Tìm $m$ để phương trình sau có 3 nghiệm thuộc $(\frac{-\pi }{2}; 0)$ :

$sin^3x+(2m+1)sin^2x.cosx+(3m-1)sinx.cos^3x=0$

Mời các pro về phương trình giải ý này nhá

$x^{3}+3x^{2}-6=0$

4) Ta có $P= \frac{b^{2}}{\sqrt{b}\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{c}\sqrt{2b+c+a}}+\frac{a^{2}}{\sqrt{a}\sqrt{2c+b+a}}$

Ap dụng bđt $AM-GM$ thì ta được $\sqrt{4b}\sqrt{2a+b+c} \leq \frac{2a+5b+c}{2}$ suy ra $\sqrt{b}\sqrt{2a+b+c}\leq \frac{2a+5b+c}{8}$

Vì lẽ đó mà $P \geq 8(\frac{b^{2}}{2a+5b+c}+\frac{c^{2}}{2b+5c+a}+\frac{a^{2}}{2c+5b+a})$

Ap dụng bđt $Cauchy-Schwarz$ thì ta có $\frac{b^{2}}{2a+5b+c}+\frac{c^{2}}{2b+5c+a}+\frac{a^{2}}{2c+5b+a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{8(a+b+c)}$

Suy ra $P\geq 8\frac{(a+b+c)^{2}}{8(a+b+c)}=a+b+c=3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.

 

 

P/s: Mai đăng tiếp. Buồn ngủ wa

chỗ đó phải là $\sqrt{b}\sqrt{2a+b+c}\leq \frac{2a+5b+c}{4}$ chứ bạn

1. Cho x, y, z >0 và x.y.z=1. Tìm GTNN của:

B=$\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{x+y+z}$

2. CHo a, b, c >0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh:

$\frac{ab+c}{c+1}+\frac{bc+a}{a+1}+\frac{ca+b}{b+1}\leq 1$

3. Tìm GTNN của biểu thức:

$E=\frac{a^{4}}{(b-1)^{3}}+\frac{b^{4}}{(a-1)^{3}}$

4. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Hãy tìm GTNN của:

$\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+c+a}}+\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+a+b}}$

bài 8 phải cho a+b bằng bao nhiêu đó mới làm được

đúng rồi, bài đó có a+b=2 , mình quên mất

Đề bài bài 2 có chút thay đổi nhé mn.!

Mình giải bài 2 nhé :

$VT = \frac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}+\frac{2b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}+\frac{2c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}=\frac{2a}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}+\frac{2b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{2c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$\leq \frac{a}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}=3$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Đề sai nhé bạn

Bài 5 mình xài Minkowski

có vẻ sai thật nhưng không giống như đề bài của bạn, mình sẽ sửa lại.

Cảm Ơn tất cả các bạn nhé!

Những ai có thể giải được thì post lên chia sẻ nhé!

1. Cho a, b, c >0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

2. Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. chứng minh 

$P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}}\leq \frac{9}{4}$

3. Cho a, b, c >0 thỏa mãn $a+b+c=\frac{3}{4}$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}$

4. Cho a, b, c >0 thỏa mãn abc=1. chứng minh:

$P=\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

5. Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=abc. chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ac}+\frac{\sqrt{c^{2}+2b^{2}}}{cb}+\frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{ba}\geq \sqrt{3}$

6. Cho a, b, c >0 , abc=1. chứng minh:

$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 7(a+b+c)-3$

7. Cho a, b, c >0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{c^{2}+3}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{a^{2}+3}}$

8. Cho a, b >0 và a+b=2.  tìm GTNN của 

$T=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+3}+\frac{1}{2ab}$

9. Cho a, b, c >0 vaf a+b+c=1. chứng minh:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq 30$

10. Cho a, b, c>0. chứng minh:

$\frac{a^{3}}{b(c+a)}+\frac{b^{3}}{c(a+b)}+\frac{c^{3}}{a(b+c)}\geq \frac{a+b+c}{2}$

11. Cho a, b, c >0 và abc=1. chứng minh rằng:

$\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^{3}}{(1+c)(1+a)}+\frac{c^{3}}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$

mà để mình thêm vào cho rõ

mình chưa hiểu lắm, sao nhận ra lại đc thế. thế 1+ab đâu ạ? bạn gt hộ mình với!!!

$(1+a)^2(1+b)^2\geq 4(a+b)(1+ab)=4a+4b+4a^2b+4ab^2=4a(1+b^2)+4b(1+a^2)$ bạn à

chỗ này là a+b ,,,bạn nên sửa lại đi nhé

ok

Mình cũng đã có lời giải cho bài toán này:

Ta có: $(1+a)^{2}(1+b)^{2}=(1+a+b+ab)^{2}\geq 4(1+ab)(a+b)$ (theo bất đẳng thức quen thuộc $(a+b)^{2}\geq 4ab$ )

Mà $4(1+ab)(a+b)=4a+4b+4a^{2}b+4ab^{2}=4a(1+b^{2})+4b(1+a^{2})$

=> $\frac{(1+a)^{2}(1+b)^{2}}{1+c^{2}}\geq 4a.\frac{1+b^{2}}{1+c^{2}}+4b.\frac{1+a^{2}}{1+c^{2}}$

Chứng minh tương tự với 2 hạng tử còn lại rồi công theo vế ta có:

$P\geq 4a(\frac{1+b^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+b^{2}})+4b.(\frac{1+a^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+a^{2}})+4c.(\frac{1+a^{2}}{1+b^{2}}+\frac{1+b^{2}}{1+a^{2}})$

Đến đây áp dụng bđt Cô- Si thì $P\geq 8a+8b+8c$

suy ra ĐpCM

Không biết còn ai xem topic này nữa không nhưng mình đã có cách giải bài toán này.

Cách giải như sau:

+) Xét $x=y=z=0$ là 1 nghiệm của hệ

+) Xét $x, y, z\neq 0$ , khi đó gọi 3 pt lần lượt là (1), (2), (3) . Chia 2 vế của (1), (2), (3) lần lượt cho $x^{2}y, y^{2}z, z^{2}x$ Ta có hệ mới:

                                            $\left\{\begin{matrix} 1+\frac{1}{y}=\frac{1}{x^{2}} & \\ 1+\frac{1}{z}=\frac{1}{y^{2}} & \\ 1+\frac{1}{x}=\frac{1}{z^{2}} & \end{matrix}\right.$

Đặt $\frac{1}{x}=a , \frac{1}{y}=b, \frac{1}{z}=c$ có hệ mới:

                                             $\left\{\begin{matrix} 1+b=a^{2} & (3)\\ 1+c=b^{2} & (4)\\ 1+a=c^{2} & (5) \end{matrix}\right.$

Ta thấy :  Nếu a, b, c thỏa mãn hệ trên mà trong 3 số đó có 1 số dương, giả sử số đó là a. Từ (5) suy ra được $c^{2}> 1$

Lại có từ (4) suy ra $c> -1$ nên $c> 1$

$c> 1$ kết hợp với (2) suy ra $b^{2}> 2$ nên $b> \sqrt{2}$ hoặc $b< -\sqrt{2}$

Nếu $b< -\sqrt{2}$ thì $1+b< 0 = > a^{2}< 0$ vô lí

=> $b> \sqrt{2}$

=> cả 3 số a, b, c dương. tương tự ta cũng chứng minh được 3 số cùng âm

vậy nếu 3 số a, b, c thỏa mãn hệ thì 3 số phải cùng âm hoặc cùng dương.

Đến đây xét 2 trường hợp:

TH1:  $a,b,c> 0$ . Giả sử $a> b$ suy ra $a^{2}> b^{2}$ => $1+b> 1+c$ => $b> c$ => $b^{2}> c^{2}$ => $1+c> 1+a$ => $c> a$ 

Tương tự có $c< a$ 

2 điều trên suy ra a=c nên cũng suy ra được a=b

thay vào hệ ta có 

                                           $\left\{\begin{matrix} a=b=c> 0\\ 1+a=a^{2} \end{matrix}\right.$

dễ dàng tính được $a=b=c=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

Từ đó suy ra x, y, z

TH2: hoàn toàn tương tự TH1

                           Vậy là kết thúc bài hệ này !!          

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                                     $P=\frac{(1+a)^{2}(1+b)^{2}}{1+c^{2}}+\frac{(1+b)^{2}(1+c)^{2}}{1+a^{2}}+\frac{(1+c)^{2}(1+a)^{2}}{1+b^{2}}$

Giúp mình với nhé, nhanh lên đang cần gấp!!!

giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}(y+1)=y\\ y^{2}(z+1)=z\\ z^{2}(x+1)=x \end{matrix}\right.$

Tìm giá trị lớn nhất của k để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

                                                   $x^{3}-k(x+1)+1=0$

Cho 2 dãy số cùng chiều $a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}$ và $b_{1}\leq b_{2}\leq b_{3}$

Chứng minh rằng $(a_{1}+a_{2}+a_{3})(b_{1}+b_{2}+b_{3})\leq 3(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})$

Giúp mình với nhé, đang cần gấp lắm!!!!!!!!

vì đây là mình học từ một bản khác, mà mình ko biết cách copy nguyên mẫu link nên chỉ có thể copy như vậy cho bạn thôi. chắc là có nhầm lẫn ở đâu đó!!!

chắc là còn 1 trường hợp nào đó ở trên chẳng hạn, và trường hợp đó suy ra x=0

 

Đặt a=√3x+1, b=√6x+1

suy ra 2a2−b2=1

PT :10a2+ab−1=01

       7a2+(a2+ab+b2)=0

pt có nghiệm khi a=b=0

ma dấu = không xảy ra đồng thời suy ra pt vô nghiệm 

 

nếu x=0 thì tính sao đây bạn??

giải phương trình sau:

$2(3x+5)\sqrt{3x+1}-(3x+1)\sqrt{6x+1}=12x+9$

giải hệ phương trình sau:

            $\left\{\begin{matrix} 4xy+4(x^{2}+y^{2})+\frac{3}{(x+y)^{2}}=\frac{85}{3}\\ 2x+\frac{1}{x+y}=\frac{13}{3} \end{matrix}\right.$

$Ta có :x , y phải khác 0 (vì là mẫu) . Nhân 2 vế của pt đầu cho x^{3}y^{3}đc \rightarrow x_{4}y_{3}-y_{3}=x^{3}y^{4}-x^{3} \Leftrightarrow (x-y)(x^{3}y^{3}+x^{2}+y^{2}-xy)=0 Đến đây tự giải đc r nhé !$

thế còn x^{3}y^{3}+x^{2}+y^{2}-xy=0 thì tính sao đây bạn ??

cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3

chứng minh rằng 

                                         $\frac{x^{3}}{y^{3}+8}+\frac{y^{3}}{z^{3}+8}+\frac{z^{3}}{x^{3}+8}\geq \frac{1}{9}+\frac{2}{27}(xy+yz+zx)$

*** Cannot compile formula:
left

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

x

cái j đấy ??