3)$\begin{cases}x+y+z=9\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\\xyz=27 \end{cases}$

 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}=1\Rightarrow xy+yz+xz=27$

$x+y+z=9\Rightarrow (x+y+z)^{2}=81=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=81-2.27=27$

Vì $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+yz+xz (=27) \Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2(xy+yz+xz)$

$\Rightarrow (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=0 \Leftrightarrow x=y=z$ 

Kết hợp với xyz=27 ta được (x;y;z)=(3;3;3)

Áp dụng BĐT Cộng mẫu ta có ngay đpcm. 

$\frac{a^{2}}{a+1}+\frac{b^{2}}{b+1}\geq \frac{(a+b)^{2}}{a+b+1+1} = 1/3$ ( do a+b=1 theo gt )

Dấu = xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

$\sqrt{x^{2}+4x+12}=\sqrt{(x-2)^{2}+8(x+1)}=2(x-2)+\sqrt{x+1}$ (1)

Đặt $x-2 = a ; \sqrt{x+1}=b$

Khi đó: $b^{2}-a=3$ $(*)$

Từ (1) suy ra: $\sqrt{a^{2}+8b^{2}}=2a+b \Rightarrow a^{2}+8b^{2}=4a^{2}+4ab+b^{2}\Leftrightarrow 7b^{2}-3a^{2}-4ab=0$

Đến đây bạn chia cả 2 vế cho $b^{2}$, đưa về phương trình bậc 2 ẩn là $\frac{a}{b}$. (Đồng bậc 2) Khi đó sẽ tính được  $\frac{a}{b}$ 

Kết hợp với $(*)$ ta giải được phương trình.

CMR:

$((n+1)(n+2)(n+3)...(3n-1)3n) \vdots 3^{n}$ với $n\geq 1$

1) Tìm các số thực x sao cho : $x+\sqrt{2015}$ và $\frac{10}{x}-\sqrt{2015}$ đều là số nguyên.

2) giải phương trình : $x^{4}\sqrt{x+3}=2x^{4}-2015x+2015$

3) Tìm các số thực x và y thỏa manx: x+y-2xy=0 và $x+y-x^{2}y^{2}=\sqrt{(xy-1)^{2}+1}$

1) Tìm tất cả các cặp số (x;y) thỏa mãn : $y-\frac{y^{2}}{2}-1=x^{2}-xy$

2) Cho a và b thỏa mãn hệ phương trình: 

$a^{3}+2b^{2}-4b+3=0$

$a^{2}+a^{2}b^{2}-2b=0$

Tính $a^{2}+b^{2}$

3) Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình:

$\sqrt{2\sqrt{3}-3}=\sqrt{x\sqrt{3}}-\sqrt{y\sqrt{3}}$

4) Tìm các cặp số (x;y) thỏa mãn:

$2(x\sqrt{y-4}+y\sqrt{x-4})=xy$

 

1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $5(x^{2}+xy+y^{2})=7(x+2y)$

2) Tìm các số nguyên a,b,c thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq ab+3b+2c-3$

1) Tìm GTLN của : $(2x-x^{2})(y-2y^{2})$ với $0\leq x\leq 2; 0\leq y\leq \frac{1}{2}$

2) Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. CMR:

$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3) Cho $-1 \leq a,b,c \leq 2$ và thỏa mãn $a+b+c=0$. CMR:

 $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 6$

Cho a,b,c > 0. CMR:

 

$\frac{a^{2}b}{c}+\frac{b^{2}c}{a}+\frac{c^{2}a}{b}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

 

 

Cho a,b,c > 0. CMR:    

 

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt{3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}$

Cho $a,b,c\geq 0$ $a+b+c=1$. Tìm GTLN của : 

 

$P = \left | (a-b)(b-c)(c-a) \right |$

Cho $n$ là số nguyên dương tùy ý, $m$ là một ước số nguyên dương của $2n^{2}$ Chứng minh rằng $n^{2}+m$ không là số chính phương.

Chứng minh được trong 5 số tuỳ ý tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3.
Giả sử 2 số dư giống nhau đó là 1,1.
Trong 3 số còn lại, nếu 3 số dư của chúng là khác nhau thì chúng phải là 0,1,2 khi đó bộ 3 số dư (1;1;1) là bộ 3 số có tổng chia hết cho 3.
Nếu 3 số dư khác nhau, tức là có ít nhất 2 số dư giống nhau, giả sử 2 số dư đó là 1;1 thì bộ (1;1;1) thỏa mãn, nếu 2 số dư đó là 2;2, số dư còn lại là 0 thì bộ (1;2;0) thỏa mãn, còn nếu số dư còn lại là 1 thì lại có bộ (1;1;1) thỏa mãn. Nếu 2 số dư đang xét ở trên là 0;0, số dư còn lại 1 thì bộ (1;1;1) thỏa mãn, số dư còn lại là 2 thì bộ (1;2;0) thỏa mãn.

Với cách xét tương tự với 2 số dư (0;0) và (2;2) ta có đpcm.

Cách làm này tuy có hơi dài nhưng không bỏ sót trường hợp nào

Tìm các số x,y nguyên thỏa mãn phương trình:

 

$x^{3}-3x^{2}+3(y^{3}+1)x-(y^{3}+1)^{2}=0$

giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}-2y=3 & & \\ y^{2}-2z=3 & & \\ z^{2}-2x=3 & & \end{matrix}\right.$

 

 Giả sử $x\geq y\geq z$

 Ta có:

 $x^{2}-2y=3\geq y^{2}-2y \Rightarrow 4\geq (y-1)^{2} \Rightarrow 2\geq |y-1|$   (1)

 $z^{2}-2x=3\leq y^{2}-2x\leq y^{2}-2y \Rightarrow 4\leq (y-1)^{2}\Rightarrow 2\leq |y-1|$   (2)

 

Từ (1) và (2) suy ra | y - 1 | = 2

Từ đây tính được y => tính được x và z. Công việc này bạn thực hiện nhé     

Trong một hình vuông có cạnh bằng 10 cm, ta đặt 126 điểm bất kỳ đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: có ít nhất 6 điểm trong số 126 điểm đã cho nằm trong một hình tròn có bán kính bằng 10/7 cm

 

Đã được giải ở ĐÂY

BĐT B.C.S hay còn gọi là BĐT Bunhiacopxki được viết như sau:

 

Mình chỉ viết với 3 số, nhưng bđt này áp dụng được với nhiều số, tổng quát luôn nhé. 

 

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq (ax+by+cz)^{2}$

 

Dấu = xảy ra khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

Áp dụng BĐT B.C.S cho 2 bộ số:

$(\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z})$ và $(x+y+z)$

 

=> $(\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z})(x+y+z)\geq (a+b+c)^{2}$

Ta có đpcm.

 

Dấu " = " của BĐT xảy ra khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

Bắt đầu từ $n=2$, hai người tuần tự cộng số $n$ đang có với một ước nguyên dương khác $n$ bất kỳ của $n$ để có một số $n$ mới. Ai tạo được số không nhỏ hơn 2013 trước là thắng cuộc. Giả sử cả hai đều là những người chơi thông minh. Hỏi ai sẽ thắng cuộc?

$\frac{a^{4}}{(a+2)(b+2)}+\frac{a+2}{27}+\frac{b+2}{27}+\frac{1}{9}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^{4}(a+2)(b+2)}{6561(a+2)(b+2)}} = 4\frac{a}{9}$

 

Tương tự như vậy ta cũng có: 

$\frac{b^{4}}{(b+2)(c+2)}+\frac{b+2}{27}+\frac{c+2}{27}+\frac{1}{9}\geq \frac{4b}{9}$

 

$\frac{c^{4}}{(c+2)(a+2)}+\frac{c+2}{27}+\frac{a+2}{27}}+\frac{1}{9}\geq \frac{4c}{9}$

 

Cộng vế với vế ta được : 

$VT + \frac{2(a+b+c)+12}{27} + \frac{1}{3} \geq \frac{4}{9}(a+b+c)$

Từ điều kiện a+b+c = 3, ta được :

$VT \geq \frac{1}{3}$ (đpcm)

 

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1.

Xét ô vuông 2x2. Theo giải thiết, các số được ghi thỏa mãn tính chất: bất kỳ hai số nào ghi trong hai ô có chung một cạnh hoặc hai ô có chung một đỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau. Do đó trong một ô vuông 2x2, chỉ có thể có nhiều nhất một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3. Có 16 ô vuông như thế nên sẽ có nhiều nhất : 16.2 = 32 số chia hết cho 2 hoặc 3. 

Như vậy sẽ còn lại ít nhất 32 ô để ghi các số không chia hết cho 2 hoặc 3.

Mà trong các số tự nhiên từ 0 đến 16, chỉ có 5 số không chia hết cho 2 hoặc 3 là { 1 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 }

Theo nguyên tắc Dirichle, 32 ô để ghi 5 số như vậy tồn  tại ít nhất 1 số xuất hiện 7 lần. (đpcm) 

Tìm số nguyên n sao cho $2n^{3}+n^{2}+7n+1\vdots (2n-1)$

$2n^{3}+n^{2}+7n+1 = n^{2}(2n-1)+n(2n-1)+4(2n-1)+5 \vdots (2n-1)$

 

=> (2n-1) là ước của 5. 

Vì n là số nguyên.

Đến đây công việc thuộc về bạn rồi