Bài toán 

Tìm tất cả giá trị của m để hàm số
$y=8^{cotx}+(m-3).2^{cotx} +3m-2$ đồng biến trên $(\frac{\pi }{4},\pi )$
 

$PT\Leftrightarrow 8^{1/tanx}+(m-3)2^{1/tanx}+3m-2$ với $tanx\epsilon (0;1)$

Để hàm số đòng biến trên khoảng $(0;1)$ thì:

$\Leftrightarrow y'=-\frac{8^{\frac{1}{tanx}}log(8)}{tan^2x}-(m-3)\frac{2^{\frac{1}{tanx}}log(2)}{tan^2x}\geq 0$

$\Leftrightarrow m-3\leq -\frac{8^\frac{1}{tanx}log(8)}{2^\frac{1}{tanx}log(2)}=-3.4^\frac{1}{tanx}\Leftrightarrow m\leq 3(1-4^\frac{1}{tanx})$

Đến đây tìm Min của VP hay tìm Min của $tanx$ trong khoản $(0;1)$ là xong, nhưng tìm không ra => tịt 

Ý của em là ta giải ra được $y=4x$ thì $x=2,3,4$ thì vẫn được chứ ạ ?

Ở TH2 người ta cũng làm như thế ...

Cho mình hỏi ở TH1 thì sao A không phải là C2H6 hoặc C3H8 hoặc C4H10 mà chỉ mỗi CH4 ?? Mặc dù A ở thể khí ?

$2cos^{2}x+\sqrt{3}cosx(2sinx-3)-11=3sinx$

Đề sai phải không nhỉ ???

Đề bài :

Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng (a) cắt bốn cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q. Chứng minh: $MA.NB.PC.QD\leq \frac{AB.BC.CD.DA}{16}$

Trong sách tham khảo của mình có bài này ...

Chèn $-x, x$  vào  để tính toán nhưng tính toán rất khiếp (cồng kềnh thôi) chứ không phức tạp!

 

 

 

Xét $f(x) =\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}+1}, g(x)= \sqrt[4]{x^{4}+3x^{3}+2}.$

Một số nhận xét:

i) $\lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x}=1, \lim_{x\to -\infty} \frac{g(x)}{x}=-1.$

ii) Với điều kiện thích hợp, ta có các đẳng thức sau

$$ f(x)-x = \frac{2x^2+1}{[f(x)]^2+xf(x)+x^2}= \dfrac{2+\frac{1}{x^2}}{\left[ \frac{f(x)}{x}\right]^2+\frac{f(x)}{x}+1},$$

và

$$ g(x)- (-x) = \frac{3x^3+2}{[g(x)]^3-x[f(x)]^2+x^2f(x)-x^3}= \dfrac{3+\frac{1}{x^3}}{\left[ \frac{g(x)}{x}\right]^3-\left[ \frac{g(x)}{x}\right]^2+\frac{g(x)}{x}-1},$$

 

iii) Từ (i) và (ii), ta có 

$\lim_{x\to- \infty} [f(x)-x]=\frac{2}{3},$ và $\lim_{x\to- \infty} [g(x)+x]=-\frac{3}{4}.$

 

Suy ra $\lim_{x\to -\infty} [f(x)+g(x)]= \lim_{x\to -\infty} [f(x)-x]+\lim_{x\to- \infty} [g(x)+x]=\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{12}.$

Cho em hỏi cái căn bậc 4 anh trục như thế nào vậy ạ ?

$1.$Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-2y-6+2\sqrt{2y+3}=0 & \\ (x-y)(x^2+xy+y^2+3)=3(x^2+y^2)+2 & \end{matrix}\right.$

$2.$ Giải phương trình $\sqrt[3]{81x-8}=x^3-2x^2+\frac{4}{3}x-2$

Bài 2:

$PT\Leftrightarrow \sqrt[3]{81x-8}-(3x-2)=x^3-2x^2-\frac{5}{3}x$

$\Leftrightarrow \frac{-27x^3+54x^2+45x}{\sqrt[3]{(81x-8)^2}+\sqrt[3]{81x-8}(3x-2)+(3x-2)^2}=x^3-2x^2-\frac{5}{3}x$

$\Leftrightarrow (x^3-2x^2-\frac{5}{3}x)(\frac{-27}{\sqrt[3]{(81x-8)^2}+\sqrt[3]{81x-8}(3x-2)+(3x-2)^2}-1)=0$

Ta thấy $\sqrt[3]{(81x-8)^2}+\sqrt[3]{81x-8}(3x-2)+(3x-2)^2>0$ với mọi $x$

Giả sử $\frac{-27}{\sqrt[3]{(81x-8)^2}+\sqrt[3]{81x-8}(3x-2)+(3x-2)^2}-1=0\Leftrightarrow \sqrt[3]{(81x-8)^2}+\sqrt[3]{81x-8}(3x-2)+(3x-2)^2=-27<0$ (vô lý)

$\Rightarrow x^3-2x^2-\frac{5}{3}x=0$

Vậy ...

Hãy chứng minh $cos\frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cos(A)}{2}}$

Có $cosA=2cos^2\frac{A}{2}-1\Leftrightarrow cos\frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{cosA+1}{2}}$

Cho dãy số $\begin{Bmatrix} u_{n} \end{Bmatrix}$ được xác định như sau:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2011\\ u_{n-1}=n^{2}(u_{n-1}-u_{n}) \end{matrix}\right.$ với mọi $n\epsilon N^{*}, n\geq 2$

Chứng minh rằng dãy số $(u_{n})$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Xét $u_{n-1}=n^2(u_{n-1}-u_{n})\Leftrightarrow u_{n}=(\frac{n^2-1}{n^2})u_{n-1}$

Vậy ${u_{n}}$ là cấp số nhân với công bội $q=\frac{n^2-1}{n^2}$

CTTQ của dãy số là $u_{n}=(\frac{n^2-1}{n^2})^{n-1}2011$

$\Rightarrow lim_{u_{n}}=lim(\frac{n^2-1}{n^2})^{n-1}.lim(2011)=0$

P/s: Cách CM 1 dãy số có giới hạn theo định nghĩa nhìn loạn lắm, nếu bạn thi HSG thì hỏi người khác, còn thi THPT QG thì không cần quan tâm chi cho mệt , mình thì biết tính chứ CM thì mù

Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+12}+5=3x+\sqrt{x^{2}+5}$

$PT\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+12}-4)-(\sqrt{x^2+5}-3)-(3x-6)=0\Leftrightarrow (x-2)(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3)=0$

Dễ thấy $\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3< 0$

Vậy $S={2}$

Số cách xếp hs lớp 11 và 12: có $2.5!.5!$ cách

Giữa và hai đầu hàng của 10 hs này có 11 khoảng trống, xếp 6 hs lớp 10 vào: có $A(11,6)$ cách

XS cần tìm:

$2.5!.5!.A(11,6)/16!=$

Tại sao không phải như thế này ạ ?

Số cách xếp hs lớp 11 và 10: có $2.5!.6!$ cách

Giữa và hai đầu hàng của 11 hs này có 12 khoảng trống, xếp 5 hs lớp 12 vào: có $A(12,5)$ cách

XS cần tìm:

$2.5!.6!.A(12,5)/16!=$

 

Gọi F là tâm của hb hành ABCD

$CG =\frac23CF =\frac13AC$(1)

gọi E là điểm đối xứng với B qua C(2)

(1, 2)$\Rightarrow $G là trọng tâm của tg ABE

$\Rightarrow\overrightarrow{ME} =3\overrightarrow{MG}$

$\Rightarrow E =(10, 9)$

MF cắt EH tại I, có MF //AD //BC và M trung điểm AB

$\Rightarrow I $ là trung điểm EH

$\Rightarrow I =(5, 4)$

$\overrightarrow{MI} =(8, 4)$

đường thẳng BC qua E và lấy $\overrightarrow{MI}$ làm vectơ chỉ phương nên có pt tham số

$\left\{\begin{matrix}x =16 +8t\\y=9 +4t\end{matrix}\right.$(3)

$MH =\sqrt{10} =MB$

$\Rightarrow (16 +8t +3)^2 +(9 +4t -0)^2 =10$

$\Rightarrow 10t^2 +47t +54 =0$

$\Rightarrow t =0 $ hoặc $t =-\frac{47}{10}$

$\Rightarrow B =(16, 9) $hoặc $B =(-\frac{108}5, \frac{49}5)$

**nếu B =(16, 9)

C =(13, 9), A =(-22, -9), F =$(-\frac92, 0)$

D =(-25, -9)

**nếu $B =(-\frac{108}5, \frac{49}5)$

$C =(\frac{79}5, \frac{47}5), A =(\frac{78}5, -\frac{49}5), F =(\frac{157}{10}, -\frac15)$

$D =(53, -\frac{51}5)$ (đpcm)

 

Cho em hỏi tại sao $MH=MB$ ạ ?

Cho $2$ điểm $B(2;4)$, $C(4;6)$. Điểm $A$ nằm trên đường tròn có tâm $I(0;3)$, $R=2\sqrt{2}$.

Tìm trực tâm H của tam giác $ABC$ biết $H$ nằm trên đường thẳng có phương trình $(d):x-y+1=0$

Giải phương trình:

$2sin2x-3\sqrt{2}sinx+\sqrt{2}cosx-5=0(*)$

$PT\Leftrightarrow 2sin2x-2\sqrt{2}sinx+\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx-5=0$

Đặt $a=\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx(\left | a \right |\leq 2)$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2sin2x=2-a^2 & & \\ -2\sqrt{2}sinx=2a-2\sqrt{2}cosx& & \end{matrix}\right.$

$(*)\Rightarrow 2-a^2+2a-2\sqrt{2}cosx+\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx-5=0$

$\Leftrightarrow -a^2+2a-3-\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx=0(1)$

Đặt $u=-\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx$

$\Rightarrow u=\sqrt{4-a^2}$

Ta duoc $(1)\Leftrightarrow -a^2+2a-3+\sqrt{4-a^2}=0\Leftrightarrow a^4-4a^3+11a^2-12a+5=0\Leftrightarrow a^2(a-2)^2+7(a-\frac{6}{7})^2-\frac{1}{7}=0$ 

Mà $ a^2(a-2)^2+7(a-\frac{6}{7})^2-\frac{1}{7}>0$ 

Vậy $(*)$ vô nghiệm

tìm m để bất phương trình:2sin_²x-mcosx-3$\leq$ 0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc (0;$\frac{\Pi }{2}$)

$PT\Leftrightarrow 2cos^2x+mcosx+1\geq 0$

Bài toán trở thành: Tìm $m$ để $2cos^2x+mcosx+1\geq 0$ với mọi $cosx\in(0;1)$

$\Delta =m^2-8$

$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {cosx\geq \frac{-m+\sqrt{m^2-8}}{4}> 0} \\ {cosx\leq \frac{-m-\sqrt{m^2-8}}{4}< 1} \\ \end{array}} \right.$

Giải $\left\{\begin{matrix} -m+\sqrt{m^2-8}>0 & & \\ -m-\sqrt{m^2-8}<4 & & \end{matrix}\right.$

Ta được $m\leq -2\sqrt{2}$

Giải các phương trình:
1. $sin^{3}x+cos^{3}x=2-sin^{4}x$
2. $4cosx-2cos2x-cos4x=1$
3. $cot2x+cot3x+\frac{1}{sinxsin2xsin3x}=0$
4. $cot^{13}x+cot^{14}x=1$
5. $sin^{2000}x+cos^{2000}x=1$
6. $\frac{sin^{4}\frac{x}{2}+cos^{4}\frac{x}{2}}{1-sinx}-tan^{2}x.sin^{2}x=\frac{1+sinx}{2}+tan^{2}x$
7. $sin^{4}x+cos^{4}(x+\frac{\pi}{4})=1$
8. $\frac{\sqrt{1+cosx}+\sqrt{1-cosx}}{cosx}=4sinx$

$2.$ Bạn phân tích hết ra thành $cosx$, phương trình sau cùng là $2cos^4x-cos^2x-cosx=0$ 

Mình sắp đi học rồi, có gì tối về mình làm tiếp

Giải phương trình lượng giác sau :

$\sqrt{sinx}$ + $sinx$ + sin²x + cosx = 1

$PT\Leftrightarrow (\sqrt{sinx}+\frac{1}{2})^2=(cosx-\frac{1}{2})^{2}$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt{sinx}+\frac{1}{2}=cosx-\frac{1}{2}} \\ {\sqrt{sinx}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-cosx} \\ \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {cosx=\sqrt{sinx}+1(1)} \\ {\sqrt{sinx}=cosx(2)} \\ \end{array}} \right.$

$(1)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sinx=0 & & \\ cosx=1 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=k2\pi$

Còn $(2)$ thì mình giải chưa ra, bạn thử làm xem nhé

Tìm Max, Min của:

$y=(cos^{2}x+\frac{1}{cos^{2}x})^{2} + (sin^{2}x+\frac{1}{sin^{2}x})^{2}$

$(*)$$=sin^4x+cos^4x+\frac{1}{sin^4x}+\frac{1}{cos^4x}+4=(sin^4x+cos^4x)(1+\frac{1}{sin^4xcos^4x})+4$

$=(1-\frac{1}{2}sin^22x)(1+\frac{16}{sin^42x})\geq (1-\frac{1}{2})(1+\frac{16}{1})+4=\frac{25}{2}$

Vậy $Min_{y}=\frac{25}{2}$ 

Không có giá trị Max vì khi $sin2x$ càng nhỏ thì $y$ càng lớn

Tìm Max, Min của:

$y=(cos^{2}x+\frac{1}{cos^{2}x})^{2} + (sin^{2}x+\frac{1}{sin^{2}x})^{2}(*)$

$(*)$$=sin^4x+cos^4x+\frac{1}{sin^4x}+\frac{1}{cos^4x}+4=(sin^4x+cos^4x)(1+\frac{1}{sin^4xcos^4x})+4$

$=(1-\frac{1}{2}sin^22x)(1+\frac{16}{sin^42x})\geq (1-\frac{1}{2})(1+\frac{16}{1})+4=\frac{25}{2}$

Vậy $Min_{y}=\frac{25}{2}$ 

Không có giá trị Max vì khi $sin2x$ càng nhỏ thì $y$ càng lớn

giải phương trình $sin(cosx)=cos(sinx)$

$PT$ $\Leftrightarrow sin(cosx)=sin(\frac{\pi}{2}-sinx)\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {cosx=\frac{\pi}{2}-sinx} \\ {cosx=sinx+\frac{\pi}{2}} \\ \end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {sin(x+\frac{\pi}{2})=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}} \\ {sin(x-\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{2\sqrt{2}}} \\ \end{array}} \right.$

Đến đây bạn tự giải nhé

Giải thích hộ mình chỗ này $sin^2x+sin^2y=sin(x+y)\Rightarrow x+y=\frac{\pi }{2}$

Đặt $x=sina,y=sinb$ với $a,b\in (0;\frac{\pi}{2})$

Trước tiên, ta có $A=sina+sinb+sin(a+b)=2sin\frac{a+b}{2}(cos\frac{a+b}{2}+cos\frac{a-b}{2})\geq 0$

Giờ ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của A.

Ta có:

$A^2=(sina+sinb+sin(a+b))^2\leq 3(sin^2a+sin^2b+sin^2(a+b)) =3(1-\frac{cos2a+cos2b}{2}+sin^2(a+b))=3(2-cos(a+b)cos(a-b)-cos^2(a+b)) =3(2+\frac{cos^2(a-b)}{4}-(cos(a+b)+\frac{cos(a-b)}{2})^2)\leq \frac{27}{4}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{\pi}{3}$

Bạn có thể giải thích cho mình đoạn $\leq$ rõ hơn được không ?

Chứng minh : Nếu $f(x)=a.cos2x+b.sin2x+c.cosx+d.sinx\geq 0$ $\forall x$ thì $a=b=c=d=0$