Cho tam giác $ABC$ ($AB<AC$) nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với phân giác trong $AD$ ( $D$ nằm trên cạnh $BC$). $M$ là trung điểm $BC$.$AM$ cắt $(O)$ tại $N$. $J$ là trung điểm của cung $BC$ chứa $A$. Trên $(O)$ lấy các điểm $S,T$ sao cho $JS\parallel AB,JT\parallel AC$

a) Chứng minh đường thẳng $ST$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADN$

b) Lấy $P$ thuộc $(O)$ sao cho $NP=AJ$. Gọi giao điểm của $PB$ và $PC$ lần lượt với $JS$ và $JT$ là $Q$ và $R$. Chứng minh rằng $Q,R,D$ thẳng hàng 

 Có bao nhiêu cách tô màu các đỉnh của n-đa giác đều bằng k màu sao cho 2 cách tô giống nhau là ảnh của nhau qua phép vị tự quay tâm đa giác. 

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn : $(b+c)(c+2a)(c+4a)>0$.Chứng minh rằng : 

  $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+4a}+\frac{2c}{c+2a} \geq 1$

Bài 1:Cho tam giác $ABC$ không cân, nội tiếp $(O)$, với đường kính $AP$. Ký hiệu $I_b, I_c$ tương ứng là tâm đường tròn bàng tiếp góc $B, C$ của tam giác $ABC$. Đường tròn $(P I_bI_c)$ cắt lại $(O)$ tại điểm $Q$ (khác $P$ ). Chứng minh rằng các đường thẳng Simson của $Q$ ứng với tam giác $ABC$ và tam giác $PI_bI_c$ vuông góc với nhau.

 Đánh dấu 2023 điểm trên một đường tròn, trong đó không có 2 điểm nào đối xứng qua tâm. Chứng minh có thể vẽ đường kính đi qua một trong những điểm này sao cho mỗi phía của nó có số điểm bằng nhau.

Xin phép được đóng góp 1 bài khá hay cho topic   
(Bất biến,đơn biến) Bài 54.Có 119 người ở trong 120 căn hộ.Một căn hộ được gọi là quá tải nếu có nhiều hơn 14 thành viên.Mỗi ngày,mỗi thành viên của một căn hộ quá tải xảy ra mâu thuẫn và chuyển sang các căn hộ khác nhau.Hỏi quá trình có buộc phải kết thúc không ?