MinMax2k nội dung

Bđt $\Leftrightarrow \sum a^{3}b^{2} \geq abc.\sum a^{2}$
Sd đẳng thức : $\sum a^{2}(b^{3}-c^{3}) =\sum a^{2}(b-c)^{3}$
Do đó : $2 \sum a^{3}b^{2}-2abc . \sum a^{2}= \sum a^{2} (b-c)^{2}(a-b+c) \geq 0$=> Đúng

Đk: $-2\leq x\leq 2.$

pt$\Leftrightarrow |x|+\sqrt{4-x^2}=x^2-2x-2\sqrt[3]{(x^2-2x)^2}+2(1)$

Ta có: $(|x|+\sqrt{4-x^2})^2=4+2|x|\sqrt{4-x^2}\geq 4\forall x\epsilon [-2;2]$

Suy ra: $|x|+\sqrt{4-x^2}\geq 2$

Đẳng thức xảy ra khi $x=0$ hoặc $x=\pm 2$

Đặt $t=\sqrt[3]{(x^2-2x)^2}\Rightarrow t\epsilon [-1;2]$

Khi đó, $(1)\Leftrightarrow |x|+\sqrt{4-x^2}=t^3-2t^2+2$

Xét hàm số $f(t)=t^3-2t^2+2$ trên $[-1;2]$ có $f'(t)=3t^2-4t=0\Rightarrow t=0$ v $t=\frac{4}{3}$

Có $f(-1)=-1,f(0)=2,f(\frac{4}{3})=\frac{22}{7},f(2)=2\Rightarrow max f(t)=2\Rightarrow f(t)\leq 2$

Dó đó: $x^2-2x-2\sqrt[3]{(x^2-2x)^2}+2\leq 2$

Vậy tập nghiệm của pt là $S={\pm 2;0}./$

#637069 $$P=\frac{x^2}{y^2+yz} +\frac{y...

Đã gửi bởi MinMax2k on 31-05-2016 - 10:43 trong Bất đẳng thức và cực trị

Xem lời giải :http://toan.hoctainh...z-2/37262#37262

#637065 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^...

Đã gửi bởi MinMax2k on 31-05-2016 - 10:38 trong Bất đẳng thức và cực trị

Ta có: $a^2+2b+1=a^2+1+2b+2\geq 2a+2b+2$

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}(\Sigma (\frac{a}{a+b+1})$

$\Rightarrow \frac{3}{2}-P\geq$ $\frac{1}{2}$$(\Sigma \frac{b+1}{a+b+1})$

A/d Cauchy-Schwarz ta được:

$Q=\Sigma \frac{b+1}{a+b+1}=\Sigma \frac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^2}{\Sigma (a+1)(a+c+1)}$

Ta có:

$\Sigma (a+1)(a+c+1)=(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b+c)+3=\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca+3(a+b+c)+\frac{9}{2}=\frac{1}{2}(a+b+c+3)^2$

Suy ra:

$Q\geq \frac{(a+b+c+3)^2}{\frac{1}{2}(a+b+c+3)^2}\Rightarrow .............$

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}$

Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học

MinMax2k nội dung

Theo nội dung

Xem thành viên

Đăng nhập