tìm nguyên hàm $\int x^{2}\sqrt{x^{2}+1}dx$

2. $A=\int \frac{dx}{x^{2}+x+1}=\int \frac{d(x+\frac{1}{2})}{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$

Đặt $x+\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{3}{4}} tan u$

Ta có $A=\int \frac{d(\sqrt{\frac{3}{4}}tan u)}{\frac{3}{4}(tan^2u+1)}=\int \frac{\sqrt{\frac{3}{4}}(tan^2u+1)du}{\frac{3}{4}(tan^2u+1)}=\frac{2}{\sqrt{3}}\int {du}=\frac{2}{\sqrt{3}}u+c=\frac{2}{\sqrt{3}} arctan(\frac{2}{\sqrt{3}}(x+\frac{1}{2})+c$

bạn giải thích chỗ này cho mình được không, vì sao dx thành d(x+1/2)? mình mới học nên không rõ (( cảm ơn ạ

Câu 1 đổi biến thôi:

đặt $x^2+1=t^2, t>0$ thì $dx=dt, x^2=t^2-1$ ta có $\int x^3\sqrt{x^2+1}dx=\int (t^2-1)tdt$ easy rồi

mình tưởng sẽ thành xdx=tdt?

Tìm nguyên hàm sau:
1. $\int x^{3}\sqrt{x^{2}+1}.dx$

2. $\int \frac{dx}{x^{2}+x+1}$

Mình không đánh được ký tự nên mình viết ra đây nhé:

1. Cho đuòng thẳng xy và một điểm A cố định nằm ngoài đường thẳng ấy. Điểm M chuyển động trên xy, trên đoạn thẳng AM lấy điểm I sao cho:
AI.AM = k², trong đó k là số dương cho trước và k nhỏ hơn khoảng cách từ A đến đường thẳng xy. Dựng hình vuông AIJK, tìm tập hợp điểm I và tập hợp điểm K.
2.Cho đường tròn (O;R) và đường kính AB cố định. Điểm M di động trên đường tròn, C là một điểm cố đinh giữa A và O. N là một điểm trên (O) sao cho NC vuông góc MC. K là trung điểm MN. I là trung điểm OC,
a) TÌm vị trí M sao cho độ dài MC lớn nhất.
b) CMR: khi M di động trên (O) thì điểm K di động trên đường tròn (I) cố định.