Phân định giải : https://bigschool.vn...a-thpt-nam-2018

https://docs.google....53aca63c1cb.pdf

Có một file nhỏ về định lý Lucas

Em cảm ơn anh ạ. Không biết có tài liệu nào về định lý Sylvester ko ạ ?

Như tiêu đề bài viết, hiện tại em đang kiếm vài tài liệu viết về định lý Sylvester và định lý Lucas. Do tài liệu trên mạng ít quá, em search toàn ra luận văn, ....

Em xin cảm ơn ạ.   

10+9+9+9+9+1 = 47 phần tử. sao lại có số 1 nhỉ,nếu thề thì tồn tại 2 phần tử có tổng chia hết cho 11 rồi (nhóm 10 và nhóm 1)

Mình cũng chưa hiểu chỗ đó lắm.

nhóm 1 có 9 phần tử thôi chứ {11,22,33,44,55,66,77,88,99}

 nhóm 1 là nhóm chia 11 dư 1. 

Bạn có thể thích rõ hơn các số 9 trong biểu thức : 10 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 47 được không ? Mình đã hiểu ý tưởng của bạn rồi.

Bài toán. 

     Gọi $a(n)$ là số cách biểu diễn số nguyên dương $n$ dưới dạng tổng quát các số $1$ và $2$.

Ví dụ : $5=1+1+1+1+1=2+1+1+1=1+2+1+1=1+1+2+1=1+1+1+2=2+2+1=2+1+2=1+2+2$ nên $a(5)=8$

     Gọi $b(n)$ là số cách biểu diễn số nguyên dương $n$ dưới dạng tổng quát các số nguyên lớn hơn 1 (bao gồm cả cách biểu diễn là chính số đó).

Ví dụ : $7=3+2+2=2+3+2=2+2+3=3+4=4+3=2+5=5+2$ nên $b(7)=8$

Chứng minh rằng : $a(n)=b(n+2)$ với mọi số nguyên dương $n$

cái pt dưới có bằng pt trên đâu ạ?

$ab−(a^{2}−2b^{2})=−(a−b)(a+2b)$ mà bạn !

http://diendantoanho...-dương-a-b-c-1/

Điều kiện : $x\geq -1$.

Đặt : $a=\sqrt{2x+3}; b=\sqrt{x+1}$. Ta có : $\left\{\begin{matrix} a;b\leq 0\\a^{2}-b^{2}=x+2 \\ ab=\sqrt{2x^{2}+5x+3} \\ a^{2}-2b^{2}=1 \end{matrix}\right.$.

Do đó : 

$BPT\Leftrightarrow (a^{2}-b^{2})(a-2b)+ab-(a^{2}-2b^{2})\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)(a+b)(a-2b)-(a-b)(a+2b)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)(a^{2}-ab-2b^{2}-a-2b)\geq 0$

Đến đây đơn giản hơn rồi !

Lời giải bài 3 : 

1) . Gọi $G, H$ lần lượt là giao điểm $LM, KM$ với $DK, LD$ . $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$ $\Rightarrow \Delta AEF$ cân tại $A$ $\Rightarrow AM$ vuông góc $EF$.

. Có : $\widehat{MFG}=\widehat{DEC}=\widehat{AEK}$ (cùng chắn cung $DE$). $\widehat{AME}=\widehat{AKE}=90^{O}\Rightarrow AKEM$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{KME}=\widehat{EAK}$, do đó $\widehat{MFG}+\widehat{FMG}=\widehat{AEK}+\widehat{EAG}=90^{O}\Rightarrow \widehat{FGM}=90^{O}\Rightarrow KG$ vuông góc $LD$.

. Tương tự : $LH$ vuông góc $DK$. Suy ra $M$ là trưc tâm $\Delta DLK$.

2) . Gọi $T;T'$ lần lượt là giao điểm của $FP;QE$ với $(I)$. 

. Dễ thấy $\Delta AQF$ cân tại $A$, $\Delta BFD$ cân tại $B$ $\Rightarrow \frac{180^{O} - \widehat{QAF}}{2}=\widehat{QFA}=\widehat{BFD}=\frac{180^{O} - \widehat{FBD}}{2}\Rightarrow \widehat{QAF}=\widehat{FBD}$, so le trong $\Rightarrow AQ$ song song $BC$. Tương tự $AP$ song song $BC$ $\Rightarrow Q, A, P$ thẳng hàng (theo tiên đề $Euclid$).

. Theo câu 1) thì $\widehat{EFD}=\widehat{AEP}$, mà $\widehat{AEP}=\widehat{APE}$ ($\Delta APE$ cân tại $A$) nên $\widehat{EFD}=\widehat{QPE}\Rightarrow QPEF$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{PFE}=\widehat{PQE}$ $(1)$.   

. $AQ=AE(=AF)\Rightarrow \Delta AQE$ cân tại $A$ $\Rightarrow \widehat{AQE} = \widehat{AEQ}$ $(2)$.

. Từ $(1);(2)\Rightarrow \widehat{PFE}=\widehat{AEQ}\Rightarrow \widehat{TFE}=\widehat{AET'}\Rightarrow T$ trùng $T'$. Suy ra đpcm.

Mình đâu cần phải xét cả dấu trừ mà bạn. Đầu tiên ta xét các số 0;1;2;3 hoặc có thể là nhiều hơn cho đến khi nào tìm được số thỏa mãn điều kiện của bài cho. Ở bài toán này ta chỉ cần xét đến 3, mà số dư của 3 có 3 dạng là 0;1;2 nên ta có 3k;3k+1;3k+2 sau đó bạn xét là ra thôi mà.

 Cảm ơn bn góp ý. Mình đã fix lại .

Xét $p=2\Rightarrow p^{2}+2=2^{2}+2=6$ (loại).

Xét $p=3\Rightarrow p^{2}+2=3^{2}+2=11$ (nhận). 

Xét $p>3$ , do $p$ là số nguyên tố nên $p$ không chia hết cho $3$.

    +) $p=3k+ 1\Rightarrow p^{2}+2=3(3k^{2}+ 2k+1)$ chia hết cho 3, không là số nguyên tố.

    +) $p=3k+ 2\Rightarrow p^{2}+2=3(3k^{2}+ 4k+2)$ chia hết cho 3, không là số nguyên tố. 

Khi đó : $p^{3}+2=3^{3}+2=29$ là số nguyên tố.

Ta có $đpcm$

tại sao $2xy+\frac{2}{xy}\geq 4$

 $2xy+\frac{2}{xy}\geq 2.\sqrt{2xy.\frac{2}{xy}}=4$ (Bất đẳng thức $Cauchy$ )

còn $x;y$ cùng dấu nên $xy$ không âm 

Giả sử 2 phương trình $a_{1}x^{5}+b_{1}x^{2}=c_{1}, a_{2}x^{5}+b_{2}x^{2}=c_{2}$$\left ( a_{1},a_{2}\neq 0 \right )$ có nghiệm chung. Chứng minh rằng $\left ( c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1} \right )^{2}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{3}=(a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1})^{5}$

Gọi $y$ là nghiệm chung của 2 phương trình. Ta có : $\left\{\begin{matrix} a_{1}y^{5}+b_{1}y^{2}=c_{1} (1)\\ a_{2}y^{5}+b_{2}y^{2}=c_{2} (2) \end{matrix}\right.$

Nhân lần lượt $c_{1};c_{2}$ vào 2 phương trình $(2);(1)$ : 

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a_{1}c_{2}y^{5}+b_{1}c_{2}y^{2}=c_{2}c_{1} \\a_{2}c_{1}y^{5}+b_{2}c_{1}y^{2}=c_{1}c_{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow y^{5}(a_{1}c_{2}‒a_{2}c_{1})+y^{2}(b_{1}c_{2}‒b_{2}c_{1})=0$

$\Rightarrow \frac{b_{1}c_{2}‒b_{2}c_{1}}{a_{1}c_{2}‒a_{2}c_{1}}=‒y^{3}\Rightarrow y^{6}=\frac{(b_{1}c_{2}‒b_{2}c_{1})^{2}}{(a_{1}c_{2}‒a_{2}c_{1})^{2}}$

Tương tự : Nhân lần lượt $a_{2};a_{1}$ vào 2 phương trình $(1);(2)$, ta có :$y^{6}=\frac{(a_{1}c_{2}‒a_{2}c_{1})^{3}}{(a_{1}b_{2}‒a_{2}b_{1})^{3}}$

Do đó : $\frac{(c_{1}b_{2}‒c_{2}b_{1})^{2}}{(a_{1}c_{2}‒a_{2}c_{1})^{2}}=\frac{(a_{1}c_{2}‒a_{2}c_{1})^{3}}{(a_{1}b_{2}‒a_{2}b_{1})^{3}}\left ( =y^{6} \right ) \Rightarrow (đpcm)$

Đây là định lí $Ptoleme$ nhé bạn.

Câu 2c)

$HPT\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}(x−y)=45\\(x−y)(x^{2}+y^{2})=85 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} [(x−y)^{2}+4xy](x−y)=45\\ [(x−y)^{2}+2xy](x−y)=85 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x−y)^{3}+4xy(x−y)=45\\ (x−y)^{3}+2xy(x−y)=85 \end{matrix}\right.$

Đặt : $a=x−y;b=xy$. Ta có : 

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{3}+4ab=45\\ a^{3}+2ab=85 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2ab=−40\\a^{3}=85−2ab \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2ab=−40\\ a^{3}=85+40 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab=−20\\a^{3}=125 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5\\b=−4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x−y=5\\xy=−4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x−y)^{2}+4xy=5^{2}−4.4\\x−y=5 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}=9\\x−y=5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=−3\\x−y=5 \end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} x+y=3\\x−y=5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\y=−4 \end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} x=4\\ y=−1 \end{matrix}\right.$

Câu 2b) :

Do $\left | 2x−7 \right |< x^{2}+2x+2$ mà $x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1> 0$ nên : 

$−(x^{2}+2x+2)< 2x−7 < x^{2}+2x+2$

* $−(x^{2}+2x+2)< 2x−7\Leftrightarrow x^{2}+4x−5>0\Leftrightarrow (x−1)(x+5)>0\Leftrightarrow x<−5 \vee x>1$

* $2x−7 < x^{2}+2x+2\Leftrightarrow x^{2}+9>0 (\forall x)$

Vậy $x< −5 \vee x>1$

Câu 2a) : 

Điều kiện : $x\leq 2−2\sqrt{3} \vee 2+2\sqrt{3} \leq x$

Ta có : 

$PT\Leftrightarrow 2(x^{2}−4x−8)−3\sqrt{x^{2}−4x−8}−2=0$       $(*)$

Đặt $a=\sqrt{x^{2}−4x−8}\Rightarrow a\geq 0$ : 

$(*)\Leftrightarrow 2a^{2}−3a−2=0 \Leftrightarrow a=2 (n) \vee a=\frac{−1}{2} (l)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}−4x−8}=2$

$\Leftrightarrow x^{2}−4x−12=0\Leftrightarrow x=6\vee x=−2 (n)$

$n$ ở đâu vậy bạn...

Mình nghĩ chắc bạn ấy gõ nhầm $x$ thành $n$

được ,cái này là phuong trinh diophantine à :v 

Phương trình $Diophantine$ là phương trình có dạng : $ax+by=c$ trong đó $a;b;c;x;y \in \mathbb{Z}$. 

Em nghĩ PT 2 là $\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{6c}\right)\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{3}+\frac{c}{6}\right)=1$ Khi ấy áp dụng BĐT Bunyakovsky thì $VT\geq \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)^2=1$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{1}{a^2}=\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c^2}\implies a^2=b^2=c^2$

Đến đây em không biết làm sao ngoài việc xét TH làm tiếp. Có ai có cách hay hơn ngoài việc xét TH không nhỉ?

Ra nghiệm $(a,b,c)=\color{red}{(2,2,2)}$

Vậy hệ này giải như thế nào ạ ?

Giải hệ :

$\left\{\begin{matrix} a+b^{2}+c^{3}=14\\ (\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{6c})(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{6})=1 \end{matrix}\right.$

Giải hệ : 

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}+x^{2}(y+z)=xyz+14\\y^{3}+z^{3}+y^{2}(z+x)=xyz−21 \\ z^{3}+x^{3}+z^{2}(x+y)=xyz+7 \end{matrix}\right.$

Hinh như đề sai đó bạn !!!