Chuẩn hóa abc=1. Cần c/m

$\sum\frac{1}{a\sqrt{5(3a+2b)}}\geq \frac{3}{5}$

Thật vậy:

$VT \geq \sum \frac{2}{a(3a+2b+5)} a,b,c \rightarrow \frac{x}{y},\frac{z}{x}, \frac{y}{z}$

Sau đó C-S là ra

1, Có tồn tại hay không các số x,y,z nguyên sao cho:

$x^2 + 2y^2 + 98z^2$ = 111....111 ( 666 số 1)

2, Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn ab+1 là số chính phương. CMR tồn tại c $\in$ Z+ đề ac + 1 và bc + 1 cũng là số chính phương

Ta có:

$v_{2}\left ( 3^{n}-1 \right )=v_{2}\left ( 3-1 \right )+v_{2}\left ( n \right )=1+v_{2}(n)\geq n=nv_{2}(2)=v_{2}(2^{n})$

Vậy có đpcm.

bạn giải thích rõ hơn được không? Mình mới học lớp 9 thôi

Tìm n $\in$ Z+ sao cho  $3^{n}-1$  $\vdots$  $2^{n}$

Cho a,b,c > 0 ; abc=b+2c Tìm Min

$\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}$

tìm x,y thuộc N sao cho $10^{y}= 81x+1$

Cho a,b,c >0, $a^2+b^2+c^2=3$. 

CMR $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq abc+2$

Tìm x, y thuộc Z sao cho 

$x^4+x^3+x^2+x=y^2+y$

Cho x,y,z $\in \mathbb{R}$

$Min ({(x-y)^2, (y-z)^2, (z-x)^2})\leq \frac{1}{2} (x^2+y^2+z^2)$

có cách đẹp hơn không nhỉ?

cho $a+b+c=3$

CMR:  $ab^2 + bc^2 +ca^2\leq a^2+b^2+c^2$

bài 8

$P=\sum \frac{(y+\frac{1}{z})^2}{z+\frac{1}{}x}$

Áp dụng BĐT AM-GM

$\frac{(y+\frac{1}{z})^2}{z+\frac{1}{x}} + z+\frac{1}{x}\geq 2(y+\frac{1}{x})$

ta có các Bđt tương tự, công lại ta đc 

$P\geq \sum x +\sum \frac{1}{x}= 4\sum x + \sum \frac{1}{x}- 3\sum x$

đến đây thì đơn giản r

bdt đó sai với a=b=0,8;C=$\sqrt[3]{1.976}$

với bộ số như bạn nói thì BĐT vẫn đúng nhé

Xem ở đây.

$\sum a^3=3$  nha bạn

Cho $a,b,c >0 , a^3 + b^3 + c^3 =3$. CMR $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 3$

Cmr: $5^{7^n}+7^{5^n}$ chia hết cho 12 với mọi số tự nhiên n

Giả sử x,y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x^2 +y^2+2x+2y(x-1)$ là số chính phương. CMR x=y

Dùng liên hợp. Ta được phương trình tương đương:

$(x-3)(\frac{x+3}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2}+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}+\frac{x^2+3x+9}{\sqrt{x^3-2}+5}-3)=0$

Được nghiệm: $x=3$.  

Cái còn lại luôn dương với điều kiện: $x\geq \sqrt[3]{2}$.

sao mình đánh giá thì  $\frac{x+3}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2}+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}$ lại <1 còn $\frac{x^2+3x+9}{\sqrt{x^3-2}+5}$ lại >2 nhỉ?

$$\sqrt[3]{x^{2}-1} + \sqrt{x^{3}-2}= 3x-2$$

$\left\{\begin{matrix} xy + 6y\sqrt{x-1} + 12y=4\\ \frac{xy}{1+y}+ \frac{1}{xy+y}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \end{matrix}\right.$

Chứng minh tồn tại các số nguyên a,b,c sao cho 0 < $\left | a + b\sqrt{2 } + c\sqrt{3} \right |$ < $\frac{1}{1000}$

Bạn có thế giải thích kỹ hơn dùm mình được không? Mình thực sự rất cần lời giải của bài này!

Tks bạn

Chứng minh với mọi k $\in$ N ta luôn tìm được n $\in$ N sao cho $\sqrt{n+2001^k}$ + $\sqrt{n}$ = $(1+\sqrt{2002})^k$