CHo hình thang ABCD; E thuộc AB; F thuộc CD.
Gọi M là giao của FA và EC
Gọi N là giao của FB và ED
CMR: MN//BC//AD
P/s: ĐỊnh lí Pappus mà hơi đặc biệt
Có 221 mục bởi yeutoan2001 (Tìm giới hạn từ 24-04-2020)
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 10-03-2018 - 17:35 trong Hình học
CHo hình thang ABCD; E thuộc AB; F thuộc CD.
Gọi M là giao của FA và EC
Gọi N là giao của FB và ED
CMR: MN//BC//AD
P/s: ĐỊnh lí Pappus mà hơi đặc biệt
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 22-09-2017 - 23:09 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 20-09-2017 - 20:56 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Ngày 1:
Bài 1: Cho $(a_n)$ xác định bởi công thức sau: $ a_0=1, a_1=4, a_{n+1}=2a_n+3a_{n-1} $. Chứng minh rằng trong dãy số trên không có số nào là bội của $2017$.
Bài 2: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P(\sqrt [3]{3})=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.
Bài 3: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $H,K$ là hình chiếu của $A$ lên $CB,CD$. $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB,AD,CH,CK$. $S,T$ lần lượt thuộc $AH,AK$ sao cho $PS \perp PM, QT \perp QN$. $AP,AQ$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $E,F$. Chứng minh rằng $SE,TF$ cắt nhau trên $(O)$.
Bài 4: Cho 2017 số 0 nằm trên hàng ngang. Mỗi lần ta lấy 10 số liên tiếp và tăng những số đó lên 1 đơn vị. Hỏi sau một số hữu hạn bước, trên hàng ngang có nhiều nhất bao nhiêu số bằng nhau?
Ngày 2:
Bài 5: Cho n là số nguyên dương. Giả sử phương trình $\frac {1}{\sqrt [3]{x}} + \frac {5}{\sqrt [7]{y}} = \frac {1}{n}$ có m cặp nghiệm nguyên dương $(x,y)$ và m-1 là số chính phương. Chứng minh rằng n là số chính phương.
Bài 6: Cho 2 đường tròn $(O),(K)$ cắt nhau tại $A,B$ và $K$ nằm trên $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $(K)$ lần thứ hai tại $P$, $PB$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $C$. Một đường thẳng bất kỳ qua $P$ cắt $(O)$ tại $M,N$. Tiếp tuyến tại $M,N$ của $(O)$ cắt $AP$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng $R,Q,K,C$ thuộc cùng đường tròn.
Bài 7: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) ≠ 0$. Chứng minh rằng:
$\frac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \frac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \frac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geq 0$
Gọi Giao CK và AP là T
Gọi RN giao QM là H
Dễ thấy: TK.TC=TA^2
Lại có: KAP cân tại K => <KAP=KPA = <KCA=<KCB (DO CK là Phân giác ACB)
=> TK.TC=TP^2
=> TP=TA
Đường trong O là đường tròn nội tiếp Tam giác HQR nên ba đường RM,HA,QN đồng qui tại điểm Lemone
=> (PAQT)=-1 Mà T là TĐ PA => TQ.TR=TA^2=TK.TC -------> RQKC nội tiếp
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 15-09-2017 - 23:11 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Câu 1 : Cho dãy số $( x_n )$ thỏa mãn $x_1 = 2 , x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$
Xác định HSTQ Của $x_n$ và tìm $lim x_n$
Câu 2 : Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Một điểm $H$ thuộc đoạn $AB$ . Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AB$ cắt $(O)$ tại $C$ . Đường tròn đường kính $CH$ cắt $AC,AB,(O)$ tại $D,E,F$
a) Chứng minh rằng $AB,DE,CF$ đồng quy
b) Đường tròn tâm $C$ bán kính $CH$ cắt $(O)$ tại $P,Q$
Chứng minh rằng $P,Q,D,E$ thẳng hàng
Câu 3
a) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn đồng nhất thức :
$x.P(x-1)=(x-3).P(x)$
b) Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f(xy)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+f(x+y)$ $\forall x,y\in \mathbb{R}$
Câu 4 :Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên thỏa mãn $a+b+c=a^2.(c-b)+b^2.(a-c)+c^2(b-a)$
Chứng minh rằng $a+b+c$ chia hết cho 27
Câu 5 : Cho tập $M$ gồm 2017 số dương $a_1;a_2;...;a_{2017}$ . Xét tất cả các tập con $T_i$ khác rỗng của $M$. Gọi $s_i$ là tổng các số thuộc tập $T_i$ nói trên . Chứng minh rằng có thể chia tập hợp tất cả các số $s_i$ được thành lập như vậy thành 2017 tập hợp con khác rỗng không giao nhau sao cho tỷ số của 2 số bất kì thuộc còng một tập hợp con vừa được thân chia không quá 2
Câu4:
$ a+b+c=(b-a)(a-c)(b-c)$
Bây giờ ta sẽ chỉ ra dù sao thì $a+b+c$ cũng chia hết cho $3$
Trước tiên: nếu $3$ số $a,b,c$ có cùng số dư khi chia $3$ thì
VP chia hết cho $3$
=> VT chia hết cho $3$
Vậy còn trường hợp $a,b,c$ có bộ số dư khi chia cho ba lần lượt là $0,1,2$
Nhưng như vậy thì $a+b+c$ cũng chia hết cho $3$
Vậy $a+b+c$ chia hết cho $3$ nên phải có hai số có cùng số dư khi chia cho $3$:
Giả sử đó là $a,b$ cùng số dư .
+>Ta giả sử $a,b$ chia cho $3$ cùng dư $0 $
=> Vp Chia hết cho $3 => c$ chia hết cho $3 =>$ Vp chia hết cho $27 => a+b+c$ chia hết $27$
+> Giả sử a,b cùng chia 3 dư $1 =>$ vì $a+b+c$ chia hết cho 3 nên c cũng chia 3 dư 1
vậy $a-b,b-c,c-a $ chia hết cho $3 =>a+b+c$ chia hết 27
+> cùng chia 3 dư 2 vì $ a+b+c$ chia hết cho 3 nên. c chia 3 dư 2
Vậy $a-b;b-c;a-c $ chia hết cho $3 => a+b+c$ chia hết 27
===> QED
(lười Latex)
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 15-09-2017 - 22:38 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Câu 1: Đặt $v_n=\frac{1}{x_{n}+1}$ Hay thay $x_{n}=\frac{1-v_{n}}{v_{n}}$
$=> v_{n+1}=1/3 +1/3.v_n $
Tới đây dễ tìm được công thức tổng quát và lim
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 15-09-2017 - 22:34 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Câu 1 : Cho dãy số $( x_n )$ thỏa mãn $x_1 = 2 , x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$
Xác định HSTQ Của $x_n$ và tìm $lim x_n$
Câu 2 : Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Một điểm $H$ thuộc đoạn $AB$ . Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AB$ cắt $(O)$ tại $C$ . Đường tròn đường kính $CH$ cắt $AC,AB,(O)$ tại $D,E,F$
a) Chứng minh rằng $AB,DE,CF$ đồng quy
b) Đường tròn tâm $C$ bán kính $CH$ cắt $(O)$ tại $P,Q$
Chứng minh rằng $P,Q,D,E$ thẳng hàng
Câu 3
a) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn đồng nhất thức :
$x.P(x-1)=(x-3).P(x)$
b) Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$f(xy)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+f(x+y)$ $\forall x,y\in \mathbb{R}$
Câu 4 :Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên thỏa mãn $a+b+c=a^2.(c-b)+b^2.(a-c)+c^2(b-a)$
Chứng minh rằng $a+b+c$ chia hết cho 27
Câu 5 : Cho tập $M$ gồm 2017 số dương $a_1;a_2;...;a_{2017}$ . Xét tất cả các tập con $T_i$ khác rỗng của $M$. Gọi $s_i$ là tổng các số thuộc tập $T_i$ nói trên . Chứng minh rằng có thể chia tập hợp tất cả các số $s_i$ được thành lập như vậy thành 2017 tập hợp con khác rỗng không giao nhau sao cho tỷ số của 2 số bất kì thuộc còng một tập hợp con vừa được thân chia không quá 2
Câu 2 hình: đề nên sữa lại thành
a: $AB,DC,EF$ đồng qui
b: $P,Q,E,F$ thẳng hành
Câu 3: a/ Thay: $x=0 => P(0)=0$
Thay $x=3 => P(2)=0$
$=> P(x)=x(x-2)Q(x)$
Thế vào trên được $Q(x)=Q(x-1) => Q(x)=C: const $
Hay $P(x)=Cx(x-2)$
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 30-08-2017 - 20:19 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Câu 2:
Đặt ẩn phụ x,y,z dễ dàng có điều sau:
$x+y+z=5$
$xyz=1$
Trong x,y,z cũng có số bé hơn 4 chọn đó là z
Ta cần CM:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$=$(5-z)z+\frac{1}{z}\geq \frac{17}{4}$
$\Leftrightarrow (2z-1)^2(4-z)\geq 0$ (đúng)
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 16-07-2017 - 22:37 trong Hình học
AM cắt (O1) tại L.
=> MLCB điều hòa
=>M(MLCB)=-1
Mà M(MLCB)=M(MAFE)
=> MAFE điều hòa ----> Tiếp tuyến tại M tại A và EF đồng qui
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 16-07-2017 - 21:19 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Hình học
File tổng hợp các chuyên đề hình học trong các số của TC THTT
Bị sao rồi ấy tải không được
bạn sửa dùm Cảm Ơn
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 02-07-2017 - 12:11 trong Hình học
Gọi $A"$ đối xứng $A$ qua $O$ , $AH$ cắt $BC$ tại $T$ , $A'T$ cắt $AC$ tại $M$ , $BH$ cắt $AC$ tại $N$, $HA$ cắt $BC$ tại $D$ . Ta có $HD.HA = HL.HT = HN.HB$ nên tứ giác $NLBT$ nội tiếp . Khi đó $\angle TLB = \angle TNH = \angle HMT \implies MH \perp BL$. Mà $LN \parallel MH$ nên $\angle BLE = 90$
Chỗ này là LE chứ bạn mà bạn chứng minh luon dùm vì sao nó song song
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 30-06-2017 - 22:01 trong Hình học
Cho $\bigtriangleup$ ABC trực tâm H.Nội tiếp đường tròn tâm (O). Qua O vẽ OE $\left | \right |$ BC E thuộc AC. L là Trung điểm của AH. CM $\angle$BLE=90
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 21-06-2017 - 20:35 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Cho $a, b, c\in \mathbb{R}$ thỏa $ab+bc+ca=3.$ Chứng minh rằng: $M=\sqrt[3]{\frac{a^{6}+b^{6}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^{6}+c^{6}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^{6}+a^{6}}{2}}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-6.$
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức nhỏ sau:
$(x-1)^{4}(23x^2-16x+23)\geq$ 0
<=> $(3x^2-3x+3)^{3}\geq 4x^6+4$
<=> $\sqrt[3]{4x^6+4}+4x\leq 3x^2+3$
Thay x=$\frac{a}{b}$
Ta được $\sqrt[3]{\frac{a^6+b^6}{2}}+2ab\leq \frac{3}{2}(a^2+b^2)$
Cộng tương tự lại => ĐPCM
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 20-06-2017 - 08:30 trong Số học
Chiều 1:
$(2m+3)^{n}+1\vdots 3$
Dễ dàng => m chia 3 dư 1 và n phải lẻ
Đồng thời có $3^{n}+1\vdots 2m$
=> v2($3^{n}+1$)$\geq$ 1+v2(m)
=> đặt m=$2^{x}.\prod pi^{ni}$ (pi lẻ)
=> $(\frac{-3}{pi})=1$ vì n+1 chẵn nên dùng thặng dư bình phương
=> $\prod pi^{ni}\equiv 1(mod 6)$
mà m chia 3 dư 1 và x$\leq$1 => x=0 => v2(m)=0
Lại có $\frac{3^{n}+1}{2m}$ nguyên mà
v2($3^{n}+1$)-v2(m)=1
=> $\frac{3^{n}+1}{2m}$ chia hết cho 2 => đpcm;
Chiều 2: $3^{n}+1\vdots 4$ => n lẻ
Ta có: v2(3n+1)$\geq$ v2(4m) => v2(m)=0
Đặt m=$\prod pi^{ni}$ (pi nguyên tố lẻ) Tươgn tự trên => m=6k+1=3h+1
Ta cần c/m: $(2m)^{n-1}+\frac{3^{n}+1}{2m}\vdots 3$
Mà có: $(2m)^{n-1}\equiv 1 (mod3)$
Đặt $\frac{3^{n}+1}{2m}=k$
=>$3^{n}+1=2m.k=(6h+2).k$ Dễ thấy k$k\equiv 2(m0d3)$
Dễ dàng => $(2m)^{n-1}+\frac{3^{n}+1}{2m}\vdots 3$
Cho $m,n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng:
$(2m+3)^n+1\vdots 6m\Leftrightarrow 3^n+1\vdots 4m$
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 21-04-2017 - 21:17 trong Hình học
Cho TAm giác ABC nội tiếp (O). B,C cố định A di động. (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. (O1) là đường tròn qua AB và tiếp xúc với (I) tại E. (O2) là đường tròn qua A,C tiếp xúc (I) tại F. Phân giác AEB cắt (O1) tại M và phân giác (AFC) cắt (O2) tại N
a> CMR: EFMN nội tiếp
b> Gọi J là giao của EM,FN. CMR: IJ đi qua điểm cố định
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 21-04-2017 - 18:49 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 08-04-2017 - 21:17 trong Bất đẳng thức - Cực trị
cho a+b+c=1.a,b,c dương:
tìm maxP= $\sum \frac{4}{a+b}-\sum \frac{1}{a}$
Nhân 1=a+b+c vào Ta cần Chứng minh Bất đẳng thức sau:
$\sum \frac{4(a+b+c)}{a+b}-\sum \frac{a+b+c}{a}\leq 9$
Điều này tương đương với
$\sum \frac{b+c}{a}\geq \sum \frac{4a}{b+c}$
ĐIều này đúng vì ta có bất đẳng thức sau và tương tự
$\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq \frac{4c}{a+b}$
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 04-04-2017 - 10:59 trong Bất đẳng thức - Cực trị
3=\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geq \sum \sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ac}{b}}=a+b+c
Tìm được Max của ab+bc+ac
=> VT>=42>=VP
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 02-04-2017 - 09:08 trong Số học
Ta có $\frac{p^p-1}{p-1} \not \equiv 1 \pmod{p^2}$.
Do đó tồn tại $q$ là số nguyên tố là ước của $\frac{p^p-1}{p-1}$ sao cho $p \equiv x \pmod{p^2} ,x \ne 1$
Ta sẽ chứng minh số $q$ đó thỏa mãn
Trước tiên thấy rằng
+) Nếu $q|p-1 \Rightarrow q|p^p-1$
+) Nếu $q \not | p-q$ thì $(p-1,q)=1$
Mà $q|\frac{p^p-1}{p-1} \Rightarrow p^p \equiv 1 \pmod{q}$
Tóm lại ta luôn có $q|p^p-1$
Giả sử tồn tại $n$ sao cho $q|n^p-p$ suy ra $n^{p^2} \equiv n^p \equiv 1 \pmod{q}$
Đặt $K=o_q(n)$ khi đó $k|p^2 Rightarrow k \in \{1,p,p^2}$
Nếu $k=1 \Rightarrow p \equiv 1 \pmod{q} \Rightarrow p^{p-1}+p^{p-2}+..+1 \equiv p \pmod{q}$
Mà $q|\frac{p^p-1}{p-1} \Rightarrow p \equiv 0 \pmod{q}$ (vô lí)
Nếu $k=p \Rightarrow p \equiv n^p \equiv 1 \pmod{q} \Rightarrow q|p-1$ theo chứng minh trên thì ta cũng có điều vô lí
Nếu $k=p^2$ thì $p^2|\phi(q)=q-1 \Rightarrow p^2|q-1$ không thỏa mãn cách chọn$q$.
Vậy ta có đpcm
Ủa chả $n^p-1\vdots q$ hả bạn
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 01-04-2017 - 20:05 trong Số học
Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố q sao cho với mọi n nguyên dương,
$n^p-p$ không chia hết cho q
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 28-03-2017 - 18:08 trong Số học
Nếu n=1 thì hiển nhiên
Nếu n>1
p không thể chẵn
Xét thêm TH: p=5 =
Với p khác 5 thì
Do $a\vdots 5$ và n>1
Nên $2^{p}+3^{p}\vdots 5^{2}$
Mà $2^p+3^p=5.(2^{p-1}-2^{p-2}.3+...-2.3^{p-2}+3^{p-1})$
Mà -3 đồng dư với 2 mođulô 5
Nên $2^{p-1}-2^{p-2}.3+...-2.3^{p-2}+3^{p-1}\equiv p.2^{p-1}(mod5)$
Mà $p.2^{p-1}\not\equiv 0 (mod 5)$ Nên vô lí vì VT không chia hết cho 25
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 24-03-2017 - 18:25 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Iran 96 ? cac anh chi co the giai thich ra duoc khong a ?
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 23-03-2017 - 16:16 trong Hình học
CHo Tam giác ABC có ba đường cao AH,CM,BN Lấy F thuộc CM sao cho AFB=90, Và D thuộc BN sao cho ADC=90 F,D nằm trong tam giác ABC. Trực tâm tam giác ABC là K
P thuộc BC sao cho BF,CD,PK đồng qui
CMR: DFPH nội tiếp
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 23-03-2017 - 11:54 trong Bất đẳng thức và cực trị
Lời giải hay quá nhưng làm sao để biết được dẫu = xảy ra khi x=y=z, với các bài dấu = xảy ra phức tạp thì phải làm sao???
Mình chỉ đoán thôi bạn chứ dấu bằng xảy ra xấu thì mình nghĩ phải cân bằng hệ số mà phương pháp ấy khá phức tạp về bước giải phương trình mà không có máy thính thì chịu
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 23-03-2017 - 00:08 trong Bất đẳng thức và cực trị
Kỹ thuật này dùng phương pháp đồng nhất hệ số. Đầu tiên dùng bất đẳng thức AM-GM hoặc AM-GM suy rộng ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất khi $x=y=z$ và bài toán quy về chứng minh
\[(3x^2+4y^2+5z^2)(3x+2y+z) - 72xyz \geqslant 0.\]
Vì vế trái là một đa thức bậc $3$ không hoán vị cũng không đối xứng nên nếu biểu diễn được dưới dạng sos thì nó có thể có dạng
\[\begin{aligned}(3x^2+4y^2&+5z^2)(3x+2y+z) - 72xyz = \\&= (m_1x+m_2y+m_3z)(x-y)^2 + (m_4x+m_5y+m_6z)(y-z)^2 + (m_7x+m_8y+m_9z)(z-x)^2.\end{aligned}\]
Đồng nhất hệ số hai vế giải hệ phương trình tìm nghiệm $m_i \geqslant 0,\,i=1,\,2,\,\ldots,\,9.$ Chú ý rằng hệ phương trình thu được là hệ phương trình tuyến tính và có thể có nhiều nghiệm nên phân tích trên không phải là duy nhất.
Có thể xem thêm ở đây.
Anh có Tool hỗ trợ không ạ chứ em thấy anh biến đổi các bài phức tạp đều về SOS và chỉ cần tiêu chuẩn cơ bản
x, y, z là các số thực thỏa mãn: $2xyz=3x^{2}+4y^{2}+5z^{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất: $P=3x+2y+z$
2xyz=$3x^2+4y^2+5z^2\geq 12\sqrt[12]{x^6y^8z^10}$
Suy ra $x^{3}y^{2}z\geq 6^6$
Mà: P=3x+2y+z$\geq 6\sqrt[6]{x^3y^2z}\geq 36$
Đã gửi bởi yeutoan2001 on 21-03-2017 - 17:19 trong Số học
Bài toán qui về chứng minh:
$a^{n-1}-1\vdots n$
Thật vậy ta có
$a^{2(p-1)}-1\vdots p$
MÀ ($a(a^2-1),p$)=1 nên
Do n lẻ nên n-1 chia hết cho 2
Suy ra n-1=$\frac{a^{2p}-a^2}{a^2-1}\vdots 2p$
=>
$a^{n-1}-1\vdots a^{2p}-1\vdots \frac{a^{2p}-1}{a^2-1}$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học