Chứng minh rằng không tồn tại hai ma trận vuông cùng cấp $A, B$ thỏa mãn $AB - BA = I$.

Cả 2 trường hợp phải là $n\in \mathbb{Z}$ nhé. 

A giải thích giúp e sao lại là $n\in \mathbb{Z}$ được không?

Có nên 'giới thiệu' cho $a$ không? Ruby?

 

Từ \[0< \frac{|a|^n}{n^n} \le \frac{1}{2^n}\forall n\ge 2|a|,\]

Do đó, theo định lý kẹp, ta có $\lim \frac{a^n}{n^n}=0.$

Dạ đề có vậy thôi ạ
Không nói rõ $a$ :<

Tìm giới hạn $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a^n}{n^n}$.

Mọi người giúp e bài này với ạ.

A giúp e bài này vs ạ :<
 

Cho dãy $\{x_n\}$ là dãy bị chặn thỏa mãn điều kiện $x_{n+1} \geq x_n - \frac{1}{2^n}, n \in \mathbb{N}$.

Chứng minh rằng: dãy $\{x_n\}$ hội tụ.
 

Bài 5: Chứng minh bằng qui nạp là đơn giản nhất. Nếu muốn "phức tạp" hơn thì dùng lý thuyết sai phân, dãy truy hồi tuyến tính, kỹ thuật hàm sinh.

 

Không mất tổng quát, ta giả sử $\alpha>\beta$.

 

\[\sqrt[n]{a_n} = \alpha \sqrt[n]{\frac{ 1 - \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n }{ \alpha - \beta }}.\]

Vì $\lim \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n=0$ nên tồn tại $N$

\[ \sqrt[n]{\frac{ 1 }{ 2(\alpha - \beta) }}\sqrt[n]{\frac{ 1 - \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n }{ \alpha - \beta }} \le  \sqrt[n]{\frac{ 1  }{ \alpha - \beta }}\forall n\ge N.\]

Bài 5 này a có thể giải thích rõ hơn được không ạ?
Não e vẫn chưa load đc vấn đề :3

*** Ý tưởng chứng minh vai mượn lý thuyết chuỗi số.

Nhận xét: Xét dãy $\{a_n\}$ và ${S}_n= \sum_{k=1}^na_k,\, \tilde{S}_n= \sum_{k=1}^n|a_k|$.

 

(i) Nếu $\{\tilde{S}_n\} $ hội tụ thì $\{S_n\}$ hội tụ.

 

(ii) Nếu tồn tại số thực dương $C$ sao cho $\tilde{S}_n \le C\, \forall n\in \mathbb{N}$ thì  $\{\tilde{S}_n\}$ là dãy tăng và bị chặn. Do đó, nó hội tụ.

 

Kiểm tra i): 

Vì $\{\tilde{S}_n\} $ hội tụ nên bản thân nó là dãy Cauchy. Do đó, với $\epsilon>0, \exists N_{\epsilon}\in \mathbb{N}$: 

\[|\tilde{S}_n-\tilde{S}_m| \le \epsilon\forall m, n \ge N_{\epsilon}.\]

Hơn nữa, theo BĐT trị tuyệt đối, ta có $|S_n-S_m| \le |\tilde{S}_n-\tilde{S}_m|\, \forall m, n\in \mathbb{N}.$

 

Vì thế $\{S_n\}$ là dãy Cauchy trong không gian 'đầy đủ' $\mathbb{R}$. Do đó, $\{S_n\}$ hội tụ.

 

Áp dụng: $a_{n}=x_{n+1}-x_n\, \forall n\in \mathbb{N}$. Khi đó $\{S_{n-1}:=x_n-1\}$ hội tụ. Do đó $\{x_n\}$ hội tụ.

 

 

P.S: Ruby có nhiều bài toán hay thế!

Còn cách nào khác không ạ?
Chứ lúc học phần này e đã đc học về Chuỗi số đâu :<<<

 Tiện thể giúp em bài này nữa ạ. Em cảm ơn nhiều ạ 

Bài 5: Ta định nghĩa dãy Fibonacci $\{a_n\}$ như sau:

$a_1 = a_2 = 1, a_{n+2} = a_{n+1} + a_n, n \geq 1$

Chứng minh rằng: 

$a_n = \frac{ \alpha^n - \beta^n }{ \alpha - \beta }$

trong đó, $\alpha$ và $\beta$ là các nghiệm của phương trình $x^2 = x+1$. Tính $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$.

Bài 6: Cho $a_n = \underbrace{ \sqrt{a+ \sqrt{a+ \cdots + \sqrt{a}}}}_{n \text{ dấu căn}}, (a > 0)$. Chứng minh rằng: Dãy $\{a_n\}$ hội tụ và tính $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$.

Bài 7: Cho hai số thực dương $a$ và $b$, $0 <  a < b$. Giả sử $u_n$ và $v_n$ là hai dãy số thực xác định bởi:

$u_0=a, v_0=b, u_{n+1}= \sqrt{u_nv_n}, v_{n+1}= \frac{u_n+v_n}{2}, n \geq 0$.

Chứng minh rằng: $u_n$ và $v_n$ là hai dãy hội tụ và có cùng giới hạn.

Bài 1: Dùng định nghĩa $\inf A, \sup A.$

($\inf A+\epsilon, \sup A-\epsilon$ không là chặn dưới nhỏ nhất, chặn trên lớn nhất)

 

Bài 2: Gõ đề có nhầm lẫn.

Chứng minh dãy là dãy Cauchy thông qua nhận xét  $|x_n-x_1| \le k^n|x_2-x_1|$, và (do đó) $|x_n-x_m| \le  \frac{k^n}{k-1}|x_2-x_1|\, \forall n>m.$

(Các đánh giá mang tính 'đại khái'- cần kiểm tra lại để có tính chính xác)

 

Bài 3:

Dùng đánh giá $k^2x-1\le E(k^2x) \le k^2x$, ta có $\lim a_n =\frac{x}{3}.$

Bài 4:

 $\lim a_n= \beta$ vì $\beta \le a_n \le \beta 2^{\frac{1}{n}} \forall n\in \mathbb{N}.$

Câu 2 e gõ nhầm đề ạ
E sửa lại rồi
Giúp e với ạ :<

Bài 1: Giả sử $A$ là một tập bị chặn trong $\mathbb{R}$. Hãy chứng minh rằng:

Tồn tại hai dãy $\{x_n\}, \{y_n\} \subset A$ sao cho

$supA = \lim_{n \to \infty} x_n$ và $infA = \lim_{n \to \infty} y_n$.

Bài 2: Cho dãy $\{x_n\}$ có tính chất: Tồn tại $C > 0$ sao cho: 

$|x_1 - x_2| + |x_2 - x_3| + \cdots + |x_{n-1} - x_n| \leq C$ với mọi $n \geq 2$.

Chứng minh rằng: dãy $\{x_n\}$ hội tụ.

Bài 3: Tìm $\lim_{n \to \infty} a_n$ với
$a_n = \frac{E(x) + E(2^2x) + \cdots + E(n^2x)}{n^3}$, ở đây $E(x)$ là phần nguyên của $x$.

Bài 4: Chứng minh rằng: Dãy số $a_n = \sqrt[n]{\alpha^n + \beta^n} (n \geq 1, 0 \leq \alpha \leq \beta)$ hội tụ và tìm giới hạn của dãy số đó.

 Bài $1,4:$https://math.dartmou...densitynote.pdf

Bài $2$ : https://math.stackex...ional-are-dense

Bài $3$ :

$1)$ Xem phần $2$ .  

$2)$ Điều kiện trù mật trong $R$ là $\forall x \in R \exists (x_{n}) \in D , \lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ , khi bỏ đi một hữu hạn các phần tử trong $D$ thì $lim$ của dãy số không thay đổi do đó $D \ F$ vẫn trù mật .

Anh có thể nói kỳ hơn cho e bài 2 được không ạ?
E chưa hiểu rõ lắm

 Bài $1,4:$https://math.dartmou...densitynote.pdf

Bài $2$ : https://math.stackex...ional-are-dense

Bài $3$ :

$1)$ Xem phần $2$ .  

$2)$ Điều kiện trù mật trong $R$ là $\forall x \in R \exists (x_{n}) \in D , \lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ , khi bỏ đi một hữu hạn các phần tử trong $D$ thì $lim$ của dãy số không thay đổi do đó $D \ F$ vẫn trù mật .

Trong tài liệu a đưa thì ở bài 1 họ có chứng minh luôn tồn tại một số giữa hai số thực bất kỳ. E không biết chứng minh số vô tỷ kiểu gì ạ

+ Tập các phần tử của nhóm con sinh bởi 2 trong nhóm cộng $( \mathbb{R},+)$ là:

$A= \{ 2n : n \in \mathbb{R} \}$

+ Tập các phần tử của nhóm con sinh bởi 2 trong nhóm nhân $( \mathbb{Q},.)$ là:

$B= \{ 2^n : n \in \mathbb{Q}^* \}$

Bài 1: Tìm cận trên đúng và cận dưới đúng nếu có trong $\mathbb{R} $của tập hợp $G = \{ \frac{m}{m+n}:m,n \in \mathbb{N}^* \}$

Bài 2: Đặt $A_m = \{ x \leq m : x \in \mathbb{Q} \}, B_m = \{x \geq m: x \in \mathbb{Q} \}$.

Chứng minh rằng: $supA_m = m = infB_m$

Bài 3: Tìm cận trên đúng và cận dưới đúng của các tập $A,B$; trong đó, $A= \{0,2; 0,22; 0,222; \cdots \}$, và $B$ là tập các số thập phân giữa 0 và 1 mà chỉ gồm các chữ số 0 và 1.

Bài 1: Chứng minh rằng: Giữa hai số thực bất kỳ có một số vô tỷ, tức là tập các số vô tỷ trù mật trong $\mathbb{R}$.

Bài 2: Người ta gọi mỗi số hữu tỷ có dạng $\frac{m}{2^n}, m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$ là một số dyadic.

Chứng minh rằng: Tập các số dyadic trù mật trong $\mathbb{R}$.

Bài 3: 

1. Cho $D,E$ là hai bộ phận của $\mathbb{R}$ sao cho $D$ trù mật trong $\mathbb{R}$ và $D \subset E$.

Chứng minh rằng: $E$ là một tập trù mật trong $\mathbb{R}$.

2. Cho $D$ là một bộ phận của $\mathbb{R}$ và trù mật trong $\mathbb{R}$, $F$ là bộ phận hữu hạn của $D$.

Chứng minh rằng: $D \setminus F$ trù mật trong $\mathbb{R}$.

Bài 4: Ký hiệu $E=\{ q^2 : q \in \mathbb{Q}\}, -E = \{-q^2 : q \in \mathbb{Q}\}, D= E \cup -E$.

Chứng minh rằng $D$ trù mật trong $\mathbb{R}$.

Bài 2: Cho $X,Y$ là các tập khác rỗng; $f$ là ánh xạ từ $X$ vào $Y$; $A,B$ tương ứng là tập con của $X$ và $Y$. Chứng minh rằng:

1. $ff^{-1}(B) \subset B$ và $ff^{-1}(B) = B$ với mọi $B$ khi và chỉ khi $f$ là toàn ánh;

2. $A \subset f^{-1}f(A))$ và $A = f^{-1}f(A)$ với mọi $A$ khi và chỉ khi $f$ là đơn ánh;

3. $f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2)$ với mọi $A_1,A_2$ khi và chỉ khi $f$ là đơn ánh;

4. $C_Xf(A) \subset f(C_XA)$ khi và chỉ khi $f$ là toàn ánh (ở đây $C_XA = X \setminus A$).

Bài 1: Cho $X,Y$ là các tập khác rỗng và $f$ là ánh xạ từ $X$ vào $Y$. Chứng minh rằng: 

1. $f$ là đơn ánh khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ $g$ đi từ $Y$ vào $X$ sao cho $gf$ = $Id_X$;

2. $f$ là toàn ánh khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ $h$ đi từ $X$ vào $Y$ sao cho $fh$ = $Id_Y$

$$det = \sum \prod \frac{\sigma(i)-\sigma(j) }{i-j}\prod_{i=1}^{n}b_{i,\sigma(i)}$$

Ta chỉ xét dấu mỗi số hạng là đủ . 

$$\prod_{i=1}^{n}(-1)^{i+\sigma(i)}= (-1)^{2\sum_{i=1}^{n}}=1$$ 

Nên ta có $detA = detB$

Cảm ơn b nha

Tính định thức sau

$\begin{vmatrix} x_{1} & a_{2} & a_{3} & ... &a_{n}\\ a_{1} & x_{2} & a_{3} & ... &a_{n} \\ a_{1} & a_{2} & x_{3} & ... &a_{n} \\ .& . & . & &.\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & ... &x_{n} \end{vmatrix}$

Cho A = $\left ( a_{ij} \right )$ là một ma trận vuông cấp n.

Ta định nghĩa ma trận vuông B = $\left ( b_{ij} \right )$ cấp n xác định bằng công thức $b_{ij} = (-1)^{i+j}.a_{ij}$ .

Chứng minh rằng: detA = detB .

Cho f, g: E $\rightarrow$ F là hai ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vector hữu hạn chiều.

Chứng minh rằng: $\left | rank(f) - rank(g) \right |\leq rank(f+g) \leq rank(f)+rank(g)$

Cho $V, W$ là hai không gian vetor hữu hạn chiều. Chứng minh rằng:

a/ Nếu $dimV < dimW$ thì không có toàn cấu từ $V$ lên $W$.

b/ Nếu$ dimV > dimW$ thì không có đơn cấu từ $V$ vào $W$.

c/ Với bất kỳ ánh xạ tuyến tính $f, g$ đi từ $V$ sang $W$ ta đều có $dim Im(f+g) \leq dim Im(f) + dim Im(g)$

Bài 2 ở #6 nhen: http://diendantoanho...gian-vecto-con/

Em cảm ơn ạ!