Đến nội dung

SonKHTN1619 nội dung

Có 22 mục bởi SonKHTN1619 (Tìm giới hạn từ 30-03-2020)


Sắp theo                Sắp xếp  

#693669 Đề thi chọn học sinh giỏi THPT Khoa Học Tự Nhiên 2017-2018

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 24-09-2017 - 21:14 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Ngày 3:

Bài 1: Cho dãy $(a_n),n \geq 0$ thỏa mãn: $a_0 = \frac {1}{3}, a_{n+1} = \frac {a_n^2}{1-2a_n^2}$. Đặt $b_n = \frac {a_0a_1...a_n}{a_{n+1}}$. Chứng minh rằng $(b_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 2: Tìm $f: R -> R$ thỏa mãn $f((x-y)f(x)-f(y)) + (x+1)f(y-x) + x = 0$

Bài 3: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, $M $là điểm bất kỳ nằm trên cạnh $BC$. Đường đối trung góc $M$ của $\Delta MAB, \Delta MAC$ cắt $(MAB),(MAC)$ lần thứ hai lần lượt tại $Q,R$. $P$ là điểm nằm trên đường thẳng $BC$ thỏa mãn $AP \perp AM$. Gọi $\Gamma $ là tiếp tuyến chung gần $A$ hơn của $(MAB), (MAC)$. Chứng minh rằng $\Gamma $ tiếp xúc $(PQR)$.

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sum{\frac {a^3}{b^2-bc+c^2} }$ + $\frac{9}{2(ab+bc+ca)} \geq \frac{9}{2}$ 

 

 

 

 

 

 

 

Ngày 4:

Bài 5: Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn với mọi k nguyên dương, tồn tại m nguyên dương sao cho n là ước của $m^4+m^3+m^2+k$.

Bài 6: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. $M,N$ là 2 điểm trên cung $BC$ không chứa $A$ thỏa mãn $MN//BC$ và tia $AM$ nằm giữa 2 tia $AB,AN$. $P,Q$ là hình chiếu của $M,N$ lên $BC$.$E,F$ trên $CA,AB$ thỏa mãn $QE//AB,PF//AC$. $K,L$ lần lượt nằm trên $AN,AM$ sao cho $EK \perp AC, FL \perp AB$. Chứng minh rằng $OK=OL$.

Bài 7: Cho $n \geq 2$ là số nguyên dương. Ta xét đa giác đều 2n đỉnh. Ta điền các số 0, 1 vào các đỉnh thỏa mãn số số 0 bằng số số 1. Ta gọi tập 2k đỉnh là cân nếu trong 2k đỉnh đó, số số 0 bằng số số 1, k nguyên dương.

a/ Chứng minh rằng với mỗi $1 \leq k \leq n$, luôn luôn tồn tại một tập cân có độ dài 2k.

b/ Chứng minh rằng nếu $k \leq \sqrt {2n+2} - 2$, luôn luôn tồn tại 2 tập cân 2k không có đỉnh chung.




#693381 Đề thi chọn học sinh giỏi THPT Khoa Học Tự Nhiên 2017-2018

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 19-09-2017 - 21:19 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

P4 D2




#693358 Đề thi chọn học sinh giỏi THPT Khoa Học Tự Nhiên 2017-2018

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 19-09-2017 - 15:40 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Ngày 1:

Bài 1: Cho $(a_n)$ xác định bởi công thức sau: $ a_0=1, a_1=4, a_{n+1}=2a_n+3a_{n-1} $. Chứng minh rằng trong dãy số trên không có số nào là bội của $2017$.

Bài 2: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P(\sqrt [3]{3})=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.

Bài 3: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $H,K$ là hình chiếu của $A$ lên $CB,CD$. $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB,AD,CH,CK$. $S,T$ lần lượt thuộc $AH,AK$ sao cho $PS \perp PM, QT \perp QN$. $AP,AQ$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $E,F$. Chứng minh rằng $SE,TF$ cắt nhau trên $(O)$.

Bài 4: Cho 2017 số 0 nằm trên hàng ngang. Mỗi lần ta lấy 10 số liên tiếp và tăng những số đó lên 1 đơn vị. Hỏi sau một số hữu hạn bước, trên hàng ngang có nhiều nhất bao nhiêu số bằng nhau?

 

 

 

 

 

Ngày 2:

Bài 5:  Cho n là số nguyên dương. Giả sử phương trình $\frac {1}{\sqrt [3]{x}} + \frac {5}{\sqrt [7]{y}} = \frac {1}{n}$ có m cặp nghiệm nguyên dương $(x,y)$ và m-1 là số chính phương. Chứng minh rằng n là số chính phương.

Bài 6: Cho 2 đường tròn $(O),(K)$ cắt nhau tại $A,B$ và $K$ nằm trên $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $(K)$ lần thứ hai tại $P$, $PB$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $C$. Một đường thẳng bất kỳ qua $P$ cắt $(O)$ tại $M,N$. Tiếp tuyến tại $M,N$ của $(O)$ cắt $AP$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng $R,Q,K,C$ thuộc cùng đường tròn.

Bài 7: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) ≠ 0$. Chứng minh rằng:

$\frac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \frac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \frac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geq 0$




#693339 VMF's Marathon Hình học Olympic

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 18-09-2017 - 22:50 trong Hình học

Bài 198:

Gọi $AD,CH$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $X,Y$.

Áp dụng định lý $Pascal$ cho bộ $\binom{X A C}{B Y A}$ ta có $X,Y, K$ thẳng hàng.

Tiếp tuyến tại $X$ của $(O)$ song song $BC$

$=>$ Áp dụng định lý $Pascal$ cho $\binom{B Y X}{X A C}$ ta có $KL // BC$ với $L$ là giao $CH$ với $AD$.

Do đó $HK \perp AD.$

Bài toán 200. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Đường tròn $\omega $ tiếp xúc trong $(O)$ và tiếp xúc $AB,AC$ tại $E,F$. $EF$ cắt $BC$ tại $X$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. $AD$ cắt $\omega $ tại $T$ sao cho $T$ nằm giữa $A,D$, $AX$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $S$. $(AST)$ cắt $AC,AB$ tại $P,Q$. Chứng minh rằng $BCPQ$ là tứ giác lưỡng tâm.  




#689775 Đề thi HSGS TST ngày 1 vòng 1.

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 06-08-2017 - 21:45 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Hướng giải của em cho bài 3b:

- Theo gợi ý 1 của thầy Hùng, ta sẽ chứng minh đối xứng của điểm $H$ qua đường thẳng qua $F$ vuông góc $DE$ nằm trên $TI$ (1)

- Chứng minh $\angle CTI = 90^{\circ}$

- Gọi $K$ là hình chiếu của $F$ lên $DE$. Ta sẽ chứng minh $T,I,K$ thẳng hàng từ đó theo gợi ý 2, ta suy ra (1).

Gợi ý 2 có thể chứng minh bằng cách dùng bổ đề sau:

"Cho $\Delta ABC$ có trực tâm $H. E, F$ là 2 điểm bất kỳ trên $CA,AB$. Khi đó $H$ nằm trên trục đẳng phương của $(BE), (CF)$

Hình gửi kèm

  • Screenshot from 2017-08-06 21:44:57.png



#689771 [Vòng 2] Đề thi chọn HSG lớp 11-12 KHTN 2012-2013

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 06-08-2017 - 21:26 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Em xin đào lại topic chút:

Bài 3 ngày 1:

Gọi $Y,J$ là giao của $CF$ với tiếp tuyến tại $D$ của $(ABD)$ và $(ABD)$ 

Gọi $X$ là giao của $BJ$ với $(O)$, $AX$ cắt $BJ$ tại $L$

Áp dụng định lý $Pascal$ cho $\binom{ADB}{EXD} => A,X,G$ thẳng hàng

Áp dụng định lý $Pascal$ cho $\binom{AJB}{BXF} => Y, L,T$ thẳng hàng

Áp dụng định lý $Pascal$ cho $\binom{JDE}{DBF} => D,F,H$ thẳng hàng

$DM$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $I => BI // AF$

Áp dụng định lý $Pascal$ cho $\binom{ABD}{XFE}$ ta thu được $HN // AT (q.e.d)$

 

Hình gửi kèm

  • Screenshot from 2017-08-06 21:25:48.png



#689535 Đề chọn HSG KHTT 2011-2012 vòng 2

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 04-08-2017 - 21:31 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Em xin phép đào lại topic chút: 

Bài 3 ngày 2:

a/ Gọi $K,L$ là tâm của $(APM), (BPN)$

Ta có $\angle KAM = 90^{\circ} - \angle APD = const => K$ chạy trên đường thẳng cố định

$=>$ Tiếp tuyến tại $A$ của $(APM)$ cố định.

Tương tự ta có tiếp tuyến tại $B$ của $(BPN)$ cố định.

Gọi $T$ là giao 2 tiếp tuyến trên $=>T$ cố định

$=> T$ nằm trên trục đẳng phương của $(APM), (BPN)$ => $PQ$ đi qua $T$ cố định (q.e.d)

b/ Qua $E$ kẻ đường thẳng song song với $CD$ cắt $AC,BD$ tại $X,Y$

Gọi $R$ là giao của $BT$ với $AC$

Theo định lý $Reim$ ta có $ABXY$ là tứ giác nội tiếp.

$=> E(DCXT) = (TXRB) = -1 => E,I,T$ thẳng hàng (q.e.d)

 




#681529 Tuần 4 tháng 5/2017: Chứng minh rằng $MY \parallel KR$.

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 22-05-2017 - 19:07 trong Chuyên mục Mỗi tuần một bài toán Hình học

Giải bài 2:
$H,O$ là hai điểm liên hợp đẳng giác trong $\Delta ABC$
$=> \angle OPC = \angle OBC = \angle ABH$
$=> \Delta ACP \sim \Delta AHB => AB.AC=AH.AP$
Gọi $S$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BC. => S$ nằm trên $(BHC)$
$=> \Delta ABS \sim \Delta AOC => AB.AC=AO.AT$
Xét phép F là hợp phép nghịch đảo cực $A$, phương tích $AB.AC$ và với phép đối xứng qua phân giác $\angle BAC$, ta có
$B \leftrightarrow C$
$O \leftrightarrow S$
$H \leftrightarrow P$
$=> (APH) \leftrightarrow HP, (BOC) \leftrightarrow (BHC), (O) \leftrightarrow BC$
$=> X \leftrightarrow D$ với $D$ là giao của $HP$ và $BC$.
Gọi $E,F$ là giao của $BS$ với $OC$, $BH$ với $CP$.
$\angle AOE = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - \angle ABS = \angle ABE => BEAO$ là tứ giác nội tiếp
Tương tự, $AFCH$ là tứ giác nội tiếp.
$=> \angle EAB +\angle FAC= \angle EOB +\angle FHC = 2 \angle OCB + \angle BAC = 180^{\circ} - 2 \angle BAC +\angle BAC$
$=> E,A,F$ thẳng hàng.
$=>$ Áp dụng định lý $Desargues$ cho $ \Delta BHS$ và $ \Delta CPO$ ta thu được $=> SO, HP, BC$ đồng quy tại $D$
Gọi $K$ đối xứng $O$ qua $BC$
Qua phép đỗi xứng trục $BC$, $SD$ đi qua $O => AD$ đi qua $K$ cố định.
Qua phép F, $AX$ đi qua điểm $L$ cố định.



#679687 Đề thi Olympic chuyên KHTN 2017

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 06-05-2017 - 13:29 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.

Câu 3: 

a/Gọi $G$ là giao điểm của $EF$ và $BC$, $T,S,R$ là giao điểm của của $AD$ với $(I), EF, PQ$

$A$ là cực của $EF$ => $G$ là cực của $TD$ => $GT$ là tiếp tuyến của $(I)$.

$=> (DTPQ) = D(DTPQ) = D(GSMN) = D(GDCB) = -1$

$=> DPTQ$ là tứ giác điều hòa

$=> PQ$ đi qua $G$

$=> (GRPQ)=(GDBC) = -1 => BP, CQ, DR$ hay $AD$ đồng quy tại điểm J.

b/$(GSNM)=(GRQP)=-1=> AD,NP,MQ$ đồng quy tại $K$.

$DM$ cắt $BN$ tại $L$.

$=> M(BCNL) = M(BCGD) = -1 => B$ là trung điểm $NL$

$=> P(xJKD) = -1 => J$ là trung điểm $KD$.

Theo tính chất đường thẳng Gauss của tứ giác $DPKQ$, ta có $JX$ chia đôi $MN$. 

 




#679613 Chứng minh rằng $(BOY)$ tiếp xúc với $(COZ)$

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 05-05-2017 - 20:22 trong Hình học phẳng

Hint: Xét phép nghịch đảo cực O phương tích OA^2




#670444 VMF's Marathon Hình học Olympic

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 30-01-2017 - 10:01 trong Hình học

Lời giải bài toán 159. $X\equiv EF\cap CN => (XN,GC)=-1.$ (1)

Do đó, $\frac{XG}{XC}=\frac{NG}{NC}.$ Áp dụng định lý Menelaus cho $\Delta BGC$, ta có:

$\frac{FG}{FB}.\frac{DB}{DC}.\frac{NC}{NG}=1=>\frac{FG}{CD}=\frac{NG}{NC}$
$\angle NCM=\angle NDM=\angle XEM \Rightarrow MECX$ là tứ giác nội tiếp.
$\Rightarrow \angle MXC=\angle AEM=\angle ADE$ và $\angle XMN=\angle EDC$
$\Rightarrow \frac{NX}{NC}=\frac{sin(\angle XMN)}{sin(\angle CMN)}.\frac{sin(\angle MCX)}{sin(\angle MXC)}=\frac{sin(\angle CDE)}{sin(\angle BDF)}.\frac{sin(\angle FDA)}{sin(\angle ADE)}=1 \Rightarrow NX=NC.$ (2)
(1), (2) $\Rightarrow (NG,XC)=2 \Rightarrow \frac{GX}{GC}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{CD}{FG}=\frac{NC}{NG}=3 (q.e.d).$
Em xin đề nghị bài khác để duy trì 2 bài của topic: 
Bài toán 161. (Mở rộng từ bài toán trên THTT của Tạ Hồng Sơn)
Cho $\Delta ABC$ có tâm nội tiếp $I.$ Kí hiệu $\omega ,\omega _1, \omega _2$ lần lượt là các đường tròn $(IBC)$, $I-Mixtilinear$ của $\Delta IAB$ và $\Delta IAC$. Gọi $\Gamma $ là đường tròn tiếp xúc ngoài với 3 đường tròn trên.
CMR $\Gamma $ tiếp xúc $\omega $ tại $I.$

Hình gửi kèm

  • Screenshot from 2017-01-30 09:50:39.png
  • 48.png



#670433 Tuần 5 tháng 1/2017: $AR$ và trung trực $MN$ cắt nhau trê...

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 30-01-2017 - 09:21 trong Chuyên mục Mỗi tuần một bài toán Hình học

Ta sẽ chứng minh bổ đề sau:
Cho $\Delta ABC $, phân giác $AD,BE,CF$ đồng quy tại $I.$
$X,Y,Z$ thuộc $EF,FD,DE. X,A_1$ trên $EF,BC$ sao cho $I, A_0, X$ thẳng hàng và $IX⊥BC.$
Khi đó, $AA_0, AX$ là hai đường đẳng giác. 
Chứng minh:
Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC.$
$AD$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $A_1, A_2$ đối xứng $A_1$ qua $O.$
$EF ∩ BC ≡ S, A_0A_2 ∩ OI ≡ A_3, IX ∩ AA_2 ≡ A_4, IS ∩ AB ≡ A_5$
$A_2(IA,XA_3)=(IA_4,XA_0)=S(A_5A,FB)=I(A_5A,FB)=(SD,BC)=I(A_2A_1,XO)=(A_2A,XA_3)$
$=>A,X,A_3$ thẳng hàng.
$=>A_0, AX$ là hai đường đẳng giác (q.e.d).
Quay trở lại bài toán:  
Đoạn $AD,AR$ cắt (I) lần lượt tại $L,G.$
Áp dụng bổ đề, ta có $L, G$ đối xứng qua $AI.$
$AI ∩ (I) = {J,S} => SE = SF$
$AM // JE, AN // JF$
$=>$ Ta có biến đổi góc sau:
$∠MAN+∠MDN = ∠BAC+∠NAF +∠MAE + ∠EDF = ∠BAC + ∠AEJ + ∠AFJ + ∠EDF = ∠BAC + 2∠EDF = 180°$
$=> AMDN$ là tứ giác nội tiếp đường tròn $\omega .$ 
Từ đó ta có biến đổi tỉ số:
$\frac{FN}{AF}=\frac{sin(∠NAF)}{sin(∠AND)}=\frac{sin(∠MAE)}{sin(∠AMD)}=\frac{EM}{AB} => FN=EM$
Mặt khác, $∠NFS = 180-∠SFD = 180-∠SED = ∠MES$
$=>\Delta MES = \Delta NFS => SM=SN.$ (1)
Gọi $K,T$ lần lượt là giao của $MN, JG$ với $AB$.
Ta có biến đổi góc:
$∠ADE=∠LFE=∠GEF=∠TJF$
$=>∠AKM = ∠ANK+∠KAN = ∠ADE+∠AFJ = ∠AFJ+∠TJF=∠ATJ$
$=> JG // MN => SG ⊥ MN$ (2)
(1),(2) => $GM=GN$ (q.e.d)

Hình gửi kèm

  • Screenshot from 2017-01-30 09:20:44.png



#667762 Tuần 2 tháng 1/2017: Chứng minh đường tròn đi qua 2 điểm cố định

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 09-01-2017 - 18:48 trong Chuyên mục Mỗi tuần một bài toán Hình học

bài này giống với cấu hình bài vmo 2017 đợt 2 ,

cách của em giống với cách anh ecchi 123, nhưng có điều này em thắc mắc,giả sử tiếp tuyến của B,C cắt nhau tại X,tiếp tuyến của S,T cắt nhau tại Y thì X,Y cố định và X,Y ,E,F thẳng hàng

HX,HY cắt (PQR) tại X',Y' cũng cố định?

X,Y,E,F không thẳng hàng đâu.




#667761 Tuần 2 tháng 1/2017: Chứng minh đường tròn đi qua 2 điểm cố định

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 09-01-2017 - 18:46 trong Chuyên mục Mỗi tuần một bài toán Hình học

Bài toán này là mở rộng của bài 7b VMO năm nay.
$ J≡BS∩CT,X≡AJ∩EF $
$=>(ST,AX)=(BC,AX), X,J$ cố định.
Áp dụng định lý Pascal cho $(\begin{array}{} A & S & T \\ P & C & B  \end{array})$, ta co $E,F,J$ thẳng hàng.
$D≡PX∩BC, G≡AP∩BC, \left\lbrace A,L \right\rbrace=AD∩(O)$
$P(AD,EF)=(AX,ST)=(AX,BC)=P(GD,BC)=A(GD,BC)=A(PD,EF)$
$=>D,E,F$ thẳng hàng.
$=>\overline{DP}.\overline{DX}=\overline{DB}.\overline{DC}=\overline{DQ}.\overline{DR}$
$=> (PQR)$ đi qua $X$ cố định.
$\left\lbrace X,Y \right\rbrace=(PQR)∩AJ$
$\overline{JY}=\frac{\overline{JP}.\overline{JQ}}{\overline{JX}}=\frac{\mathscr{P}_ J/(K)}{\overline{JX}}=  const$
$=>Y$ cố định (q.e.d)



#667253 Đề Thi VMO năm 2017

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 06-01-2017 - 11:29 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

VMO ngày 2

Hình gửi kèm

  • 15822721_1604055969609602_1427530542529003057_n.jpg



#667212 Đề Thi VMO năm 2017

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 05-01-2017 - 23:57 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

Câu a hoàn toàn có thể viết lại bằng một đường tròn đi qua B,C như sau:

Gọi $\omega $ là đường tròn đi qua $B,C$ cắt $CA,AB$ tại $E, F$, tâm $K$. Gọi $L$ là tâm của $(AEF)$, $H$ là giao của $BE, CF$. Gọi $G$ là giao điểm của $KL$ với $AH$, $D$ là giao điểm thứ hai của $AH$ với $(O)$. $DB, DC$ cắt $EG,FG$ lần lượt tại $M,N$. CMR $OL \perp  MN$. 

Câu b em chưa biết nên mở rộng thế nào vì lúc này tuy tính chất chia đôi của $BP,CQ$ vẫn bảo toàn nhưng do $H$ không nằm trên $(AEF)$ nữa nên mất đi tính chia đôi của $RS$.




#667204 Đề Thi VMO năm 2017

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 05-01-2017 - 22:42 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

Một mở rộng cho câu 3a, tuy nhiên ý tưởng là khá lộ liễu.
Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, $BE,CF$ là các đường cao, $H$ trực tâm. $AH$ cắt (O) tại điểm thứ hai $D$, $I$ trung điểm $AH$. $DB,DC$ cắt $EI,FI$ tại $M,N$. Gọi $S,T$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $NH$ với $(BNE)$,$MH$ với $(CMF)$. CMR $(AH)$, đường tròn đối xứng $(O)$ qua $BC$, $(HST)$ đồng trục.




#667191 Đề Thi VMO năm 2017

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 05-01-2017 - 22:00 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

Giả sử tồn tại $P(x)$ thỏa mãn.

Do $x^3-2$ và $x^2-5$ lần lượt là các đa thức tối thiểu của $\sqrt[3]{2}$ và $\sqrt{5}$ nên ta có:

$x^3-2|P(x+1)-(x+1)$; (1)

$x^2-5|P(x+1)-(3x+2)$. (2)

Từ (1), tồn tại $Q(x)$ là đa thức hệ số nguyên sao cho $P(x+1)=(x+1)+(x^3-2)Q(x)$

Do đó,

(2)$\Leftrightarrow (5x-2)Q(x) \equiv 2x+1 (mod x^2-5)$

$\Leftrightarrow (5x-2)(5x+2)Q(x) \equiv (2x+1)(5x+2) (mod x^2-5)$

$\Leftrightarrow 121Q(x) \equiv 9x+52 (mod x^2-5)$

Với $x=-4, 0 \equiv 16 (mod 11)$, vô lý.

Do đó không tồn tại $P(x)$ thỏa mãn.

 




#665969 Tuần 4 tháng 12/2016 : Bài toán chia đôi cạnh

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 26-12-2016 - 23:24 trong Chuyên mục Mỗi tuần một bài toán Hình học

Em xin đóng góp một lời giải ạ.

Hình gửi kèm

  • 15696731_1798957650370931_121821317_o.jpg



#665915 Tuần 4 tháng 12/2016 : Bài toán chia đôi cạnh

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 26-12-2016 - 18:59 trong Chuyên mục Mỗi tuần một bài toán Hình học

Lời giải của em ạ:
Gọi $E, F$ là tiếp điểm của $(K)$ với $CA, AB\Rightarrow E, F, M$ thẳng hàng.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BC, I$ là tâm nội tiếp $\triangle  ABC$
Ta có: $ (LP,LM) \equiv (AO,AK) \equiv (AI, AH) \equiv (ML,MP) \pmod \pi  $ $\Rightarrow  \triangle$ PLM cân tại P
Kẻ đường kính $AX$ của $(O)$.
$\Rightarrow (DL,DP) \equiv (LP,LD) \equiv (XA,XD) \pmod \pi $ $\Rightarrow PD$ là tiếp tuyến chung của $(K)$ và $(O)$.
$AD$ cắt $(K)$ tại điểm thứ hai $U, XL$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $U, G$ là cực của $XD$ với $(I)\Rightarrow G$ nằm trên $EF$.
XU vuông góc UA => A,U,F,K,E nằm trên (AK).
$ \overline{AI}.\overline{AK}=AE^{2}=\overline{AV}.\overline{AD} $
=>V,I,K,D thuộc cùng đường tròn $ \Gamma $ .
=> L là tâm đẳng phương của (AK), $ \Gamma $ và (K).
Kết hợp với (GL,FE)=-1, ta có
$ \overline{LI}.\overline{LG}=\overline{LE}.\overline{LF}=\overline{LT}.\overline{LK} $ => $G \in \Gamma $ và G,U,A thẳng hàng.
Kẻ tiếp tuyến AS của (O) với S nằm trên BC, T là giao của EF với DN. (D,N,X thẳng hàng)
=> $(AS,AD) \equiv (IS,ID) \equiv (UG,UD) \equiv (XA,XD) (mod \pi)$ => AT tiếp tuyến (O) => A,S,T thẳng hàng.
Dựng đường tròn (DMT).
$ (TA,TM) \equiv (AX,AJ) \equiv (DX,DJ) \equiv (DT,DM) (mod \pi ) $
=>ST tiếp xúc (DMT). (1)
$ (MS,MT) \equiv (AH,AI) \equiv (AJ,AX) \equiv (DJ,DX) \equiv (DM,DT) (mod \pi ) $
=>MS tiếp xúc (DMT). (2) 
Gọi W trung điểm AT => $WA^{2}=WT^{2}=WD^{2}$
=>PD là tiếp tuyến của (DMT). (3)
(1),(2),(3)=>(PS,MN)=-1
=>A(PS,QR)=(PS,MN)=-1
Kết hợp QR // AS, ta thu được P là trung điểm QR (q.e.d)
P/s: Anh Bảo sửa giùm em LaTeX với, em mới lần đầu dùng LaTeX trên diễn đàn nên chưa quen ạ, hi vọng mọi người đọc và hiểu được.

Hình gửi kèm

  • Screenshot from 2016-12-26 18:58:56.png



#665066 Tuần 3 tháng 12/2016 : Đường tròn tiếp xúc

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 18-12-2016 - 22:15 trong Chuyên mục Mỗi tuần một bài toán Hình học

Em cũng vừa nghĩ ra nhưng anh Bảo đăng lời giải nhanh quá, cách giống của em nhưng em vẫn đăng vậy.

Hình gửi kèm

  • Screenshot from 2016-12-18 22:14:36.png



#664804 Tuần 2 tháng 12/2016 : Bài toán nội tiếp trên đường tròn tiếp xúc

Đã gửi bởi SonKHTN1619 on 16-12-2016 - 18:05 trong Chuyên mục Mỗi tuần một bài toán Hình học

Em xin đề xuất một hướng nhìn khác của bài toán.

Cho tam giác ABC, (J) là đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. (J) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. M,N,P,Q lần lượt là trung điểm DE, DF, EM ,FN. PQ cắt BM, CN tại S,T. Chứng minh rằng B,C,S,T thuộc cùng một đường tròn tiếp xúc (J).

Chứng minh bài toán này hoàn toàn tương tự bài toán gốc.

Sau đây là chứng minh của em cho bài toán gốc.

Hình gửi kèm

  • Screenshot from 2016-12-16 17:42:54.png
  • IMG_0535.JPG
  • IMG_0536.JPG