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng trong quá trình chuyển số sỏi từ B sang A sẽ tồn tại 1 đống sỏi có số sỏi bằng C.

Hay ta chứng minh tồn tại $t$ sao cho 

$$\dfrac{b+2c.\left ( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2^k} \right )}{2^t}=\frac{c}{2^k}$$

Đến đây mình không biết làm sao nữa

Một bài toán hay cho chuyên đề : http://diendantoanho...092010sqrt4u-n/
 

Cho $(u_{n})$ được xác định bởi $u_{n}=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{n}{(n+1)!}$

a) Tính $lim u_{n}$

b) Tính $lim \sqrt[n]{u_{1}^{n}+u_{2}^{n}+...+u_{2016}^{n}}$

a/ Lưu ý đẳng thức : $\frac{n}{(n+1)!}=\frac{(n+1)-1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}$
Từ đó rút gọn $u_n=1-\frac{1}{(n+1)!}$

do đó $lim u_n=1$
b/ Lưu ý : $u_{2016}<\sqrt[n]{u_1^n+u_2^n+...+u_{2016}^n}<\sqrt[n]{2016}.u_{2016}$

Dùng định lí kẹp ta có điều phải chứng minh 

Xét dãy số $u_n$ thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} u_1=\frac{1}{2}\\u_{n+1}=1+u_n-u_n^3,\forall n\in\mathbb{N} \end{matrix}\right.$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Một đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $E,F$. $BE$ giao $CF$ tại$H$. $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $KEF$. CM: $I,H,O$ thẳng hàng.

Xem tại đây.

Minh du doan chuan vl  

Dự đoán tỉ số đi , đêm nay Đức ăn ukaraine 2-0 :v

ủng hộ TBN vô địch =)) mặc dù rất khó :'( Fan TBN+Barca ai đồng fan điểm danh nào =))

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn $(\omega)$ bất kì qua B,C $((\omega)\ne (O))$ cắt AB,AC lần lượt tại $E,F$. Đường thẳng qua E vuông góc với BF và đường thẳng qua F vuông góc với EC lần lượt cắt (O) tại J,I.

Chứng minh rằng $IJ//BC$ 

Bạn coi lại đề giúp mình với :'( mình vẽ ra ko thấy song song ?

VMO 2015 sắp đến gần, để cùng nhau ôn lại và kiểm tra năng lực trước 1 kì thi, mình đã tổng hợp đề thi các nước năm 2013,  2014 thành 2 file. Hi vọng tài liệu giúp các bạn học và ôn thi tốt hơn 

Đề thi các nước và khu vực 2013.pdf

Đề thi các nước và khu vực 2014.pdf

Tiện thể reup cái năm 2012 cái :'( topic trước trôi đâu mất tiêu rồi.

Đề thi các nước và khu vực 2012-2013.pdf

Anh Đạt ơi , anh có thể up lại không ? Link die rùi :'( , 2 cái ở trên ấy. Cám ơn anh nhiều

Bài toán 1 : ( VMO 2015 )  Cho số nguyên dương $k$ . Tìm số các số tự nhiên $n$ không vượt quá $10^{k}$ thỏa mãn : 

$i)$ $n$ là bội của $3$

$ii)$ Các chữ số trong biểu diễn thập phân của $n$ là $2,0,1,5$

Bắt đầu bằng một bài đếm quen thuộc hi vọng các bạn không chê 

Bài này chắc khá quen thuộc rồi

Xét đa thức $P(x)=(x^5+x^2+x+1)^k$

Dễ thấy tổng các hệ số của đa thức cũng bằng số các bộ $\left ( a_1,a_2,..,a_k \right )\in \begin{Bmatrix} 2;0;1;5\end{Bmatrix}^k$ bằng $4^k.$

hơn nữa số bộ số này chia hết cho 3 cũng bằng tổng hệ số $x^{3k}$ trong đa thức.

Theo định lí Ruf: $S=S=\frac{1}{3}[P(1)+P(\epsilon )+P(\epsilon^2 )]$

Gọi $\epsilon$ là nghiệm của phương trình $x^2+x+1=0$ khi đó phương trình có nghiệm phức $\epsilon_t=cos\frac{2t\pi }{3}+isin\frac{2t\pi }{3}$

Từ đây ta có $\epsilon^3=1$ do đó $1+\epsilon+\epsilon^{2k}=0$ với $k$ không chia hết cho 3 và bằng 3 với $k$ chia hết cho 3

Dễ dàng tính được  $P(1)=4^k,P(\epsilon )=\epsilon^{2k},P(\epsilon^2)=\epsilon^{4k}$

Từ đây suy ra $\left\{\begin{matrix} S=\frac{4^K-1}{3},K\neq 3m\\ S=\frac{4^K+2}{3},K=3m \end{matrix}\right.,m \in \mathbb{Z}$
__________________________
Bài toán đề xuất: 
$\boxed{\text{Bài toán 2}}$ : Trong một cuộc họp có $12k$ người tham gia, mỗi người bắt tay với đúng $3k+6$ người khác. Biết rằng với bất kỳ một cách chọn cặp $2$ người ta có số người bắt tay với cả hai là như nhau. Hỏi có bao nhiêu người tham gia cuộc họp đó?
$$\begin{array}{| l | l |} \hline NoMoniker & 1\\ \hline \end{array}$$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $4(a+b+c)^3 \geq 27(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc)$

Cách giải dùng SOC tại đây.