Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó phải có mặt hai chữ số $2$ và $3$

Giải phương trình $\left | x-1 \right |+\sqrt{2x-x^2}+x^2+x+1=\sqrt{6x^2+3}+\sqrt{2x-1}$

 

Lời giải.

Điều kiện xác định $x\geq -2$.

$\left ( x+2 \right )\left | x \right |+x^{3}-2x^{2}+x-4=\left ( x+1 \right )\sqrt{x+2}$

$\Leftrightarrow \left ( x+2 \right )\left ( \sqrt{x^{2}}-2 \right )+\left ( x+1 \right )\left ( x-\sqrt{x+2} \right )+x^{3}-3x^{2}+2x=0$

$\Leftrightarrow \frac{\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )^{2}}{\sqrt{x^{2}}+2}+\frac{\left ( x-2 \right )\left ( x+1 \right )^{2}}{x+\sqrt{x+2}}+x\left ( x-1 \right )\left ( x-2 \right )=0$

$\Leftrightarrow \left ( x-2 \right )\left [ \frac{\left ( x+2 \right )^{2}}{\sqrt{x^{2}}+2}+\frac{\left ( x+1 \right )^{2}}{x+\sqrt{x+2}}+x\left ( x-1 \right ) \right ]=0$

Xét phương trình:

$\frac{\left ( x+2 \right )^{2}}{\sqrt{x^{2}}+2}+\frac{\left ( x+1 \right )^{2}}{x+\sqrt{x+2}}+x^{2}-x=0$

Dễ thấy nếu $-2\leq x\leq 0$ hoặc $x\geq 1$ thì phương trình vô nghiệm, xét $x\in \left ( 0;1 \right )$ phương trình tương đương:

$\frac{\left ( x+2 \right )^{2}}{x+2}+\frac{\left ( x+1 \right )^{2}}{x+\sqrt{x+2}}+x^{2}-x=0$

$\Leftrightarrow \frac{2x+4}{x+2}+\frac{\left ( x+1 \right )^{2}}{x+\sqrt{x+2}}+x^{2}=0$ (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=2$ (thỏa mãn điều kiện).

 

Với $x\geq 1$ thì mình hiểu nhưng tại sao với $-2\leq x\leq 0$ thì pt lại vô nghiệm vậy bạn

 

Lời giải.

Ta có:

$6x^{3}y+3xy^{3}+5xy=6x^{2}y^{2}+2x^{2}+y^{2}+1$

$\Leftrightarrow \left ( 3xy-1 \right )\left ( 2x^{2}-2xy+y^{2}+1 \right )=0$

$\Leftrightarrow xy=\frac{1}{3}$ (vì $2x^{2}-2xy+y^{2}+1=\left ( x-y \right )^{2}+x^{2}+1\geq 1>0$)

Thay $xy=\frac{1}{3}$ vào phương trình đầu ta được:

$y^{2}=\frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}$ hoặc $y=-\frac{1}{3}$

Với $y=\frac{1}{3}$ ta được $x=1$, với $y-\frac{1}{3}$ ta được $x=-1$.

 

Cho mình hỏi tí, mình không biết làm cách nào bạn phân tích đc thành $\Leftrightarrow \left ( 3xy-1 \right )\left ( 2x^{2}-2xy+y^{2}+1 \right )=0$

Giải phương trình $\left\{\begin{matrix}2xy^3-3y^2-4xy+\frac{43}{27}=0 & & \\ 6x^3y+3xy^3+5xy=6x^2y^2+2x^2+y^2+1 & & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình $(x+2)\left | x \right |+x^3-2x^2+x-4=(x+1)\sqrt{x+2}$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}(x+y+1)\sqrt{x-y}+2y+2=0 & & \\ (x^2+2)(x-y-3)=y^2+2 & & \end{matrix}\right.$

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $xy+yz+xz>0$. Tìm GTNN của $P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{2}\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}$

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1$ Tìm GTNN của $P=3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+3(xy+yz+xz)+x^2+y^2+z^2$

Không mất tổng quát giả sử: $a> b> c$. ta có:

$P=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$.

Sử dụng BĐT quen thuộc: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y},\forall x,y> 0$ ta có:

$P\geq 2.\frac{4}{a-b+b-c}+\frac{2}{a-c}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}=5(\frac{2}{a-c}+\frac{1}{\sqrt{ab+bc+ca}})$

   $\geq \frac{5.2\sqrt{2}}{\sqrt[4]{(a-c)^2(ab+bc+ca)}}=\frac{20}{\sqrt[4]{(a-c)^2(4ab+4bc+4ca)}}$

   $\geq \frac{20}{\sqrt{\frac{(a-c)^2+4(ab+bc+ca)}{2}}}=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(a+c)(a+c+4b)}}$

   $=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{(1-b)(1+3b)}}= \frac{20\sqrt{6}}{(3-3b)(1+3b)}\geq \frac{40\sqrt{6}}{3-3b+1+3b}=10\sqrt{6}$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=\frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{6}},b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{6}}$ hoặc các hoán vị. 

Cho mình hỏi cái đoạn này sao bạn biết nhân tử và mẫu cho $\sqrt{2}$ để phía dưới mẫu có thể áp dụng BĐT vậy

Cho $a,b,c$ là các số thực phân biệt thỏa mãn $a+b+c=1$ và $ab+bc+ca>0$. Tìm GTNN của $P=\frac{2}{\left | a-b \right |}+\frac{2}{\left | b-c \right |}+\frac{2}{\left | c-a \right |}+\frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Cho các số thực không âm $a,b,c$ có tổng bằng 1. Tìm GTLN và GTNN của $P=(a-b)(b-c)(c-a)$

Cho $a,b,c$ là các số thực thuộc đoạn $\left [ 1;4 \right ]$ và $a+b+2c=8$. Tìm GTLN của $P=a^3+b^3+5c^3$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm GTNN của $\frac{1}{2a+b+2\sqrt{2bc}}-\frac{8}{\sqrt{2a^2+2(a+c)^2+3}}$

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm GTLN của $M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}$

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTLN của $P=\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}+\frac{1}{\sqrt{c+2}}$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc=1$ và $max\left \{ a,b,c \right \}\leq 4$. Tìm GTLN của $P=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}\geq \frac{3}{4(1+abc)}$

Đặt: $S=a(b^2+c^2+7)+b(c^2+a^2+7)+c(a^2+b^2+7)$ và P là biểu thức VT.

Sử dụng BĐT Holder ta có: $PPS\geq (a+b+c)^3$.

Vậy ta chứng minh: $(a+b+c)^3\geq S$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 7(a+b+c)+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 7(a+b+c)+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3$ (luôn đúng).

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.

bạn chứng minh giúp mình với mình không biết

Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$, chứng minh $\frac{a}{\sqrt{b^2+c^2+7}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+a^2+7}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7}}\geq 1$

Cho $a,b,c\geq 0$, chứng minh $a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)$

Cho $a,b,c>0$ có tổng bằng $3$. Chứng minh $\frac{a(a+c-2b)}{ab+1}+\frac{b(b+a-2c)}{bc+1}+\frac{c(c+b-2a)}{ca+1}\geq 0$

Cho $x,y>0$.Chứng minh $\frac{x^4y^4}{(x+y)^2(x+1)^4(y+1)^4}\leq \left ( \frac{3}{8} \right )^6$

Giải phương trình $(4x+1)\sqrt{x+2}-(4x-1)\sqrt{x-2}=21$