Cho Parabol (P). Bài số 18

Cho nửa (O) đường kính AB, trên tia đối của AB lấy điểm E. Từ điểm E A B kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn (O) Tiếp tuyến kẻ từ E cắt các tiếp tuyến kẻ từ A và B lần lượt tại C và D
a) Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E. Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp
b) Chứng minh DM.CE=DE.CM
c) Tính AC và BD biết góc AOC = alpha
Chứng minh AC.BD không phụ thuộc vàp alpha

Cho đường tròn tâm O, từ điểm M ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA MC và cát tuyến MBD. Gọi H là giao điểm của OM và AC. Từ cmC kẻ đường thẳng song song vố BD cắt (O) tại E. Gọi K là giao điểm của AE và BD. C/m:
a) Tứ giác OAMC nội tiếp
b) K là trung điểm của BD
c) AC là phân giác của góc BHD

đoạn này chứng minh thế nào vậy ạ?

đoạn này chứng minh thế nào vậy ạ?

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $\sqrt{a} \dotplus \sqrt{b} \dotplus \sqrt{c} = 1$

Tìm Min P = $\sqrt{2\times a^{2} + ab +2\times b^{2}}$ + $\sqrt{2b^{2} +bc +2c^{2}}$ + $\sqrt{2c^{2} + ca + 2a^{{2}}}$

Bài này vận dụng 4 BĐT cơ bản sau:

 

• $x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)$
• $\frac{(x+y)^{2}}{a+b}\leq \frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}$
• $4xy\leq (x+y)^{2}$
• $\frac{4}{x+y}\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Mình trình bày khá chi tiết mà bạn! =)) Mà mình cũng thích Messi đấy 

  Chị là người duy nhất em biết trên diễn đàn thích Messi =))

$xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$

 

Lại có: $x^{3}+ y^{3}\geq x^{2}y+xy^{2}(\Leftrightarrow (x+y)(x-y)^{2}\geq 0)$

 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz & Am-Gm:

 

$\frac{xy}{x^{^{3}}+ y^{{3}}+ x^{2}z + y^{2}z} + \frac{yz}{y^{3}+ z^{3} + y^{2}x + z^{2}x } + \frac{zx}{x^{3} + z^{3} + z^{2}y +x^{2}y} \leq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{4xy}{x^{^{3}}+ y^{{3}}+ x^{2}z + y^{2}z} + \frac{4yz}{y^{3}+ z^{3} + y^{2}x + z^{2}x } + \frac{4zx}{x^{3} + z^{3} + z^{2}y +x^{2}y} \leq 3$

 

• $\frac{4xy}{x^{3}+ y^{3}+ x^{2}z + y^{2}z} \leq \frac{4xy}{x^{2}y+xy^{2}+x^{2}z+y^{2}z}\leq \frac{(x+y)^{2}}{x^{2}(y+z)+y^{2}(z+x)}\leq \frac{x^{2}}{x^{2}(y+z)}+\frac{y^{2}}{y^{2}(z+x)}=\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}$

Tương tự với: $\frac{4yz}{y^{3}+ z^{3} + y^{2}x + z^{2}x };\frac{4zx}{x^{3} + z^{3} + z^{2}y +x^{2}y}$

 

$\Rightarrow \frac{4xy}{x^{^{3}}+ y^{{3}}+ x^{2}z + y^{2}z} + \frac{4yz}{y^{3}+ z^{3} + y^{2}x + z^{2}x } + \frac{4zx}{x^{3} + z^{3} + z^{2}y +x^{2}y}\leq \frac{1}{2}(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x})\leq\frac{1}{2}\left [ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}) \right ] =3$

Chứng minh đoạn cuối này là dùng bất đẳng thức gì vậy ạ?

Bài này khá dài đấy

Tìm GTNN của biểu thức A

     

1. giải phương trình √(x+2) -√(3-x) = x^2 - 6x + 9

 

1.cho x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y) =1 tính A= (x^2 + y^2 - z^2)/(y+z) + (-x^2 + y^2 + z^2)/(z+x) + (x^2 -y^2 + z^2)/(x+y)

2.Cho hai số dương a,b chứng minh (a^2 +b^2)/ab + (2√ ab)/(a+b)  >=3

 

cho a,b,c,d là các số nguyên tố thoả mãn a^2 = b^2 + c^2 + d^2 chứng minh a.b.c.d + 2015 viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương

Haizz, em ngu quá, vẫn không ra được. Tại vì chỗ P>= khi quy đồng có 4.2b^2 = 8b^2 em ko khử cái b^2 này được

$$x,y>0=>P=\sqrt{\frac{1}{1+8(\frac{y}{x})^3}}+\sqrt{\frac{4}{1+(\frac{x}{y}+1)^3}}$$

Đặt: $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{x}=>ab=1.$

$$=>P=\frac{1}{\sqrt{(1+2a)(1-2a+4a^2)}}+\frac{2}{\sqrt{(1+b+1)(1-b-1+b^2+2b+1)}}$$

$$=>P \ge \frac{1}{\frac{1+4a^2}{2}}+\frac{2}{\frac{b^2+2b+3}{2}}=.....$$

$=>P-1 \ge \frac{2a^2-4a+2}{(1+2a^2)(b^2+2b+3)} \ge 0$

Vậy $..........$

Em vẫn chưa hiểu chỗ P-1>= lắm ạ, vì em nhân ra và trừ 1 không ra kết quả được như chị

$$x,y>0=>P=\sqrt{1}{\frac{1}{1+8(\frac{y}{x})^3}}+\sqrt{\frac{4}{1+(\frac{x}{y}+1)^3}}$$

Đặt: $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{x}=>ab=1.$

$$=>P=\frac{1}{\sqrt{(1+2a)(1-2a+4a^2)}}+\frac{2}{\sqrt{(1+b+1)(1-b-1+b^2+2b+1)}}$$

$$=>P \ge \frac{1}{\frac{1+4a^2}{2}}+\frac{2}{\frac{b^2+2b+3}{2}}=.....$$

$=>P-1 \ge \frac{2a^2-4a+2}{(1+2a^2)(b^2+2b+3)} \ge 0$

Vậy $..........$

dấu bằng xảy ra khi nào ạ?

Bài 1:Giải hệ phương trình (x-1)y^2 + x + y = 3 và (y-2)x^2 + y = x+1 

Bài 2:Giải phương trình √ (x + 3/x) = (x^2 + 7)/2(x+1)

     

Bài 1: Với x,y là những số thực dương, tìm GTNN P=√ [(x^3/(x^3 + 8y^3)] + √ [4y^3/(y^3 + (x+y)^3

Bài 2: Với x,y,z là các số thực dương, xy + yz + xz = 5. Tìm min: P= (3x + 3y + 2z)/√ [6(x^2 +5) +√ [6(y^2 + 5) +√ [6(z^2 + 5)

:(  :(  :(  :( 

Bạn làm sai rồi , vì x,y là những số nguyên cơ mà , theo cách của bạn thì dấu = xảy ra khi $x=y=\dfrac{2003}{2}\notin \mathbb{Z}$.
Theo mình fải giải như thế này :
$P=x^3+y^3+2xy=(x+y)^3-xy(3x+3y-2)$
Vậy ta chỉ cần tìm min max của $A=xy$
Bổ đề : $\forall x,y;x-y\geq 1$ ta có : $(x-1)(y+1)\geq xy$(*)
Chứng minh :$(*)\Leftrightarrow x-y-1\geq 0 $
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x-y=1$
Áp dụng ta có :
$1.2002<2.2001<3.2001<...<1001.1002$
Vậy $\max A=xy=1001.1002$
$\min A=1.2002$
Từ đó suy ra đc max min của P .
Ps : Cách trên theo mình chỉ áp dụng với x+y lẻ hay x phải khác y . Nếu có gì sai sót xin mọi người nhẹ tay

cho em hỏi áp dụng gì mà lại được $1.2002<2.2001<3.2001<...<1001.1002$ và sao tìm ra min nhanh vậy

Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn 6(x - 1/y) = 3(y-1/z) = 2(z-1/x) = xyz - 1/xyz

Các anh chị giúp em với ạ