thảo luận tiếp đi các bạn 

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt{7-y}=4 \\ \sqrt{y+1}+\sqrt{7-x}=4 \end{matrix}\right.$

Trừ vế cho vế rồi dùng liên hợp ta được x=y 

Ta có

\[\text{Vế trái  -  Vế phải} = \frac{\displaystyle 3\sum (c^2+5)(ab-1)^2 + \sum (a+b-2c)^2 + 3\left(\sum ab -3\right)^2}{9}.\]

Anh ơi cho em hỏi là anh dùng kĩ thuật gì để ra cái này ạ

6.$\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}=2+(x-y)^{2}$

7.$\sqrt{2x-1}+x^{2}-3x+1=0$

8.$\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^{2}-4}-2x+2$

6 ) VP $\geq$ 2 VÀ 2$\geq$VT 

7 ) VP $\geq$ 0

8 )

Ngày thi thứ hai 

https://drive.google...FRyNnBwems/view

Nguồn : Facebook Thầy Nguyễn Khắc Minh

Cho số nguyên dương $m$ mà $2^{m+1}+1|3^{2^m}+1$.

   a. Chứng minh $2^{m+1}+1$ là số nguyên tố.

   b. Giả sử $x,\ y$ là hai số phân biệt tùy ý lấy từ tập $\{ 2,\ ..., 2^m \}$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho

$$x^{2^n}+y^{2^n}$$

là hợp số.

Cho tam giác ABC có góc B = 60 độ : góc C = 45 độ  . Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD= $\frac{1}{2}$ AB 

Tinh góc BDC

Bài 3 là x² hay là x³ các bạn nhỉ 

Đưa cả đề lên anh em cùng thảo luận đi bạn

Qua trao đổi với thầy Trần Việt Hùng thì mình đã xin được link download Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ , mình chia sẽ cho bạn nào cần 

https://www.fshare.v...er/YWE1MU1DI75U

Qua đây Em xin cảm ơn thầy Trần Việt Hùng rất nhiều               

Bạn nào có tài liệu về lập trình trên máy tính cho mình xin với ? 

Toán học và Tuổi trẻ năm 2016


https://www.fshare.v...le/IKXSWWJNDLLW

Dự kiến gần Tết Âm lịch sẽ có thêm một bản dịch nữa cuốn sách của Sierpinski.

Chào bạn . Bản dịch tiếp theo của bạn đã xong chưa chia sẽ cho các bạn trên diễn đàn với . Mình mong chờ mãi . Cảm ơn bạn 

http://diendantoanho...được/?p=670536

Ở đây cũng có 1 TH giống bạn . mình nghĩ nên lập mật khẩu khác mà dùng 

Hiện giờ, mình không thể đăng nhập vào diễn đàn được.Nó cứ xuất hiện dòng chữ này :


Trang web này không thể cung cấp kết nối an toàn
diendantoanhoc.net sử dụng giao thức không được hỗ trợ.
ERR_SSL_VERSION_OR_CIPHER_MISMATCH

ẨN CHI TIẾT


Giao thức không được hỗ trợ
Ứng dụng và máy chủ không hỗ trợ bộ mã hóa hoặc phiên bản giao thức SSL thông thường. Vấn đề này có thể xảy ra khi máy chủ cần RC4. Chuẩn này không còn được coi là an toàn nữa.

Làm sao khắc phục đây ? Ai có thể giúp mình được không ?

ta có n²= n(n+1)-n 

Từ đây thì dễ rồi 

tìm n $\in N$ biết  $1+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=1136275$

Giải như sau:
TH1: $3^x-2^y=1 \Rightarrow 3^x-1=2^y$
Ta cm quy nạp thu được $3^{2^k}-1 \vdots 2^{k+1}$ mà $\not \vdots 2^{k+2}$
Giờ cm $2^k$ là số nhỏ nhất thỏa $3^h-1 \vdots 2^{k+1}$ thật vậy giả sử ngược lại hay tồn tại $l<2^k$ sao cho $3^l-1 \vdots 2^{k+1}$ suy ra $2^k \vdots l$ (theo định lý cơ bản về cấp số, cm bằng cực hạn) suy ra $l=2^t$ và do $l<2^k$ nên $t<k$ suy ra $3^{2^t}-1 \vdots 2^{k+1}$ lại có theo quy nạp ở trên $3^{2^t}-1 \vdots 2^{t+1}$ mà $\not \vdots 2^{t+2}$ mà $t+2<k+1$ nên $3^{2^t}-1 \not \vdots 2^{t+1}$ loại do đó có đpcm hay $2^k$ là số nhỏ nhất thỏa $3^h-1 \vdots 2^{k+1}$
Áp dụng vào có $3^{2^{y-1}}-1 \vdots 2^y$ với $2^{y-1}$ nhỏ nhất thỏa
Suy ra $x \vdots 2^{y-1}$ nên $x\geq 2^{y-1}$ suy ra $3^x-1\geq 3^{2^{y-1}}-1$
Đặt $2^{y-1}=a$ suy ra $3^x-1\geq 3^a-1$ hay $2^y\geq 3^a-1 \Rightarrow 2a\geq 3^a-1$ bằng quy nạp cm được $a>1$ thì $3^a-1>2a$ loại do đó $a=1$ nên $y=1$ suy ra $x=1$
TH2: $2^y-3^x=1 \Rightarrow 2^y-1=3^x$ tương tự trên, ta cm được $2.3^{x-1}$ là số nhỏ nhất thỏa $2^h-1 \vdots 3^x$
Do đó $y \vdots 2.3^{x-1}$ nên $2^y-1\geq 2^{2.3^{x-1}}-1$
Đặt $3^{x-1}=b$ suy ra $3b=2^{y}-1\geq 2^{2b}-1 \Rightarrow 3b\geq 2^{2b}-1$ bằng quy nạp cm được $b\geq 3$ thì $2^{2b}-1>3b$ do đó $b=1,2$ nên $3^{x-1}=1,2$ nên $x-1=0 \Rightarrow x=1$ suy ra $y=2$
Vậy $\boxed{(x,y)=(1,1),(1,2)}$ là tất cả nghiệm

Mình có 2 cách cho bài toán này.

Cách 1 : Chọn $n$ thuộc tập hợp số nguyên tố dạng $4k+1$. Khi đó theo định lý Fermat-Euler về tổng hai bình phương thì luôn tìm được $x,y$ thỏa mãn phương trình trên.

Cách 2 : Chọn $n=3^{2^k}-1$

Ta đi chứng minh phương trình : $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương.

Với $k=1$. Chọn $x=y=2$

Giả sử khẳng định trên đúng đến $k$. Ta chứng minh nó đúng với $k+1$.

Thật vậy. Ta có $3^{2^{k+1}}-1=(3^{2^{k}}-1)(3^{2^{k}}+1)$

Ta có $3^{2^k}-1$ có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương (Theo giả thiết quy nạp). Và $3^{2^{k}}+1$ cũng viết được dưới dạng tổng hai bình phương.

Từ đó theo đồng nhất thức : $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ab+cd)^2+(ac-bd)^2$. Ta suy ra $3^{2^{k+1}}-1$ viết được dưới dạng tổng hai bình phương. Tức là tồn tại $x_{1},y_{1}$ thỏa $3^{2^{k+1}}-1=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$ 

Theo nguyên lý quy nạp. Ta có phương trình $3^{2^k}=x^2+y^2+1$ luôn có nghiệm nguyên dương

Gọi m² là ước chính phương lớn nhất của n . Nên n = m²k

Ta sẽ chứng minh khẳng định sau đây 

Điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương là 

+ Nếu k=1 thì m có ước nguyên tố dạng 4k+1

+ Nếu k>1 thì l không có ước nguyên tố dạng 4k-1 

P/s : Mình đọc trong quyển bài giảng số học của Đặng Hùng Thắng  hình như là tập 1 

Kính gửi quản trị viên và những người điều hành diễn đàn , theo em nghĩ thì các anh chị nên tổng hợp các bài toán chưa có lời giải theo từng năm . Như thế thì sẽ có người có thể biết và giải các bài toán đó . Nếu không các bài toán chưa có ai giải thì nó sẽ tiếp tục trôi đi . em xin cảm ơn

Bà​i toán 7: 

tìm tất cả các bộ $(x;y)$ là số thực sao cho $x+y$ là số nguyên và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ là một số nguyên

Bà​i toán 7: 

Đặt x+y=m ; $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=n ; m,n\epsilon Z$

$\Rightarrow xy= \frac{m}{n}\Rightarrow xyn=m$

thay y=m-x 

Ta có : $x^{2}n-mnx+m = 0$

$\Delta =\left ( mn \right )^{2}-4mn$ 

TH1 : n=0 các bạn tự xét 

TH2 : n khác 0

*Nếu m =0 Tự xét

*Nếu m khác 0

$\Rightarrow x=\frac{mn+\sqrt{\left ( mn \right )^{2}-4mn}}{2n}$ 

Hoặc $x=\frac{-mn+\sqrt{\left ( mn \right )^{2}-4mn}}{2n}$

Khi đó $y= m-\frac{mn+\sqrt{\left ( mn \right )^{2}-4mn}}{2n}$ 

hoặc $y=m-\frac{-mn+\sqrt{\left ( mn \right )^{2}-4mn}}{2n}$

Bài Toán 6:

  Tìm các cặp số nguyên a,b sao cho 

        $\frac{b^{2}+ab+a+b-1}{a^{2}+ab+1}$ là số nguyên

ta có   $\frac{b^{2}+ab+a+b-1}{a^{2}+ab+1}+1$ là số nguyên

$\Rightarrow \left ( a+b \right )\left ( a+b+1 \right )\vdots a^{2}+ab+1$

Mà gcd $\left ( a+b; a^{2}+ab+1 \right )= 1$

*Nên $\left ( a+b+1 \right )\vdots a^{2}+ab+1$

*Nếu a+b =0 nên a, b thuộc tập Z

*Nếu a+b = 1 : Tự xét 

Nếu a+b khác 0 ;1 

với a>1 hoặc a<-1 

Ta có $\mid a^{2}+ab+1\mid > \mid a+b+1 \mid$ 

Vậy không thỏa mãn 

với a=1;0;-1 các bạn tự xét

Bài toán sau là đề ra kì này của tạp chi PI của bạn tháng 11/2016 và đã được đưa giải trong số đầu của tạp chí PI. Tác giả bài toán là thầy Võ Quốc Bá Cẩn. Mình post bài này để các bạn thảo luận cùng tìm các cách khác nhau để giải. 

 

P3. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$ thoả mãn điều kiện $a^2+1=bc, c^2+1=da$. 

a) Chứng minh rằng $P= \frac{a+d}{c}+ \frac{b+c}{a}$ là một số nguyên.

b) Tìm tất cả các giác trị có thể của $P$.

Cộng vế ta có : $bc+c^{2}= ad+d^{2}$

$\Rightarrow p= \frac{2\left ( a^{2}+ad \right )}{ca}= \frac{2\left ( a+d \right )}{c}$

Mà $c\left ( b+c \right )=a\left ( a+d \right )$ 

Gọi gcd(a; c)=d $\Rightarrow a\vdots d ; c\vdots d$

mà $a^{2}+1=bc \Rightarrow 1 \vdots d$ 

vậy gcd (a; c) =1 nên a+d $\vdots c$ 

vậy p=$ \frac{2\left ( a+d \right )}{c}$ nên p là số nguyên 

b ) ta có p= $\frac{2\left ( a+d \right )}{c}$ $\Rightarrow d = \frac{pc}{2}-a$

thay vào FT $c^{2}+1= ad$ 

Ta có : $a^{2}-\frac{pca}{2}+c^{2}+1 =0$ với p / 2 là số nguyên dương 

Đây là phương trình điôphăng bậc hai có ở nhiều sách mình không giải chi tiết 

$\rightarrow \frac{p}{2}=3 \Rightarrow p =6$

cho mình hỏi khi nào thì thi TST nhỉ 

Cho $p,q>1;(p,q)=1$ nguyên dương.

Chứng minh: Tồn tại $k$ nguyên sao cho $(pq-1)^{n}k+1$ là hợp số với mọi $n$ nguyên dương.

Với k=-1 luôn luôn thỏa mãn