Ngày 3:
Bài 1: Cho dãy $(a_n),n \geq 0$ thỏa mãn: $a_0 = \frac {1}{3}, a_{n+1} = \frac {a_n^2}{1-2a_n^2}$. Đặt $b_n = \frac {a_0a_1...a_n}{a_{n+1}}$. Chứng minh rằng $(b_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2: Tìm $f: R -> R$ thỏa mãn $f((x-y)f(x)-f(y)) + (x+1)f(y-x) + x = 0$
Bài 3: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, $M $là điểm bất kỳ nằm trên cạnh $BC$. Đường đối trung góc $M$ của $\Delta MAB, \Delta MAC$ cắt $(MAB),(MAC)$ lần thứ hai lần lượt tại $Q,R$. $P$ là điểm nằm trên đường thẳng $BC$ thỏa mãn $AP \perp AM$. Gọi $\Gamma $ là tiếp tuyến chung gần $A$ hơn của $(MAB), (MAC)$. Chứng minh rằng $\Gamma $ tiếp xúc $(PQR)$.
Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\sum{\frac {a^3}{b^2-bc+c^2} }$ + $\frac{9}{2(ab+bc+ca)} \geq \frac{9}{2}$
Ngày 4:
Bài 5: Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn với mọi k nguyên dương, tồn tại m nguyên dương sao cho n là ước của $m^4+m^3+m^2+k$.
Bài 6: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. $M,N$ là 2 điểm trên cung $BC$ không chứa $A$ thỏa mãn $MN//BC$ và tia $AM$ nằm giữa 2 tia $AB,AN$. $P,Q$ là hình chiếu của $M,N$ lên $BC$.$E,F$ trên $CA,AB$ thỏa mãn $QE//AB,PF//AC$. $K,L$ lần lượt nằm trên $AN,AM$ sao cho $EK \perp AC, FL \perp AB$. Chứng minh rằng $OK=OL$.
Bài 7: Cho $n \geq 2$ là số nguyên dương. Ta xét đa giác đều 2n đỉnh. Ta điền các số 0, 1 vào các đỉnh thỏa mãn số số 0 bằng số số 1. Ta gọi tập 2k đỉnh là cân nếu trong 2k đỉnh đó, số số 0 bằng số số 1, k nguyên dương.
a/ Chứng minh rằng với mỗi $1 \leq k \leq n$, luôn luôn tồn tại một tập cân có độ dài 2k.
b/ Chứng minh rằng nếu $k \leq \sqrt {2n+2} - 2$, luôn luôn tồn tại 2 tập cân 2k không có đỉnh chung.